Характеристика X является случайной величиной. Если опыты (наблюдения) производились в одинаковых условиях и независимо друг от друга, то выборку (х , х2,..., хп) можно рассматривать как п-мерный случайный вектор, где величины х независимы, и каждая из них распределена так же, как и случайная величина X в генеральной совокупности. В этом случае можно сказать, что выборка (х,, х2,...,хп) взята из генеральной совокупности случайной величины Хс теоретической функцией распределения F(x). [c.37]
Операторы D и D определены на классе гладких в Р п-мерных вектор-функций. Введем следующие определения. [c.338]
В этом случае множество Кг совпадает со всем пространством Rn и K = Ki П Rn = Ki. Действительно, представим 2/п-мерный вектор г/ в виде у=(у+, у ), где m-мерный вектор у+ соответствует матрице Е, а у- — матрице —Е. При любом
Если n-мерный набор данных можно представить как n-мерное пространство, то двумерное пространство (т.е. плоскость) или одномерное пространство (т.е. прямая) будут представлять собой его подпространства. Множество данных может быть представлено в виде подмножества векторов, которые образуют линейное подпространство меньшей размерности. Каждый вектор т-мерного линейного подпространства (где m меньше п) есть линейная комбинация m независимых базисных векторов. Анализ главных компонент является одним из методов изображения векторов данных большой размерности в виде линейной проекции на подпространство меньшей размерности. [c.23]
Теорема. Если и (/), w°(/), 6)°(t). x (t) - оптимальные управления и траектория в рассматриваемой задаче, то найдутся неотрицательное число а, п-мерная вектор-функция if/(t), k-мерная функция iyw(t), I-мерная функция уш((), мера В, сосредоточенная на множестве М тех t, каждое из которых является пределом точек t, в которых значения функции //3 от управления со стремится к 0, и [c.280]
Иногда различные ограничения на управления и переменные состояния записывают в виде одного соотношения. Для этого рассматривают (п + г)-мерный вектор (x(t], u(t) , составленный из векторов x(t) и u(t), и (п + г)-мерное множество допустимых векторов x(t), u( ) , которое обозначим через У( ). Соотношение имеет вид [c.37]
Векторы е, в2,..., е n-мерного евклидова пространства образуют ортонормированный базис, или ортонормированную систему векторов, если эти векторы попарно ортогональны и длина каждого из них равна 1, т. е. если (et, е ) = 0 при / Ф и et = 1, / = 1,..., п. [c.271]
Напомним, что символ (о, b) для ш-мерных векторов а и Ь означает п< скалярное произведение, т. е. [а,Ь) = Х>(. [c.62]
Каждый вектор пространства может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов а = 2/, е,-Коэффициенты разложения я. однозначно определяют вектор а. Поэтому часто говорят, что л-мерный вектор — это упорядоченная совокупность п чисел а. . (См. Вектор.) Размерность векторного пространства равна количеству векторов, составляющих его базис. [c.26]
Здесь х — л-мерный вектор-столбец х и с — л-мерные вектор-строки b — m-мерный вектор-столбец А — матрица размерностью тхп D — квадратная матрица (если она равна нулю, то получаем задачу линейного программирования). Может быть построена и двойственная задача К.п. [c.141]
Здесь tf(xn, г/и)= фь п+ 1-мерная вектор-функция, составляющие которой определяются следующими соотношениями [c.272]
Здесь, как и всюду (см. п. 8.3), Jn есть я-мерный вектор, каждая компонента которого равна единице. 80 [c.80]
Откуда следует, что для описания распределения цепи Маркова достаточно знать распределение первого члена последовательности и для i — 2,..., п — условные распределения ,- при известном значении ,- , т. е. плотности условных распределений пар векторов, непосредственно связанных друг с другом. Это свойство используется ниже при введении понятий прямой и опосредованной связи между координатами вектора. 4.1.2. Прямые связи между координатами вектора. По аналогии с первым равенством формулы (4.3) по формуле условной вероятности для координат р-мерного вектора = ( (1), , (р)), имеющего невырожденное непрерывное распределение, имеем [c.144]
Рассмотрим теперь задачу о нахождении при известном графе структуры зависимостей G перестановки координат а, позволяющей представить распределение X в виде (4.5). Положим а (0) = О и возьмем произвольную простую цепь, начинающуюся в 0. Будем двигаться вдоль нее от нуля, считывая номера проходимых координат и приравнивая их а (1), а (2),. .. Затем берем следующую простую цепь, начинающуюся в одной из уже пройденных вершин или в 0, и двигаемся вдоль нее, продолжая считывание, и т. д. до тех пор, пока не будут исчерпаны все вершины графа и тем самым определена полностью перестановка а. Поскольку координаты, лежащие вдоль простой цепи, образуют цепь Маркова (см. п. 2, 3 схемы доказательства теоремы 4.2), из построения а сразу же следует возможность представления распределения X в виде (4.5). В отдельных случаях перед построением а может оказаться удобным в графе G изменить некоторые несущественные связи, соответствующие независимым координатам (ср. с теоремой 4.2). 4.2.3. Нормальное распределение с ДСЗ. Пусть X имеет невырожденное р-мерное распределение с вектором средних М и ковариационной матрицей 2 — №и с известной структурой зависимостей, заданной функцией /(/). Вопросы, связанные с нахождением / (/), обсуждаются в следующем параграфе. Наша ближайшая цель — найти общий вид плотности X. [c.150]
Каждая строка матрицы соответствует вектору в п -мерном простран- [c.85]
В основу понятия обобщенного решения могут быть положены самые различные подходы. Это интегральные законы сохранения, метод искусственной вязкости, способ предельного перехода в разностных аппроксимациях, аппарат теории обобщенных функций, понятие потенциала решения, а также другие схемы [Рождественский и др., 1978 Годунов, 1979]. Так, авторы [Васильев и др., 1987] при рассмотрении одномерного варианта (га = 1) задачи (4.4.3)-(4.4.7) для определения обобщенного решения использовали свойство эквивалентности на гладких (классических) решениях дифференциальной системы, построение которой базируется на использовании широко известного аппарата метода характеристик. Суть этого подхода заключается в диагонализации матрицы А системы (4.4.3) с помощью линейного невырожденного преобразования переменных х в инварианты Римана. После такого преобразования в каждом из уравнений системы участвуют частные производные по s и t лишь одной инварианты Римана, что позволяет рассматривать дифференциальный оператор инвариантной системы как п -мерный вектор обыкновенных производных вдоль соответствующих характеристик (аналог производной по направлению). К сожалению, возможности использования данного понятия обобщенного решения по существу [c.335]
Это есть п — К соотношений между компонентами ф (0). Впрочем, чаще такие условия формулируются иначе условиями Gk [х (0) ]=0 в и-мерном пространстве выделяется (п — К)-ыерное гладкое многообразие а = 8х(0) и подлежат рассмотрению не всевозможные и-мерные векторы а, а лишь те, которые лежат в касательной к упомянутому многообразию (п — )-мерной гиперплоскости (касательной в точке х (0), разумеется). Тогда условие трансверсальности (Ва, ф(0))=0 означает, что ф (0) должен быть ортогонален этой касательной (п — А)-мерной гиперплоскости. Это и есть традиционная формулировка условий трансверсальности на левом конце траектории. [c.68]
Однако не каждая платёжная матрица имеет седло-Boii элемент, напр, в матрице D = f J" ) его нет. Оптим. поведение в игре с такой платёжной матрицей более сложное и определяется смешанными стратегиями — выбором AI(BJ) по жребию с какой-то вероятностью, сами стратегии A Bj — наз. чистым и. Для матричной игры с платёжной то X п матрицей (HJJ) смешанная стратегия игрока А задаётся щ-мер-ным вектором х — (хг, х.2,. .., хт), где ж О (I = 1, — т), а хг - - х, -(-. .. - - хт = 1, означающим, что А выбирает чистую стратегию А с вероятностью х. Сметанная стратегия игрока В задаётся п-мерным вектором у = (yt, у ,. .., уп), где у О, / = 1,. .., , л Ц -г У з + + Уп = 1 и интерпретируется аналогичным образом. Для реализации смешанной стратегии используют подходящий вероятностный механизм. [c.113]
Любое решение x — k , xz k,z.,. .., xn = kn системы уравнений с п неизвестными можн о рассматривать как п- мерный вектор с координатами fe , Jtz,. . .., kn, а поэтому имеют смысл такие понятия, как. линейная комбинация, линейная зависимость и лин ейная н<ез ависимость решений. Произвольная линейная комбинация решений однородной системы уравнений является решением этой системы. [c.49]
Берут систему п — г линейно независимых (п — / )-мерных векторов. Например, =1(1, 0, . .., 0), ег = = (0,1,. ..,0),. ... еп г = (Ю,0,. .., 1). [c.49]
Линейное пространство Щназывается n-мерным, если в нем существует п линейно независимых векторов, а любые из (я+1) векторов уже являются зависимыми. Иначе, размерность пространства — это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов, т. с. dim(R") = п. [c.270]
Рассматривая левую часть (4.43), (4.44) как (п + т- 1) -мерную вектор-функцию (и, v) = (u,(, д),..., ит(, д), 1>Д, д),..., vm l(, д)) и обозначив через (и, v ) и (и", v") значения этой векгор-функции, соответственно, в точках (Л/, д ) и ( ", д"), по формуле Тейлора получим [c.130]
Для некоторых конфигураций количество весов явно превосходило число входных данных (наблюдений). Хотя недостаток степеней свободы делает оценку сомнительной, мы приводим здесь результаты работы 13-27-1 модели, чтобы проиллюстрировать доказанную Колмогоровым в 1957 г. и популяризованную Хехт-Нильсеном [137] теорему о существовании отображения. Эта теорема утверждает, что любая непрерывная функция может быть реализована трехслойной нейронной сетью, имеющей во входном слое т (в нашем случае 13) элементов, промасштабированных на [0,1], (2т-1-1) элементов-процессоров в единственном скрытом слое и п элементов в выходном слое. Таким образом, гарантируется, что иерархическая многослойная нейронная сеть может решить любую нелинейно отделимую задачу и может точно реализовать любое отображение га-мерных входных векторов в и-мерные выходные. При этом теорема ничего не говорит нам ни о возможности реализовать отображение посредством сети меньших размеров, ни о том, что для этого подойдут обычно используемые сигмоидные преобразования. [c.100]
ВЕКТОРНОЕ (ЛИНЕЙНОЕ) ПРОСТРАНСТВО [ve tor spa e] — множество всех векторов с одинаковым числом компонент, важнейшее для математической экономики понятие. Компонентами векторов действительного векторного пространства являются действительные числа (векторное пространство над полем R действительных чисел). Напр., векторы (5,3, -8,4) и (3, 5, 9, 1) — элементы 4-мерного векторного пространства. Пространство векторов с п координатами — л-мерное. В экономических за- [c.43]
РАСПОЗНАВАНИЕ ОБРАЗОВ [pattern re ognition] — метод исследования сложных объектов с помощью ЭВМ заключается в отборе признаков и разработке алгоритмов и программ, позволяющих ЭВМ по этим признакам автоматически классифицировать объекты определять, к какому классу (образу) принадлежит самолет (истребитель, бомбардировщик, транспортный и т.п.), распознавать цифровой шифр на конвертах, определять людей по почерку и т.п. При этом каждый объект описывается л-мерным вектором, каждая г -я координата которого равна значению соответствующего (-го признака допустимо и отсутствие информации о значении некоторых признаков. По существу речь идет о способах группировки, упорядочения больших массивов информации. Методы Р.о. используются в экономике, напр., при классификации предприятий для подбора групповых нормативов, при прогнозировании технико-экономических показателей предприятий. [c.300]
Здесь Aij, i j, /= 1,. . . , ft, — матрица размера mj X/ij j, /= 1,. . . , n, — -мерный вектор линейной формы bi, i=l,. .., п, — /Игмерный вектор ограничений a,-, t=l,. .., п, — заданный т -мерный вектор вероятностей. [c.199]
Сопряженные к общим краевым условиям вида Г,,.8а = 0 АЬх (0) + -t-BSz (Г) =0, где А, В — заданные матрицы ) п- п, не обязательно имеющие обратные, можно получить так образуем 2п-мерные векторы z = 8z(0), Ъх(Т) , = ф(0), — ф(Г) и матрицу 2п - п С = 4, В . Краевые условия, которые теперь могут быть записаны в виде z = 0, предположим невырожденными. Это означает, что можно выбрать п столбцов, образующих невырожденную матрицу Сг выделив соответствующие компоненты z в га-вектор гъ а остальные — в вектор z2, запишем краевые условия в виде z= С г- - С2г2 = 0. Таким образом, общий вид векторов z, удовлетворяющих условию z = 0, есть — zzz, z2), где z2 — произвольный га-вектор. Тогда из условия jbx T = () следует, что [c.33]
Изложим решение этой задачи, полученное Тебиным. Пусть Q — матрица ковариаций рисковых видов ценных бумаг, X = (х,-), V = (v,) — вектор-столбцы долей х капитала, вкладываемых в г -й вид рисковых ценных бумаг и ожидаемых эффективностей этого вида, i = 1,..., п. Пусть также/ — и-мерный вектор-столбец, компоненты которого равны 1. Тогда оптимальное значение долей х,- есть [c.459]