Для дифференцируемой функции это требование эквивалентно следующему условию. Положим х — х + t , где = (I1, , I") ig 0 — вектор, характеризующий пропорции между дополнительно вовлеченными в производство ресурсами, a t > 0 — скалярная переменная, определяющая их объем. Вычисляя по формуле Тейлора разность [c.92]
Следующий этап связан с использованием высших производных (формула Тейлора), и завершается этот этап обзором метода в целом.Далее рассматриваются некоторые вопросы численной характеристики функций — численных методов (приложение дифференциального исчисления к приближенным вычислениям). На этом этапе устанавливается погрешность уклонения ломаных из секущих, ломаной из касательной, кусочных кривых из парабол Тейлора более высоких степеней от данной функции в зависимости от ее дифференциальных свойств, и сравнивается погрешность. Для простоты рассматривается случай равноотстоящих узлов. Тем самым, устанавливаются границы применимости метода дифференциального исчисления. В качестве дальнейшего развития этого этапа можно рассматривать и другие приближающие модели, конструирование их, руководствуясь, например, следующей схемой 1.Какие узлы мы мы будем использовать 2. Какой класс приближающих функции будем использовать 3. Какой критерий согласия мы применим 4. Какую точность мы хотим [c.12]
Для определения у(х) использован ряд Тейлора, который дает возможность определить функцию у(х) по формуле [c.43]
Формулой (1.5.62) можно пользоваться для приближенного вычисления решения задачи Коши (1.5.54). Однако она неудобна тем, что при вычислении второго слагаемого в квадратной скобке имеется операция деления малых чисел ( О/О). Чтобы избавиться от этого, мы несколько огрубим формулу (1.5.62), воспользовавшись разложением по формуле Тейлора функции ехр( —2St) по параметру 8 до членов второго [c.80]
Поскольку Dj0 дифференцируема в с, по формуле Тейлора первого порядка имеем [c.148]
Чтобы доказать второе утверждение, необходимо дополнительно предположить, что ф дважды дифференцируема в с. Тогда по формуле Тейлора второго порядка (теорема 6.8) [c.165]
Доказательство. Поскольку ф дважды дифференцируема в с, по формуле Тейлора второго порядка (теорема 6.8) [c.168]
Кроме того, по формуле Тейлора второго порядка (теорема 6.8) [c.175]
По условию теоремы ф и g дважды дифференцируемы в точке с, а значит, и дифференцируемы во всех точках некоторого n-мерного шара В (с) С 5. Пусть SQ — радиус этого шара. Поскольку ф дважды дифференцируема в с, то для всех и G С/( о) верна формула Тейлора второго порядка (теорема 6.8) [c.185]
Примерная оценка рациональной производительности будущего горного предприятия на ранних стадиях оценки новых месторождений может быть дана с использованием эмпирических формул, предложенных Тейлором еще более 100 лет назад. При этом вначале по формулам Тейлора оценивается оптимальное время Т существования предприятия [c.30]
Формулу Тейлора можно распространить на функции, не являющиеся многочленами. Можно доказать следующую теорему. [c.137]
Это формула Тейлора для произвольной функции. Она отличается от формулы Тейлора для многочленов (8.7) только последним слагаемым. При разложении многочлена в последнем слагаемом имеет место /(n (a), a при разложении произвольной [c.137]
Формула Тейлора имеет важное значение для многих задач математического анализа. Так, сложные функции посредством этой формулы можно с большой точностью заменить многочленом, т. е. более простой функцией. Кроме того, эта формула позволяют рассчитать приблизительные значения функций. [c.137]
V Пример 2. С помощью формулы Тейлора разложить функцию ех в степенной ряд. [c.138]
Разложим данную функцию в окрестности XQ по формуле Тейлора, приняв п = 2 [c.161]
Основная цель этого параграфа — дать в краткой форме теоретическое объяснение тем фактам, которые были выявлены путем моделирования в примере 10.2. Это целесообразно сделать потому, что локальная параметрическая аппроксимация не нашла еще достаточного отражения в теоретических исследованиях и мало используется в практических работах. 10.2.1. Основная формула для оценки. Из разложения f (х) в ряд Тейлора в О (х ) — окрестности х == А О до членов порядка / [c.325]
КАРТА СИСТЕМА ЗАРАБОТНОЙ ПЛАТЫ, одна из применяемых на каниталистич. предприятиях, гл. обр. в США, сдельно-регрессивных систем оплаты рабочей силы. Названа но имени её автора амер. инженера п математика К. Барта, сподвижника Ф. Тейлора, Заработок рабочего (Е) исчисляется по формуле [c.135]
Интересно отметить, что если формально написать, пользуясь формулой Тейлора [c.316]
Пользуясь формулой Тейлора, разложим подынтегральное выражение, выделяя линейную часть разложения Имеем [c.219]
Если при использовании формулы Тейлора мы получаем малый размер разности (х — а), то величиной ее второй и третьей степени можно пренебречь и ограничиться в данном случае линейной формой [c.35]
Из приведенных выше соображении ясно, что наиболее целесообразно применять формулу Тейлора, когда возможно ограничиться первым приближением, т. е. линейной ее формой. [c.36]
Разберем применение формулы Тейлора на примере. [c.36]
Считая Аг достаточно малым по абсолютной величине, получим по формуле Тейлора [c.106]
Тейлор впервые разработал методологические основы нормирования труда, внедрил в практику научные подходы подбора персонала. Система Тейлора заложила основы научной организации труда, через создание многочисленных правил, законов и формул, которые заменяют личное суждение работника и которые могут быть с пользой применяемы только после того, как будет произведен систематический учет, измерение их действия . Тейлор ввел расчленение трудового процесса на отдельные элементы с целью их анализа и наилучшего освоения. Он же обосновал и сформулировал вывод о том, что работа менеджера — это определенная специальность и что организация в целом выигрывает, если группа работников сосредоточится на том, что она делает успешнее всего. [c.15]
Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной Форме. [c.14]
Например, при Ай(й) = h e, где ,>0- константа, отражающая несклонность страхователя к риску (нейтральности к риску соответствует равенство этой константы нулю), получаем, что при малых из формулы Тейлора следует, что Ай(й) h + , h, то есть может интерпретироваться как максимальная нагрузка к нетто-ставке. В дальнейшем мы будем использовать более простое выражение, а именно будем считать, что [c.50]
Заметим, что при малых г, / для вычисления SFF можно пользоваться приближенной формулой, получаемой разложением правой части (8) в ряд Тейлора [c.38]
Рассматривая левую часть (4.43), (4.44) как (п + т- 1) -мерную вектор-функцию (и, v) = (u,(, д),..., ит(, д), 1>Д, д),..., vm l(, д)) и обозначив через (и, v ) и (и", v") значения этой векгор-функции, соответственно, в точках (Л/, д ) и ( ", д"), по формуле Тейлора получим [c.130]
Уравнение (7) можно назвать разложением (или формулой) Тейлора нулевого порядка. Оно гласит, что непрерывность в предельной точке S и приближение нулевого порядка (приближение /(с + и) многочленом нулевой степени, т.е. константой) — свойства эквивалентные. В следующем параграфе обсуждается эквивалентность дифференцируемости и приближения первого порядка, т. е. апроксимация линейной функцией. [c.116]
Уравнение (2) называется формулой Тейлора первого порядка. Если зафиксировать точку с и рассматривать приращение и в качестве аргумента функции, то приращение функции, т. е. величина ф(с + и) — (с), представляется в виде суммы двух членов линейного члена иф (с), пропорционального и, и ошибки апроксимации , которую можно сделать сколь угодно малой по сравнению с и, уменьшая само приращение и. Таким образом, чем меньше рассматриваемый интервал вокруг точки с, тем точнее функция ф(с + и) — являющаяся функцией только от и — описывается линейной составляющей ф(с) + иф (с). Определим выражение [c.117]
ТЕЙЛОР (Taylor) Брук (1685-1731) — английский математик, член Лондонского королевского общества. Получил общую формулу разложения функций в степенной ряд, положил начало математическому изучению задачи о колебаниях струны. Он автор работ о полете снарядов, взаимодействии магнитов, центре качания, перспективе и др. К концу жизни занимался вопросами философии. [c.136]
Замечание. Основываясь на своем ограниченном опыте, математики XVIII века не сомневались в том, что всякая непрерывная функция разлагается в бесконечный ряд Тейлора. Лишь позже в XIX веке Коши дал первый пример функции, которая хотя и является непрерывной и обладает в точке х = а всеми производными, но не разлагается в ряд по степеням (х — а]. Эта функция задается формулой /(ж) = е 1 х при добавочном условии /(0) = = 0 (при х = 0 формула теряет смысл). Функция /(ж) имеет в точке ж = 0 производные любого порядка. Все они равны нулю в этой точке, так что ряд Тейлора тождественно равен нулю. Однако /(ж) нигде, кроме точки ж = О, не обращается в нуль. [c.139]
Учитывая формулы (В. 19) и (В. 20) и воспользовавшись формальным разложением функции / ( — гх) в ряд Тейлора около точки , получаек соотношение между г и [c.42]
Возможность использования этой функции для установления приближенной формулы основана па теореме Тейлора о разложении любой дифференцируемой функции в ряд по степени аргумента1. [c.35]
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Логранжа. Приближенные вычисления. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Нахождение пределов функции с помощью формулы Тейлора. Правило Лопиталя. [c.14]
Дифференциал высшего порядка. Инвариантность форм первого дифференциала. Формула Тейлора для функции нескольких переменных с остаточным членом в формуле Ла-гранжа и в форме Пеано. [c.15]