В последние несколько десятилетий основные идеи метода множителей Лагранжа удалось перенести и на задачи с ограничениями типа неравенств, которые, как мы увидим в дальнейшем, более естественны для экономико-математических моделей. Сформулируем необходимое условие максимума функции U(x), где х е= Еп, при наличии ограничений [c.48]
Используем метод множителей Лагранжа для решения чрезвычайно простой линейной задачи оптимизации [c.49]
Как видно, описанный здесь метод решения, основанный на полном переборе вершин, является значительно более простым л эффективным, нежели непосредственное использование метода множителей Лагранжа. В то же время не следует считать, что решение задач линейного программирования является простым делом, состоящим просто в полном переборе вершин множества допустимых значений переменных. Для того чтобы понять это, достаточно заметить, что вершина множества допустимых точек (в том случае, когда это множество имеет внутренние точки) в задаче (4.22) — (4.24) связана с обращением в равенства п ограничений из их совокупности (4.23), (4.24). Таким образом, вообще говоря, число вершин множества (4.23), (4.24) может равняться числу различных сочетаний по п ограничений из общего числа т + п. Число различных сочетания [c.51]
Можно доказать и более общее утверждение о свойствах двойственных переменных. При описании метода множителей Лагранжа для задач с ограничениями типа равенств мы показали, что множитель Лагранжа равен производной критерия по правой части равенства. Этим же свойством множители Лагранжа обладают и в задачах линейного программирования [c.56]
Если и(у) >0 только при у > 0, то для решения задачи у имеем у > 0 и модель можно проанализировать при помощи описанного в 4 гл. 1 метода неопределенных множителей Лагранжа. Выпишем функцию Лагранжа для задачи (6.9) [c.119]
Для решения задачи (1.2) — (1.4), т. е. выбора такого варианта распределения ресурса Xi (i = 1,. . ., п) и соответствующих плановых заданий yt (i = 1,. . ., д), связанных с xi соотношением (1.2), можно использовать метод множителей Лагранжа, описанный в 4 гл. 1. Функция Лагранжа имеет вид [c.339]
Воспользуемся методом множителей Лагранжа. Функция Лагранжа в данном случае имеет вид [c.128]
Применяя метод множителей Лагранжа, получим [c.106]
Эта задача легко решается с применением метода множителей Лагранжа. [c.14]
Применяя метод множителей Лагранжа, обозначим [c.92]
Применяя метод множителей Лагранжа, находим [c.28]
Из метода множителей Лагранжа получаем условие оптималь- [c.88]
Для задач типа 1 и 2, применяя метод множителей Лагранжа, [c.89]
Применяя метод множителей Лагранжа, получаем, что реше- [c.95]
Применяя метод множителей Лагранжа, убеждаемся, что оп- [c.106]
Для решения таких задач могут быть использованы методы дифференцирования, множителей Лагранжа, численные методы, математическое программирование и др. [c.193]
Метод множителей Лагранжа используется, когда целевая функция находится при функциональных ограничениях. Задача решается следующим образом. [c.194]
Со + Мо, i=M0 можно решить с помощью метода множителей Лагранжа [c.19]
Теорема Лагранжа устанавливает метод (известный как метод множителей Лагранжа ) нахождения необходимых условий экстремума при наличии ограничений типа равенств. Определим сначала функцию Лагранжа ф [c.179]
Пользуясь методом множителей Лагранжа, показать, что минимум достигается в точке (0,0) при А = 1. Рассмотреть функцию Лагранжа [c.183]
Решить следующие задачи методом множителей Лагранжа [c.183]
В тех случаях, когда у нельзя выразить явно через ж, применяют так называемый метод множителей Лагранжа, сущность которого состоит в следующем. [c.319]
Второй способ решения. Определим теперь точку условного экстремума, пользуясь методом множителей Лагранжа. [c.320]
Метод множителей Лагранжа может быть использован и при исследовании на экстремум функции большего числа переменных. [c.321]
Указанная задача может быть решена методом множителей Лагранжа. [c.112]
Приведенные выше рассуждения, разумеется, не являются доказательством сформулированного здесь утверждения они лишь помогают понять существо метода составляющая kg(X) в составе функции Лагранжа должна уравновешивать возможное увеличение максимального значения функции f(X) при малом отклонении (на единицу) значений функции g(X) от нуля. Это обстоятельство в дальнейшем будет весьма полезно при обсуждении смысла множителя Лагранжа. [c.591]
Мукштадт [180] предложил решать исходную задачу (11.3.1) с помощью двух аппроксимаций для запасов в депо и множителя Лагранжа. Метод опирается на тот факт, что число дефицитов в каждом пункте в практически интересных ситуациях хорошо приближается экспоненциальной функцией максимального запаса Sjj. [c.342]
Метод множителей Лагранжа. Рассмотрим слеиующую задачу Найти максимум U(xt, х2), где Xi и х2 — скалярные переменные, при условии g(xi, х2) = b. [c.46]
Для построения двойственной задачи обратимся к методу множителей Лагранжа, который хотя и не эффективен при решении задач линейного программирования, но полезен для их качественного анализа. Функция Лаграижа для задачи (4.22) — (4.24) имеет вид [c.53]
Способ решения задачи зависит от вида функции /. При линейной функции методом решения будет линейное программирование, при нелинейной фиункции — возможно привлечение метода множителей Лагранжа либо динамического программирования. [c.105]
Так как Y = -L, то Y = 10 и X = 10. Максимальное произведение 10 10= 100. Метод множителей Лагранжа был продемонстрирован для двух переменных и одной 01раничительной функции. Метод можно также применять, когда есть более чем две переменные и более чем одна ограничительная функция. Далее для примера следует форма для поиска экстремума, когда есть три переменные и две ограничительные функции [c.187]
Таким образом, мы можем утверждать, что эффективные границы портфелей с неограниченной суммой весов содержат одинаковые портфели с разным уровнем заемных средств (с разным плечом). Портфель, в котором меняется величина плеча для получения заданного уровня прибыли Е, когда снято ограничение суммы весов, будет иметь второй множитель Лагранжа, равный нулю, при сумме весов, равной 1. Теперь мы можем достаточно просто определить, каким будет наш неограниченный геометрический оптимальный портфель. Сначала найдем портфель, который имеет нулевое значение для второго множителя Лагранжа, когда сумма весов ограничена 1,00. Одним из способов поиска такого портфеля является процесс итераций. Получившийся в результате портфель поднимается (или опускается) рычагом в зависимости от выбранного Е для неограниченного портфеля. Значение Е, удовлетворяющее любому уравнению с (7.Оба) по (7.06г), и будет тем значением, которое соответствует неограниченному геометрическому оптимальному портфелю. Для выбора геометрического оптимального портфеля на эффективной границе AHPR для портфелей с неограниченными весами, можно использовать первый множитель Лагранжа, который определяет положение портфеля на эффективной границе. Вспомните (см. главу 6), что одним из побочных продуктов при определении состава портфеля методом элементарных построчных преобразований является первый множитель Лагранжа. Он выражает мгновенную скорость изменения дисперсии по отношению к ожидаемой прибыли (с обратным знаком). Первый множитель Лагранжа, равный - 2, означает, что в этой точке дисперсия изменяется по отношению к ожидаемой прибыли со скоростью 2. В результате, мы получим портфель, который геометрически оптимален. (7.06д) L1 = - 2, [c.218]
Применяя метод множителей Лагранжа, из(11)и(12) получа- [c.205]
См. также Ассортиментные задачи, Базисное решение, Блочное программирование, Булево линейное программирование, Ведущий столбец, Ведущая строка, Вершина допустимого многогранника, Вырожденная задача, Гомори способ, Граничная точка, Двойственная задача, Двойственность в линейном программировании, Дифференциальные ренты, Дополняющая нежесткостъ, Жесткость и нежесткость ограничений ЛП, Задача диеты, Задача о назначениях, Задача о раскрое, Задачи размещения, Исходные уравнения, Куна— Таккера условия, Множители Лагранжа, Область допустимых решений, Опорная прямая, Оптимальное распределение ресурсов, Распределительные задачи, Седловая точка, Симплексная таблица, Симплексный метод, Транспортная задача. [c.173]
МНОЖИТЕЛИ ЛАГРАНЖА [Lagrange multipliers] — дополнительные множители, преобразующие целевую функцию экстремальной задачи выпуклого программирования (в частности, линейного программирования) при ее решении одним из классических методов — методом разрешающих множителей (методом Л агранжа). Полученная функция носит название лагранжиан, или функция Лагранжа. Подробнее об этом методе см. в ст. "Лагранжиан". [c.202]