Он представляет собой множество всех неотрицательных линейных комбинаций указанных векторов. Будем считать, что этот конус острый и его размерность ) равна т. [c.123]
Множество А, А с R", называют выпуклым, если оно вместе с каждой парой своих точек содержит и весь отрезок, соединяющий эти точки. Иными словами, подмножество А пространства Rm выпукло, если для всех пар точек у, у" е А и любого числа А е [0, 1] выполнено соотношение у + (1 - А) у" е А. Множество К, К с Rm, называется конусом, если для каждой точки у е К и любого положительного числа а выполняется включение ау е К. Конус, являющийся выпуклым, именуют выпуклым конусом. Иначе говоря, выпуклое множество является выпуклым конусом, если оно вместе с каждой своей точкой содержит и весь луч, исходящий их начала координат (в общем случае без самого начала) и проходящий через данную точку. При этом начало координат (вершина конуса) может как принадлежать, так и не принадлежать данному конусу. Можно проверить, что сумма любых двух (и более) элементов выпуклого конуса всегда принадлежит данному конусу. Конус К называют острым, если не существует такого ненулевого вектора у е К, для которого выполняется включение -у е К. Не являющийся острым конус обязательно содержит, по крайней мере, одну прямую, проходящую через начало координат (вместе с самим началом или же без него). [c.52]
Следует отметить, что замкнутое полупространство не является острым конусом, поскольку вместе с ненулевым вектором х, удовлетворяющим равенству (с, х) = 0, содержит и вектор -х, так как умножение указанного равенства на -1 не нарушает его выполнение. [c.53]
Одномерные грани (т. е. лучи, а также векторы, порождающие эти лучи) называют ребрами выпуклого конуса. Известно [28], что любой острый выпуклый замкнутый конус, не совпадающий с началом координат, порождается своими ребрами. [c.53]
Еще некоторые два острых плоских конуса Кх и К2 изображены на рис 2.2. Верхняя полуплоскость представляет собой замкнутое полупространство, т. е. выпуклый конус, не являющийся острым. Более подробно с выпуклыми множествами и конусами можно ознакомиться в [4, 28, 31]. [c.54]
Таким образом, отношение К действительно является конусным с конусом К. Необходимо проверить, что конус К — выпуклый, острый и не содержит начало координат. [c.55]
Докажем обратное утверждение. Пусть Jf — произвольное конусное отношение с острым выпуклым конусом К, не содержащим начало координат. Убедимся в том, что оно является ир-рефлексивным, транзитивным и инвариантным относительно линейного положительного преобразования. [c.56]
А Обозначим через К острый выпуклый конус (без нуля) конусного отношения предпочтения >. По условию доказываемой теоремы и в соответствии с определением 2.4 для вектора у, определяемого равенствами (2.4), выполнено соотношение у > 0т. Это соотношение равносильно включению у 6 К. Таком образом вектор у принадлежит конусу К, определяющему конусное отношение предпочтения у. [c.60]
Проверим, что конус М — острый. Если это не так, то должен найтись ненулевой вектор у е М, для которого -у М. В соответствии со сказанным выше имеем [c.61]
Поскольку все указанные выше векторы, порождающие конус А/. принадлежат острому конусу К, то и конус М — острый. [c.100]
А На основе определения 4.1 и следствия 2. можно заключить, что набор векторов (4.12) будет непротиворечивым тогда и только тогда, когда существует конусное отношение с острым выпуклым конусом М(без нуля), для которого выполняются соотношения [c.113]
Достаточность. Рассмотрим выпуклый конус (без нуля), порожденный векторами (4.13). Обозначим его М. По условию он — острый. Поскольку все единичные векторы е е1,..., ет входят в набор векторов, порождающих М, то R С М. Следовательно, для этого конуса справедливы соотношения (4.14).v [c.114]
А Как обычно, пусть К означает острый выпуклый конус (без нуля) конусного отношения предпочтения >-. Наличие имеющейся в условиях теоремы информации об относительной важности критериев означает выполнение включения у " е К для каждого р = 1,2,..., /, где у m-мерного вектора у " все компоненты равны нулю, кроме уй и к-й, которые определяются равенствами у. " = 1 - 0,-1 и у, = -6, к. [c.120]
Задача. Найти алгоритм, который для произвольного заданного конечного набора векторов а1, а1,..., ак, порождающих выпуклый острый т-мерный конус М, дает возможность за обозримое время построить минимальный набор векторов bl, b2,. .., Ь", порождающих двойственный конус С, т. е. таких, что [c.123]
Мажорантное отношение. Конусное отношение ум с острым выпуклым конусом М (без нуля), порожденным векторами (4.25), будем называть мажорантным отношением. Это наименование обуславливается тем, что на его основе далее будет построена оценка сверху (т. е. мажоранта) для множества выбираемых Векторов (решений). [c.125]
Напоминаем, что К— острый выпуклый конус отношения [c.133]
Теорема 5.1 (в терминах аппроксимации конусов). Пусть К — произвольный острый выпуклый конус, не содержащий начала координат, и такой, что К с Rm, К э R+, К Я . Выберем и зафиксируем произвольное положительное г. Тогда для любого положительного числа найдется такой конечный набор векторов [c.137]
Теорема 5.2. Пусть К — открытый острый выпуклый конус, не содержащий начала координат и К э R+, К R+. Допустим, что множество Y является К-ограниченным. Тогда существует такая последовательность векторов [c.141]
Геометрически условие (1.1) требует, чтобы вектор F(x) составлял острый угол со всеми допустимыми векторами - направлениями, исходящими из х. Более строго х е X есть решение VI(X,F) в том и только в том случае, когда —F(x) лежит в нормальном (к множеству X в точке х) конусе NX(X), где [c.30]
Конус X называется острым, если ХГ (— X) = 0 , и телесным, если int (X) 0. [c.39]
Лемма 2.1. Пусть X — острый замкнутый выпуклый телесный конус в W1 и d е W1. Тогда включение d е int (X эквивалентно любому из следующих, условий [c.40]
Теорема 2.9. Пусть X — острый выпуклый замкнутый и телесный конус в Rn, отображение F непрерывно и монотонно на X. Если задача G P(X,F) имеет допустимую точку х, в которой F правильно, то она имеет и решение. [c.40]
Если же вместо одного неравенства рассматривать некоторую систему, содержащую определенное конечное число подобного рода неравенств, то множеством решений этой системы однородных линейных неравенств также будет выпуклый конус, представляющий собой пересечение конечного числа замкнутых полупространств. Его называют многогранным (полиэдральным) конусом. В общем случае этот конус не является острым. [c.53]
Теорема 2.3. Любое иррефлексивное, транзитивное и инвариантное относительно линейного положительного преобразования бинарное отношение JJ, заданное на пространстве Rm, является конусным отношением с острым выпуклым конусом, не содержащим начало координат. Обратно, всякое конусное отношение с конусом указанного типа является иррефлексивным, транзитивным и инвариантным относительно линейного положительного преобразования отношением, заданным на Rm. [c.55]
Для того чтобы убедиться, что конус К является острым, предположим противное существует ненулевой вектор у е К, для которого выполняется соотношение -у е К. Для этого вектора имеем у Э 0т и -у Ш 0 ,. Отсюда в силу аддитивности 3 следует (у - У) 9 (-у) Э 0т, что благодаря транзитивности отношения К приводит к соотношению 0 3 0т, несовместимому с иррефлексивностью 5R. [c.56]
Следствие 2.1. Любое бинарное отношение у, удовлетворяющее аксиомам 2, 3 и 4, является конусным с острым выпуклым конусом, содержащим неотрицательный ортант R и не содержащим начало координат. Обратно, всякое конусное отношение с конусом указанного типа удовлетворяет аксиомам 2, 3 и 4. [c.57]
Достаточность. Если конусное отношение порождается острым выпуклым конусом (без нуля), то в силу теоремы 2.3 соответствующее ему конусное отношение является иррефлексивным, транзитивным и инвариантным относительно линейного положительного преобразования (т. е. аксиомы 2 и 4 выполнены). А так как этот конус содержит неотрицательный ортант R , то соответствующее конусное отношение, кроме того, удовлетворяет аксиоме Парето. Нетрудно понять, что из справедливости аксиомы Парето вытекает выполнение аксиомы 3. Следовательно, рассматриваемое конусное отношение удовлетворяет всем аксиомам 2-4.v [c.57]
В соответствии со следствием 2.1, бинарные отношения, удовлетворяющие аксиомам 2-4 (напоминаем, что эти аксиомы предполагаются выполненными), допускают простую геометрическую Интерпретацию — они являются конусными отношениями с острыми, выпуклыми конусами без начала координат, причем эти Конусы разве что шире неотрицательного ортанта R . [c.57]
Введем в рассмотрение множество М — совокупность всех ненулевых неотрицательных линейных комбинаций конечного набора векторов е е2,..., ет, у, где е е2,..., ет — единичные орты пространства Rm. Множество Мявляется выпуклым конусом, не содержащим начало координат (так как коэффициенты линейных комбинаций одновременно в нуль не обращаются). В силу включений е е2,..., ет R+ С К и у е К введенное множество М представляет собой подмножество конуса К. Более того, М — острый конус, так как он — подмножество острого выпуклого конуса К. [c.84]
К > w 2, - w 3) = OD при определенных положительных параметрах w, w, Wj (рис. 3.1). Конкретные значения данных параметров в дальнейшем изложении существенной роли не играют. Неотрицательный ортант (октант) R], — это острый выпуклый конус (без [c.91]
Нуля) ОАВС, порожденный единичными ортами е = ОА, е2 = ОВ и е3 = ОС. Этот конус имеет три двумерные грани, представляющие собой соответствующие части координатных плоскостей ОВС, ОАСк ОАВ. Выпуклый конус М, порожденный единичными ор-тами пространства / 3 и вектором у — это острый выпуклый ко-Иус (без нуля), имеющий уже четыре двумерные грани ОВС, О АС, [c.91]
Необходимость. Пусть набор векторов (4.12) является непротиворечивым. Тогда в силу сказанного в начале доказательства существует острый выпуклый конус М (без нуля), для которого верно (4.14). Векторы (4.13) принадлежат конусу Ми порождают в общем случае некоторый выпуклый подконус конуса М. Поскольку подконус острого конуса сам является острым, то набор векторов (4.13) порождает острый выпуклый конус. [c.114]
Из приведенных доказательств теорем, посвященных учету различного рода информации об относительной важности критериев, можно усмотреть вполне определенную схему, на основе которой получаются соответствующие формулы для пересчета нового критерия. Кратко эту схему можно описать следующим образом. С самого начала, когда еще нет никакой информации об относительной важности критериев, справедливо лишь включение R" с К, где символом А"обозначен острый выпуклый конус (неизвестного) конусного отношения >. Указанное включение выполняется благодаря аксиоме Парето. Наличие в общем случае некоторого набора информации, состоящего из к сообщений об относительной важности критериев, на геометрическом языке означает задание к векторов у1 е Rm, для которых выполнено у > 0т или, что то же самое, у е К, i = 1, 2,..., к. Далее вводится острый выпуклый конус М, порожденный векторами е1, е1,..., ет, у у2,. ..,ук. Этот конус определяет конусное отношение того же самого класса, что и неизвестное отношение предпочтения >, но более широкое, так как М с К. Конус М является конечнопорожденным, а значит многогранным. Число компонент нового векторного критерия в точности совпадает с числом (т - 1)-мерных граней конуса М, а нормальные (направленные [c.122]
Двойственный конус для многогранного (или конечнопорож-денного) конуса так же является многогранным конусом, а значит, порождается некоторым конечным набором векторов. Известно также [28], что двойственный для острого /л-мерного конуса сам является острым и т-мерным. [c.123]
Все указанные векторы принадлежит острому выпуклому конусу К, который задает конусное отношение предпочтения >-. Поэтому справедливо включение М с К, а значит конус М — острый. Кроме того, благодаря аксиоме Парето он содержит неотрицательный ортант Я , т. е. j с М. [c.125]
Конус А" является произвольным острым выпуклым конусом и не содержит нуля. Что касается конуса М, то он принадлежит тому же классу, что и I, т. е. так же является острым, выпуклым и не содержит нуля. Однако в отличие от К конус М порожден конечным числом векторов, а, значит, он — конечнопорожден-ный, т. е. многогранный (см. [4, 28]). В такой постановке вопрос о полноте информации об относительной важности критериев имеет много общего с известной в выпуклом анализе задачей аппроксимации произвольного выпуклого компактного множества многогранником. Как известно, эта задача имеет положительное решение — произвольное выпуклое замкнутое ограниченное множество можно сколь угодно точно аппроксимировать (приблизить) многогранником. Поэтому есть все основания [c.133]
Постановка математической задачи. Бинарное отношение предпочтения >, которым ЛПР руководствуется в процессе принятия решений, благодаря аксиомам 2-4 является конусным с острым выпуклым конусом К без начала координат. Поэтому пусть имеется произвольный острый выпуклый конус К, К с Rm, который не содержит начало координат и в силу аксиомы Парето включает неотрицательный ортант R . Следует заметить, что в общем случае конус К не является многогранным. [c.137]