Интегральный метод основан на применении моделей, которые в отличие от моделей дифференцирования, рассмотренных в первой главе, учитывают погрешность, возникающую при разложении функции в ограниченный ряд. Величины погрешности приближенно распределяют поровну между факторами. [c.51]
Идея приближенных вычислений состоит в том, что сложную функцию представляют рядом, в котором ограничиваются первыми членами разложения. В данном случае, считая поправки и случайные отклонения от средних значений, малыми по сравнению с X и Y, разложим функцию / в ряд Тейлора [c.161]
Решение этой системы и будет являться начальным приближением параметров. Очевидно, для того чтобы данный метод работал , необходимо, чтобы эта система нелинейных уравнений решалась довольно легко, например аналитически. 9.6.4. Разложение в ряд Тейлора по независимым переменным. Основой итеративной минимизации суммы квадратов является разложение функции регрессии в ряд Тейлора до линейных членов по параметрам. Для нахождения грубого начального приближения иногда бывает полезна процедура аппроксимации регрессии путем разложения ее в ряд Тейлора по независимым переменным Хг. Будем для простоты считать [c.315]
На практике часто встречается ситуация, когда априорно известен нелинейный характер зависимости между объясняемыми и объясняющими переменными. В этом случае функция/в уравнении y=f(a,x) нелинейна (а - вектор параметров функции, которые нам нужно оценить). Например, вид зависимости между ценой и количеством товара в той же модели спроса и предложения она не всегда предполагается линейной, как в нашем примере. Нелинейную функцию можно преобразовать в линейную, как это было сделано, например, логарифмированием с функцией Кобба-Дугласа. Однако не все функции поддаются такой непосредственной линеаризации. Любую дифференцируемую нужное число раз функцию можно разложить в функциональный ряд и затем оценить регрессию объясняемой переменной с членами этого ряда. Тем не менее такое разложение всегда осуществляется в окрестности определенной точки, и лишь в этой окрестности достаточно точно аппроксимирует оцениваемую функцию. В то же время оценить зависимость требуется обычно на более или менее значительном интервале, а не только в окрестности некоторой точки. При линеаризации функции или разложении её в ряд с целью оценки регрессии возникают и другие проблемы искажение отклонений е и нарушение их первоначальных свойств, статистическая зависимость членов ряда между собой. Например, если оценивается формула [c.359]
Разложение функций в степенные ряды [c.178]
Сложным источником дохода можно назвать источник, доход которого является некоторой функцией нескольких случайных величин. Риск получения дохода из такого источника может быть оценен, как указано в главе 4, на основе линеаризации функции случайных аргументов. Напомним, что числовые характеристики функции случайных аргументов определяют путем разложения в ряд Тейлора. Обычно используют линейные приближения характеристик. Линейные оценки для связанных случайных аргументов имеют вид [c.123]
Поиск интегральной функции распределения путем разложения плотности распределения в ряд с последующим аналитическим интегрированием этого ряда. [c.46]
Для доказательства эквивалентности мы пройдем два этапа. На первом этапе мы осуществим для каждой функции полезности в условиях определенности U = U x) разложение в ряд Тейлора в точке х = Е[х]. На втором этапе мы применим оператор математического ожидания к аппроксимированной функции и получим, таким образом, функцию ожидаемой полезности. [c.87]
Сначала предположим, что функции /о и /а- непрерывно дифференцируемы в точке х , а само это решение находится внутри Vx. Заменим, пользуясь малостью б, функции /о и /а- линейной частью их разложения в ряд Тейлора [c.330]
В общем случае функцию ср можно считать аналитической, т.е. допускающей разложение в ряд Тейлора в точке х = О [c.220]
Допустим, произошло смещение центра группирования на величину Дг, тогда t = ta + At, t b=-tb+ ДЛ Используя разложение в ряд Тейлора функции Лапласа Ф(0, получим [c.54]
Эмпирическая энтропия Я является функцией случайной величины d. Ее математическое ожидание и дисперсию определим с помощью разложения функции Я (d/ri) в ряд Тейлора в точке q = М(д) [29] [c.114]
В примере была использована высокая процентная ставка для того, чтобы было заметнее различие между результатами применения формул простых и сложных процентов. Разложение показательной функции в степенной ряд [c.162]
Задача содержит определенные трудности. Ведь искомая функция v (0, х) имеет два разрыва, в ее разложении в ряд Фурье коэффициенты убывают не очень быстро, и хорошее восстановление v (0, х) затруднено тем, что в г (Т, х) соответствующие гармоники уже теряются в ошибках 8. Замена искомой функции v (0, х) на и (х) имеет и положительные, и отрицательные следствия. Положительным является своеобразный эффект регуляризации так как мы ограничимся относительно небольшим числом вариаций функции и (х) на величины Su (я)К1 S, то получить очень уж негладкую функцию и (0, х) не удается. С другой стороны, эта замена затрудняет и получение разрывов в v (О, х) ведь это требует построения в и (х) каких-то аппроксимаций 8-функций. [c.365]
С этой целью воспользуемся разложением функции регрессии / (X,- В) в ряд Тейлора в окрестности точки 0 — В, (где [c.353]
Этими исследованиями показано, что затраты на производство и хранение хорошо соответствуют квадратичным функциям, которые в допустимых пределах аппроксимируют структуру фактических затрат. Для нахождения квадратичных коэффициентов можно использовать метод наименьших квадратов, разложение в ряд Тейлора и т. д. [c.216]
С принципиальной точки зрения прогноз hn величины hn по значениям At, А 0 дается формулой (24), где коэффициенты а получаются из разложения функции П(А) (см. (21)-(23)) в ряд Фурье с учетом формулы (31 ) для коэффициентов од, входящих в определение функции (рп ( А). [c.185]
Первые члены разложения /0 (м) в ряд по м есть —1 +20/3м3. Остальные члены являются локально второстепенными по сравнению с м3. Поэтому исследование функции /(м, е) можно заменить в первом приближении исследованием функции 20/Зм3 +ем. Она имеет две стационарные точки V— е/20, при е < 0 и не имеет стационарных точек при е > 0. Следовательно, так же устроена функция/(м, е) в окрестности нуля. [c.132]
Для упрощения задачи заменим функцию и(.) ее квадратичной аппроксимацией, то есть разложением в ряд Тейлора вплоть до членов только второго порядка в некоторой точке (например, х = г0). Тогда функция U(.) примет вид [c.62]
Можно интерпретировать это как квадратичную аппроксимацию первоначальной элементарной функции полезности получаемую разложением в ряд Тейлора вплоть до членов второго порядка в некоторой точке [c.270]
Разложение функции f в ряд Тэйлора в фактической точке X по направлению X (= -Б), если в нем оставить только члены 1-го порядка, имеет вид [c.10]
Как один из методов диагностики пригодности кандидатов тестирование нуждается в выявлении качества выполнения возложенных на него селективных функций. В качестве признанных для оценки тестов выступает ряд показателей, которые характеризуют как критерии качества, или добротности. Разложенные по жизненному циклу тестов — конструированию, проведению и вынесению оценки, они могут дать возможность проследить, на каком этапе тест в большей степени приобретает или теряет смысл, над каким аспектом его внедрения в практику специалистам предстоит работать еще. 140 [c.140]
Это последнее слагаемое в разложении произвольной функции называют остатком ряда. [c.137]
Аналогично можно получить разложения в степенные ряды многих других функций. [c.138]
РИС. 3.3 представляет собой схематическое изображение соотношения между доходностью и ценой облигации. Кривая, известная как кривая цены-доходности облигации, нелинейна и имеет отрицательный наклон. Моделирование изменения цены в результате изменения доходности облигации может оказаться очень сложным. Тем не менее, исходя из нашего понимания разложения рядов Тейлора, мы должны быть способны приблизиться к функции "цена-доходность" на определенном этапе разложения рядов Тейлора. Можно, например, применить первую производную цены облигации по доходности, вторую, третью и т.д. Фактически мы увидим далее, что применение рядов Тейлора всего лишь первых двух порядков прекрасно позволяет оценить изменение в цене облигации при малом изменении доходности. Более того, если мы разделим разные элементы рядов Тейлора на цену облигации, то получим очень полезный результат, показывающий волатильность цены облигации. [c.139]
Таблица разложений в степенной ряд некоторых функций [c.178]
Вместе с тем методологам анализа, вероятно, хотелось, как и в бухгалтерии (имеется в виду двойная запись как метод учета), иметь нечто неотъемлемо свое - поэтому и была предпринята абсолютизация роли факторного анализа в общей методике аналитических процедур, произошло неестественное выпячивание методов факторных разложений. При этом не только заимствовали из статистики известные методы индексного анализа, но и взяли из математического анализа способы разложений функции в ряд Тейлора. Появились дифференциальный, логарифмический и интегральный методы факторного анализа, якобы более точные и объективные. Началась игра в цифирьки , которая продолжается и по сей день (см., например, книги Г. В. Савицкой). Зачем нужны расчеты ради расчетов, к чему нужна повышенная точность в исчислении влияния отдельных факторов, что делать с выделенным факторами, насколько эти факторы управляемы - эти и другие подобные вопросы, а их список несложно расширить, традиционно оставляются без внимания главное — сделать факторные разложения, создать видимость серьезности анализа. [c.350]
Дифференцирование — построение факторной модели приращения функции путем разложение ее в ряд Тейлора. Приращение представляется в виде ДДх.) = Е[(Э/7Эх) Дг], здесь F(x) — приращение функции Т7аргументов х., / — номера аргументов функции, 3F/3x — частные производные функции по аргументам л , Ах — приращения аргументов, значком обозначено суммирование по всем аргументам. Например, если прирост производства обусловлен приростом производительности труда и численности работников, то можно построить модель В = Р х Аи + п х д/>, где Д — прирост объемов производства, Р — плановая производительность, п — плановая численность работников, ДР и Ди — прирост производительности и численности по сравнению с планом. [c.71]
ТЕЙЛОР (Taylor) Брук (1685-1731) — английский математик, член Лондонского королевского общества. Получил общую формулу разложения функций в степенной ряд, положил начало математическому изучению задачи о колебаниях струны. Он автор работ о полете снарядов, взаимодействии магнитов, центре качания, перспективе и др. К концу жизни занимался вопросами философии. [c.136]
По теореме о разложении аналитической функции в ряд Тейлора частные производные функции отклика по факторам равны по величине и знаку, соответствующим коэффициентам регрессии. Следовательно, если изменять факторы пропорционально их коэффициентам регрессии и в ту сторону, которую указывает знак коэффициента, то движение будет осуществляться по градиенту. Эффективность градиента существенно зависит от характера поверхности отклика. Поэтому он не инвариантен относительно всего, что формирует поверхность от выбора параметра оптимизации и от выбора интервалов варьирования факторов. Действи- [c.234]
Возможность использования этой функции для установления приближенной формулы основана па теореме Тейлора о разложении любой дифференцируемой функции в ряд по степени аргумента1. [c.35]
На практике величину e kt-°a< -1 обычно заменяют на ее приближенно< значение kl at. Эта линейная аппроксимация для малых значений at такж< основана на разложении исходной функции в ряд Тейлора. Весьма часто зна минус опускают и оперируют абсолютным значением величины VaR. [c.252]
Линеаризация функции случайных аргументов. В общем случае числовые характеристики произвольной функции случайных аргументов определяются путем разложения в ряд Тейлора. Обычно используют линейные приближения оценок числовых характеристик, при необходимости их можно уточнить, вычисляя члены ряда Тейлора высших порядков. Линейные оценки для независимых случайных аргументов имеют вид12 [c.46]
Для построения схем стохастической аппроксимации с повышенной скоростью сходимости значительный интерес представляет работа Стратоновича [260]. Здесь исследованы возможности построения итеративных алгоритмов для отыскания корня уравнения регрессии по наблюдениям за реализациями случайной величины при различных значениях параметра. Рассматривается разложение функции регрессии в ряд Тейлора. Процедура Роббинса — Монро соответствует в этой схеме случаю, когда в разложении Тейлора сохраняются лишь линейные члены. Если в этой схеме удерживать также члены более высокого порядка, можно получить итеративные алгоритмы, скорость сходимости которых выше, чем в процедуре Роббинса — Монро. [c.368]
Учитывая формулы (В. 19) и (В. 20) и воспользовавшись формальным разложением функции / ( — гх) в ряд Тейлора около точки , получаек соотношение между г и [c.42]
Дело в том, что в (6.6) стоит знак приближенного равенства, так как математическое ожидание величины /Тсл вычислено не точно (нам неизвестна функция распределения срока службы Тсл), а приближенно, на основе первых трех членов разложения величины /Тсл в ряд Тейлора. Но и с учетом этой поправки ясно, что политика амортизации (6.7) Я = л(1-)-е2) значительно надежнее, чем обычно используемая политика (6.5) п = /МТсл. [c.193]
Приемов факторного анализа много, однако верхом аналитического совершенства считался так называемый интегральный метод, с помощью которого, по мнению его сторонников, можно было рассчитать факторные разложения с более высокой точностью1. Этот метод был заимствован из математики, причем без какого-либо осмысления возможности и оправданности его приложения к экономике. В математическом анализе соответствующий метод (разложение в ряд Тейлора) используется в условиях диф-ференцируемости функции, описывающей изучаемую взаимосвязь, и бесконечно малого изменения признаков, чего в экономике не может быть в принципе, так как многие показатели изменяются дискретно. Однако если даже абстрагироваться от этих формальных требований, то без какой-либо натяжки можно утверждать, что интегральный метод - лишь один из возможных способов факторного разложения, он не хуже и не лучше других, поскольку любое подобное разложение исключительно условно по самой своей сути. Если же подойти к этому вопросу критически, то несложно показать, что все подобные методы (дифференциальный, интегральный, логарифмический и др.) скорее вредны, нежели полезны, поскольку за счет утяжеления (именно утяжеления, а не усложнения) счетных процедур создается видимость серьезности анализа. Любые разговоры о преимуществе одних методов факторного анализа над другими, выражающемся в большей точности разложения (а это основной аргумент апологетов интегрального метода), представляют собой не более чем голословные утверждения. Кроме того, даже на мгновение согласившись с этим абсурдным утверждением, все же нельзя получить более или менее вразумительный ответ на вполне резонный вопрос а зачем нужна эта точность в приложении к ретроспективному анализу Поезд-то уже ушел Если же попытаться применить интегральный метод в перспективном анализе, то и здесь он абсолютно бессмыслен, поскольку исходный материал в этом случае - исключительно приблизительные прогнозные значения показателей. Иными словами, в любом случае анализ с помощью интегрального метода - это также игра в цифирьки , а пресловутая точность метода - не более чем лозунговый блеф. Применять интегральный метод - все равно что строгать скальпелем кол для изгороди строгать-то можно, только вот зачем [c.348]
СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ [spe tral analysis] — математико-статистичес-кий метод анализа временных рядов, при котором ряд рассматривается как сложная совокупность, смесь гармонических колебаний, накладывающихся друг на друга. При этом основное внимание уделяется частоте колебаний используется, в частности, аппарат тригонометрических функций, разложение рядов, анализ автокорреляций. С.а. применяется при изучении колебаний деловой активности, корректировке сезонных колебаний для более наглядного представления тренда. [c.338]
ХФ (к — л) + дН (х — fi), где Ф — функция нормального распределения, а Я — функция распределения произвольного симметричного относительно нуля закона не очень подходит как из-за симметрии Я, так и из-за того, что асимптотика, в которой q и Я фиксированы, а объемы выборки п -> оо, не вполне адекватна статистической практике с ростом объема выборки мы узнаем FQ с возрастающей точностью и в принципе могли бы путем преобразования переменных усилить близость распределения к нормальному закону. Более адекватной моделью засорения является схема последовательности серий выборок растущего объема, в которой пропорция засорения q= yn 1/2 убывает с ростом п [149, 215 и 14, п. 6.1.11]. 7.2.4. Эв-регрессия (i-регрессия). Ниже, используя тот же методический прием, что и при введении эв-оценок [14, п. 10.4.6],. с помощью цепочки определений вводится эв-регрессия и специальная мера отклонения от нее. Далее показывается, что эв-регрессия обладает рядом свойств, похожих на свойства обычной мнк-регрессии. Это облегчает содержательную интерпретацию эв-регрессии и выбор подходящего для конкретного случая значения Я. В заключение приводится асимптотическое разложение для оценок параметров эв-регрессии. [c.218]