Метод дифференциального исчисления. Теоретической основой для количественной оценки роли отдельных факторов в динамике результативного (обобщающего) показателя является дифференцирование. [c.117]
В методе дифференциального исчисления предполагается, что общее приращение функций (результирующего показателя) различается на слагаемые, где значение каждого из них определяется как произведение соответствующей частной производной на приращение переменной, по которой вычислена данная производная. Рассмотрим задачу нахождения влияния факторов на изменение результирующего показателя методом дифференциального исчисления на примере функции от двух переменных. [c.117]
Таким образом, в методе дифференциального исчисления так называемый неразложимый остаток, который интерпретируется как логическая ошибка метода дифференцирования, просто отбрасывается. В этом состоит неудобство дифференцирования для экономических расчетов, в которых, как правило, требуется точный баланс изменения результативного показателя и алгебраической суммы влияния всех факторов. [c.118]
Дальнейшим развитием метода дифференциального исчисления явился метод дробления приращений факторных признаков, при котором следует вести дробление приращения каждой из переменных на достаточно малые отрезки и осуществлять пересчет значений частных производных при. каждом (уже достаточно малом) перемещении в пространстве. Степень дробления принимается такой, чтобы суммарная ошибка не влияла на точность экономических расчетов. [c.128]
Для нахождения оценки а2 максимального правдоподобия параметра ст2, максимизирующей функцию L, качественных соображений уже недостаточно, и необходимо прибегнуть к методам дифференциального исчисления. Приравняв частную про- [c.64]
Необходимым условием применения метода дифференциального исчисления является дифференцируемость выражения J(x) и в общем случае — отсутствие ограничений. [c.119]
Метод Лагранжа — метод дифференциального исчисления, применяемый при наличии ограничивающих условий. Этот метод позволяет перейти от оптимизационной задачи с ограничениями к альтернативной оптимизационной задаче без ограничений, у которых совпадают решения. Фактически математическая задача на условный экстремум заменяется задачей на безусловный экстремум, но с увеличением числа неизвестных. [c.119]
Программа курса математического анализа ставит следующие Задачи формирование профессиональных умений w-навыков студентов на основе правильных представлений о роли математических методов в познании реальной действительности. На большом числе примеров показывается универсальность и возможность применения методов дифференциального и интегрального исчисления к разнообразным задачам современного естествознания и техники. Важную роль играют проблемы классического численного анализа, сложившиеся в рамках классического математического анализа. >В самом деле, наряду с изложением и глубоким анализом методов доведения до численных решений задач, становится, например важным и [c.11]
Следующий этап связан с использованием высших производных (формула Тейлора), и завершается этот этап обзором метода в целом.Далее рассматриваются некоторые вопросы численной характеристики функций — численных методов (приложение дифференциального исчисления к приближенным вычислениям). На этом этапе устанавливается погрешность уклонения ломаных из секущих, ломаной из касательной, кусочных кривых из парабол Тейлора более высоких степеней от данной функции в зависимости от ее дифференциальных свойств, и сравнивается погрешность. Для простоты рассматривается случай равноотстоящих узлов. Тем самым, устанавливаются границы применимости метода дифференциального исчисления. В качестве дальнейшего развития этого этапа можно рассматривать и другие приближающие модели, конструирование их, руководствуясь, например, следующей схемой 1.Какие узлы мы мы будем использовать 2. Какой класс приближающих функции будем использовать 3. Какой критерий согласия мы применим 4. Какую точность мы хотим [c.12]
МЕТОД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [c.30]
В методе дифференциального исчисления влияние факторов х и у на [c.31]
Но в этом случае, как и для метода дифференциального исчисления, [c.39]
Продолжением метода дифференциального исчисления является ме- [c.41]
В настоящее время разработано множество различных алгоритмов решения Т.з. распределительный метод, метод потенциалов, дельта-метод, венгерский метод, метод дифференциальных рент, способ двойного предпочтения, различные сетевые методы. Они относительно просты, по ним составлены десятки программ для различных вычислительных машин. Во многих снабженческих, транспортных и других организациях во всем мире с их помощью рассчитываются маршруты доставки материалов на строительные площадки, планы длительного прикрепления поставщиков металлопроката к потребителям, планы перевозок топлива. Задачи эти часто усложняются разного рода дополнительными условиями напр., в них включается расчет не только себестоимости перевозок, но и себестоимости производства продукции (производственно-транспортная задача), оптимизируется совместно доставка взаимозаменяемых видов продукции (скажем, различных кровельных материалов), оптимизируется доставка грузов с промежуточными базами (складами). Кроме того, следует учитывать, что экономико-математическая модель Т.з. позволяет описывать множество ситуаций, весьма далеких от проблемы перевозок, в частности, находить оптимальное размещение заказов на производство изделий с разной себестоимостью. [c.367]
Найдем объем заказываемой партии (0, при котором минимизируется функция средних затрат склада за единицу времени, т.е. функция Z (Q). На практике величины Q часто принимают дискретные значения, например из-за использования транспортных средств определенной грузоподъемности в этом случае оптимальное значение (бога.) находят перебором допустимых значений Q. Мы будем считать, что ограничений на принимаемые значения Q нет, тогда задачу на минимум функции Z (Q) можно решить методами дифференциального исчисления [c.545]
Изображение (по Лапласу) отклика средства измерений на единичный импульс называется передаточной функцией и обозначается W(p). Таким образом, передаточная функция связана с импульсной характеристикой прямым преобразованием Лапласа. Важной особенностью передаточной функции является возможность ее определения теоретическим путем -посредством решения операторным методом дифференциального уравнения, описывающего работу средства измерений. [c.177]
При оценке уровня качества смешанным методом можно пользоваться любым из перечисленных методов дифференциальной и комплексной оценок. [c.126]
При формировании моделей, которые имеется в виду оптимизировать методами дифференциального исчисления, необходимо следить за выполнением условий дифференцируемости функций, т. е. их непрерывности, однозначности и определенности в заданном интервале. Нарушение этих правил в некоторых случаях приводило к ошибочным выводам. [c.148]
Экономические задачи, решаемые методами дифференциального исчисления [c.42]
Дифференциальное исчисление - широко применяемый для экономического анализа математический аппарат. Базовой задачей экономического анализа является изучение связей экономических величин, записываемых в виде функций. В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении импортных пошлин Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию В какой пропорции дополнительное оборудование может заменить выбывающих работников Для решения подобных задач должны быть построены функции связи входящих в них переменных, которые затем изучаются с помощью методов дифференциального исчисления. [c.42]
В экономике очень часто требуется найти наилучшее, или оптимальное значение того или иного показателя наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т.д. Каждый показатель представляет собой функцию одного или нескольких аргументов. Например, выпуск можно рассматривать как функцию затрат труда и капитала (как это делается в производственных функциях). Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума (максимума или минимума) функции одной или нескольких переменных. Подобные задачи порождают класс экстремальных задач в экономике, решение которых требует использования методов дифференциального исчисления. Если экономический показатель у нужно максимизировать или минимизировать как функцию другого показателя х (например, задача на максимум прибыли как функции объема выпуска), то в оптимальной точке (т.е. в точке максимума) приращение функции у на приращение аргументах должно стремиться к нулю, когда приращение аргумента стремится к нулю. Иначе, если такое приращение стремится к некоторой положительной или отрицательной величине, рассматриваемая точка не является оптимальной, поскольку увеличив или уменьшив аргумент х, можно изменить величину у в нужном [c.42]
В экономике часто приходится решать задачи на экстремум функций нескольких переменных, поскольку экономические показатели обычно зависят от многих факторов. Такие задачи хорошо изучены теорией функций нескольких переменных, использующей методы дифференциального исчисления. Многие задачи включают не только максимизируемую (минимизируемую) функцию, но и ограничения (скажем, бюджетное ограничение в задаче потребительского выбора). Это - задачи математического программирования, для решения которых разработаны специальные методы, также опирающиеся на дифференциальное исчисление. Все эти виды задач и их приложения будут рассмотрены в последующих главах мы не будем здесь забегать вперед. [c.43]
Важный раздел методов дифференциального исчисления, используемых в экономике, называется методами предельного анализа. Предельный анализ в экономике - совокупность приемов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменениях объемов производства, потребления и т.п. на основе анализа их предельных значений. Предельный показатель (показатели) функции y=f(x) - это ее производная (в случае функции одной переменной) или частные производные (в случае функции нескольких переменных). [c.43]
Методы дифференциального исчисления широко применяются не только для анализа взаимодействия отдельных экономических факторов, определения их взаимозаменяемости или оптимального сочетания, но и в сложных моделях экономики, в частности - в моделях экономической динамики. Дифференциальное исчисление - это не только аппарат, позволяющий находить решения таких моделей, но и необходимый составной элемент для их построения. Динамические модели применяются для решения таких задач, как определение оптимальной или равновесной траектории развития экономической системы, ее состояний в заданные моменты времени, анализ системы на устойчивость, анализ структурных сдвигов и т.п. Некоторые модели этого типа будут рассмотрены в главе 12. [c.45]
Какие экономические задачи решаются с применением методов дифференциального исчисления [c.59]
Для этой простой модели мы могли бы найти решение без использования метода множителей Лагранжа, выражая х2 через х, из бюджетного ограничения, подставляя это выражение в функцию полезности (которая становится полиномом второй степени от одной переменной) и находя максимум полученной квадратичной функции. Проделайте это как самостоятельное упражнение, получив те же самые функции спроса. Для более сложных случаев, некоторые из которых будут рассмотрены в следующей главе, решить задачу элементарными методами сложно, и требуются методы дифференциального исчисления (например, тот же метод множителей Лагранжа) или математического программирования. [c.145]
Метод дифференциальных рент [c.230]
Метод дифференциальных рент и его особенности рассмотрим на примере решения той же задачи. В качестве критерия оптимальности снова примем минимум себестоимости. [c.230]
Анализ (в смысле. математический или комплексный анализ) является расширением классического исчисления. Аналитические оптимизаторы используют наработанные методы, в особенности методы дифференциального исчисления и исследования аналитических функций для решения практических задач. В некоторых случаях анализ дает прямой (без перебора вариантов) ответ на задачу оптимизации. Так происходит при использовании множественной регрессии, где решение находится с помощью нескольких матричных вычислений. Целью множественной регрессии является подбор таких весов регрессии, при которых минимизируется сумма квадратов ошибок. В других случаях требуется перебор вариантов, например невозможно определить напрямую веса связей в нейронной сети, их требуется оценивать при помощи алгоритма обратного распространения. [c.57]
Первый из этих методов — дифференциальный — наиболее широко применяется в машиностроении. [c.166]
Дифференциальный метод заключается в сопоставлении единичных показателей качества оцениваемой продукции относительных показателей уровня качества у,- [c.115]
Экономический смысл предельных величин состоит в том, что их можно использовать для принятия оптимальных решений с помощью методов дифференциального исчисления. Тогда, в частности, нахождение оптимума основывается на элементарных правилах если при анализе функции первая производная равна нулю, это означает экстремум функции и, следовательно, возможный ее оптимум. Требуется, однако, дополнительный анализ для выяснения единственности данной экстремальной точки, а также характера ее экстремальности является она максимумом или минимумом функции. Кроме того, оптимум совпадает с экстремальной точкой не во всех случаях. В частности, указанное правило не пригодно, когда точка оптимума находится на границе области допустимых решений (см. рис. О. 9 к ст. "Оптимум, оптимальность"). [c.276]
Впервые теорию распределения на основе идеи предельной производительности в достаточно подробной и поразительно близкой к современной форме высказал немецкий экономист И. Г. фон Тюнен (1783-1850) в своем замечательном труде Изолированное государство . Используя методы дифференциального исчисления, Тюнен выводит свою знаменитую формулу (которую он затем повелел написать на его надгробии) для определения заработной платы сельскохозяйственного рабочего Ja р, где а — необходимый прожиточный минимум р — предельный продукт предельного участка. Соответственно на долю капитала должно пойти все остальное (подразумевается, что весь продукт делится между трудом и капиталом, ибо предельный участок не дает ренты), т. е. р - Ja- p. Тюнен дошел даже до известной нам. формулы MRP = МРС, не пользуясь, конечно, нашими терминами и обозначениями. [c.209]
Вычислит, алгоритмы, реализующие МПУ для двойств, задачи, наз. двойств, методами. Среди них — двойств, симплекс-метод и т. н. венгерский метод для транси. задачи (он же метод дифференциальных рент). [c.357]
ШКОЛА ЛОЗАННСКАЯ — разработала учение об экономическом равновесии. Основными представителями лозаннской школы были Л. Вальрас и В. Парето. Из множества направлений маржинализма лозаннская школа сыграла главную роль в формировании неоклассической школы. Представители лозаннской школы и английские маржина-листы У. С. Джевонс и Ф. И. Эджуорт оказались инициаторами внедрения в экономическую науку математических методов, особенно методов дифференциального исчисления. [c.756]
В экономике широко используются средние величины средняя производительность труда, средние издержки, средний доход, средняя прибыль и т-Д- Но часто требуется узнать, на какую, величину вырастет результат, есл ,б,удут увеличены затраты или. наоб рот, насколько,. уменьшится, результат, ес л и затраты сократятся. С помощью средних величин ответ на этот вопрос получить невозможно, В подобных задачах требуется определить предел отношения приростов результата и затрат, т.е. найти предельный эффект. Следовательно, для их решения необходимо применение методов дифференциального исчисления - нахождение производной в случае функции одной переменной и частных производных, если функция зависит от нескольких аргументов. [c.43]
Показатель предельного эффекта в оптимизационных моделях применяется для нахождения оптимального объема производства при заданных ресурсах, а также для определения оптимального распределения ограниченных ресурсов по различным направлениям их использования. Если максимизируемый показатель (например, прибыль) есть разность результата и издержек (в данном случае результат представлен выручкой), то в оптимальной точке предельная выручка должна равняться предельным издержкам. Такое равенство должно выполняться по каждому из факторов, определяющих выручку и издержки, что вытекает из необходимости равенства нулю частных производных прибыли по всем этим факторам. Необходимые и достаточные условия оптимума во многих экономических задачах записываются с помощью частных производных и дифференциалов. Так, если решается задача на максимум выпуска, описываемого с помощью приведенной выше производственной функции, при наличии ограничения по общему расходу денежных средств на используемые в производстве ресурсы, то в оптимальной точке должны быть равны между собой отношения предельных произво-дительностей ресурсов pt и их цен. Иными словами, для всех ресурсов должен быть одинаков предельный эффект в расчете на единицу дополнительно расходуемых на эти ресурсы денежных средств. В задаче потребительского выбора отношение предельных полезнос-тей благ должно быть равно отношению их цен. Иначе товеря, предельная полезность в расчете на одну денежную единицу должна быть в оптимальной точке одинакова по всем благам в противном случае бюджет потребителя мог бы быть перераспределен с увеличением его благосостояния. Таким образом, методы дифференциального исчисления позволяют не только решить различные экономические задачи, но и записать необходимые или достаточные условия оптимума в этих задачах, которые позволяют дать ответ на те или иные конкретные вопросы. [c.44]
Приемов факторного анализа много, однако верхом аналитического совершенства считался так называемый интегральный метод, с помощью которого, по мнению его сторонников, можно было рассчитать факторные разложения с более высокой точностью1. Этот метод был заимствован из математики, причем без какого-либо осмысления возможности и оправданности его приложения к экономике. В математическом анализе соответствующий метод (разложение в ряд Тейлора) используется в условиях диф-ференцируемости функции, описывающей изучаемую взаимосвязь, и бесконечно малого изменения признаков, чего в экономике не может быть в принципе, так как многие показатели изменяются дискретно. Однако если даже абстрагироваться от этих формальных требований, то без какой-либо натяжки можно утверждать, что интегральный метод - лишь один из возможных способов факторного разложения, он не хуже и не лучше других, поскольку любое подобное разложение исключительно условно по самой своей сути. Если же подойти к этому вопросу критически, то несложно показать, что все подобные методы (дифференциальный, интегральный, логарифмический и др.) скорее вредны, нежели полезны, поскольку за счет утяжеления (именно утяжеления, а не усложнения) счетных процедур создается видимость серьезности анализа. Любые разговоры о преимуществе одних методов факторного анализа над другими, выражающемся в большей точности разложения (а это основной аргумент апологетов интегрального метода), представляют собой не более чем голословные утверждения. Кроме того, даже на мгновение согласившись с этим абсурдным утверждением, все же нельзя получить более или менее вразумительный ответ на вполне резонный вопрос а зачем нужна эта точность в приложении к ретроспективному анализу Поезд-то уже ушел Если же попытаться применить интегральный метод в перспективном анализе, то и здесь он абсолютно бессмыслен, поскольку исходный материал в этом случае - исключительно приблизительные прогнозные значения показателей. Иными словами, в любом случае анализ с помощью интегрального метода - это также игра в цифирьки , а пресловутая точность метода - не более чем лозунговый блеф. Применять интегральный метод - все равно что строгать скальпелем кол для изгороди строгать-то можно, только вот зачем [c.348]
Крищенко А.П., Кушнарев В.И., Назаренко А.И., Ткачев С.Б. Численные методы дифференциально-геометрического подхода к проблемам нелинейной теории управления // Техническая кибернетика, 1991, N 1. С.24-34. [c.282]