В качестве нулевого приближения г о( ) принимаем решение задачи Коши [c.79]
Решение задачи Коши (1.5.58) естественно дается формулами (1.5.56), (1.5.57), в которых вместо / о = Q/2 надо писать f3 = — Qi/2, так что [c.79]
Формулой (1.5.62) можно пользоваться для приближенного вычисления решения задачи Коши (1.5.54). Однако она неудобна тем, что при вычислении второго слагаемого в квадратной скобке имеется операция деления малых чисел ( О/О). Чтобы избавиться от этого, мы несколько огрубим формулу (1.5.62), воспользовавшись разложением по формуле Тейлора функции ехр( —2St) по параметру 8 до членов второго [c.80]
Решение задачи Коши имеет простой геометрический смысл. Действительно, согласно данным определениям, решить задачу Коши (17.3), (17.4) означает найти интегральную кривую уравнения (17.3), которая проходит через данную точку Мо(жо, [c.360]
Пусть T=[TO, TI] — заданный отрезок времени. Состояние системы в момент <ет определяется точкой x(t) Rn. Управление системой обеспечивается r-мерной вектор-функцией u(t). Множество допустимых управлений U представляет собой заданное ограниченное множество пространства Lzr(t) суммируемых с квадратом на отрезке т / -мерных вектор-функций. Состояние системы х меняется в соответствии с выбранным управлением . Вектор состояния системы x(t, и, хц, d) для любых et/ и tst является решением задачи Коши [c.164]
Теперь видно, что цель будет достигнута, если в качестве ф( ) взять решение задачи Коши для уравнения [c.75]
Находится функция ф0 (t) решением задачи Коши [c.101]
Итак, для почти всех точек (фа (0), ф3 (0) решение задачи Коши для П-системы оказывается единственным если на траектории и встречается ситуация Нг [х (t ), ф (2 )]=0, при которой значение и неоднозначно, она носит, так сказать, мгновенный характер. [c.235]
III. Основное продолжение при t > t управление и (t) определяется уравнением Й1 [x (t), ф (t), u]=0. Принцип максимума выполнен, так как из Я [Z]=0 следует Ях U]=0 и Hi [t]=0. Разумеется, этот особый режим возможен лишь при и [0 0,04]. В любой момент t t траектория П-системы может быть переведена в режим I (и (0=0,04 при t > t ) или II (и (0=0 при t > t ). Итак, решение задачи Коши для П-системы оказалось [c.236]
J- и 2) At и в том, и в другом случае и1 (t) л —х1 (0)/ (см. рис. 6, 7 в [41]). В целом, как это видно из табл. 1, этот вариант задачи был довольно легким для численного решения. Вторая задача оказалась сложнее. Она была решена в несколько измененной по сравнению с [41 ] форме во-первых, Г=0, 1, а не 1, как в [41], и в качестве исходной траектории бралось решение задачи Коши (1) с и ( )лЮ (условия х1 (У) = 0, разумеется, выполнены не были). Причины, побудившие к этим изменениям, будут ниже разъяснены. Табл. 2 дает представление о том, как происходит поиск v — номер итерации, значение функционала F0, значения х1 (Т), предсказанные на предшествующей итерации на основе формул линейной теории возмущений, использующих функциональные производные дх (T)jdu(-), и значения х (Т), фактически полученные после интегрирования системы (1 ). Процесс решения задачи заслуживает комментария. Расчет проводился при 7V=100, вариации ]Bz/ , ц были ограничены числами 2 0,5 0,5 для i = i, 23. [c.281]
Задачи математической экономики, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальное уравнение. Решение дифференциального уравнения. Общее решение дифференциального уравнения. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. [c.16]
Теорема существования и единственности решения задачи Коши и следствия из этой теоремы. [c.16]
Последнее требование означает, что решение уравнения ( 1 6) должно совпадать с функцией Беллмана У(1,хаа) = 8(1,хая), а опорный функционал должен являться оптимальной функцией Ляпунова на заданном отрезке времени при любом допустимом векторе управления. Поэтому поиск ОУ, определяемого через решение задачи Коши (16)-(17), должен исключать непосредственное использование процедуры типа и -и [c.101]
Выявим условия, при которых гарантируется существование опорного функционала в виде оптимальной функции Ляпунова и единственность решения задачи Кош и (16)-(17). Ключевой вопрос, на который здесь предстоит ответить, сводится к следующему при каких условиях скалярная функция, удовлетворяющая определенным условиям оптимальности, совпадает с ценой (значениями опорного функционала в произвольный текущий момент времени из заданного отрезка) или, другими словами, в каких случаях локально-оптимальное управление является оптимальным в указанном смысле [c.102]
Возможен еще один подход к отысканию функции (/). Рассмотрим его на примере решения непрерывной задачи (2) с терминальным функционалом / = F(x(T)). В этом случае решение системы (6) является решением линейного дифференциального уравнения
Из вида матрицы Ф следует, что она не удовлетворяет условию причинности соответствующего ей оператора (1, с. 80, 81]. Это означает, что решение задачи Коши для изучаемой системы не порождает причинного оператора. Поэтому введем в рассмотрение краевую задачу [c.218]
В свое время, известный американский математик, лауреат Нобелевской премии по экономике Ричард Беллман заметил, что современные компьютеры по своей природе наиболее приспособлены для решения задач с начальными условиями (задачи Коши). Такие задачи могут быть решены последовательным получением решения от одного момента времени к другому, начиная с начального условия. В известном смысле, вся современная наука является результатом выдающегося и не всегда явно осознаваемого открытия Ньютона, впервые отделившего законы природы от начальных условий. Можно сказать, что традиционные компьютеры, в которых алгоритм отделен от данных, являются парафразом этого достижения. Из вышесказанного следует, что принципы работы обычных компьютеров оказываются в некотором смысле аналогичными принципам обработки информации именно левым полушарием мозга человека. [c.9]
При краткосрочном планировании (т.е. когда Т — невелико) функция ехр(—St) меняется мало и может быть заменена положительной константой в функционале (1.5.42), которая, естественно, может быть отброшена при решении задачи (1.5.42)—(1.5.43). Формально это соответствует случаю 6=0. Тогда задача Коши (1.5.54) приобретает вид [c.78]
Таким образом, практически всякое изучаемое нами дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений, а соответствующая задача Коши имеет единственное решение. [c.361]
Условия (18.4) называются начальными условиями, а задача отыскания решения уравнения (18.3) по заданным начальным условиям (18.4) называется задачей Коши. [c.370]
Задача Коши для нормальной системы (19.1) ставится так найти решение (19.2), удовлетворяющее начальным условиям [c.404]
Ое9 заданные множества в я y(t, v, О) — соответствующие управлению (и, (/i) и зависящее от параметра -ft решение следующей задачи Коши [c.166]
В общем случае единственным способом решения задачи вычисления Z , учитывая неявный способ задания функции Z (I), является численное дифференцирование. Таким образом, вычисление Z (5) и Z требует, по меньшей мере, (тг+т+1)-кратного интегрирования задачи Коши. Учитывая возможности современных ЭВМ, следует признать это обстоятельство отнюдь не самым неприятным по сравнению с остальными. [c.116]
За 8 итераций в 11 секунд на D -6600 было получено стабильное решение. Точность выполнения уравнений ж=/ была проконтролирована интегрированием задачи Коши с найденным и (t) и оказалась хорошей. Если бы такой же контроль был проведен и. в. расчетах [77], их ошибочность немедленно обнаружилась бы. В [78] не приведены значения р, д, N. Вид / также не сообщается, и расчет не удается повторить другим методом. [c.139]
В идейном плане весьма сходным образом рассматривается вопрос о вероятностных решениях и в задаче Коши. [c.335]
Задача Коши для системы (7.6) заключается в определении ее решения yt = <р (х), у2 = <р (х),. .., / = Ф (лг> г удовлетворяющего начальным условиям yi(x0) = y .f Уг ( о) = У1. .... Уп (х ) = У л, где yl, у, . . . , у°п— задан ные= числа. [c.164]
После того, как управления o (t) для г = 2,. . ., п вычислены, оставшееся управление wl(t) долж но быть найдено из равенства (1.4.11) при и1 = о ( ), г = 2,. . . , п, и при решении задачи Коши (1.4.14), (1.4.15) Zl = Zl(t), г = 1,...,п, когда иг = ul(t), i = 2,. ..,п. [c.61]
Итак (1.5.56), (1.5.57) — решение задачи Коши (1.5.55). Отметим, что С > 0 V/ o Е (— схэ,+схэ), и следовательно, знаменатель в формуле (1.5.56) не обращается в ноль ни при каком так что задача Коши (1.5.56), (1.5.57) имеет классическое решение, продолжимое вправо до любых значений переменной t. [c.79]
Состояние системы x(t, и, ю) при любых uef/, oefi и tet представляет собой решение задачи Коши [c.166]
Нарушение единственности решения задачи Коши связано с тем, что определяемая уравнением принципа максимума (6) зависимость V (х, ф, g) при некоторых значениях аргументов не удовлетворяет условию Липшица (с показателем 1), обеспечивающему применение стандартной теоремы единственности. Типичным является, например, наличие разрывов в V (х, ф, g) при особых значениях аргументов. И хотя почти для всех х, ф, g зависимость V (х, ф, g) непрерывна и дифференцируема, упомянутых разрывов часто оказывается достаточно для того чтобы лишить описанную выше формальную процедуру решения краевой задачи для П-системы всяких шансов на успех. [c.117]
В случае броуновского движения функции V = V(t,x) рассматривались (при /3 = 0) в 3f, гл. III, в связи с вероятностным представлением решения задачи Коши. Те же самые рассуждения (см. подробнее п. 5, 3f, гл. III) показывают, что функция V — V(t, х) (при априорном предположении, что она принадлежит классу С"1 2) удовлетворяет not>OvixEE уравнению [c.468]
Характерным обстоятельством, определяющим выбор численного алгоритма и возникающие вычислительные трудности, является величина коэффициентов я и Ъ в задаче о защите a(u) 6(u) i .30 — 40. Если формально ввести условие с параметром xz (0)=a, а х2 (1)=0 отнести к дополнительным условиям задачи типа F 1и ( )]—(), ограничивающим возможные функции и ( ), то внешне простая и бесхитростная задача Коши практически не поддается численному решению на современных ЭВМ дело в том, что общее решение этой системы состоит из двух качественно совершенно разных компонент одна из них — типа сильно растущей экспоненты е40, вторая — типа сильно убывающей е 4°. Поэтому попытка подбором а попасть в правое краевое условие сопря- [c.66]
Другой путь борьбы с неединственностью носит более принципиальный характер и, если его удается реализовать, приводит к хорошим практическим результатам. Однако его реализация весьма трудна, требует индивидуального анализа решаемой задачи. Общих рецептов здесь нет. Поэтому мы ограничимся лишь кратким изложением существа дела. Метод состоит в качественном опжсании множества решений П-системы, которое часто допускает однозначную параметризацию, причем число параметров равно числу неиспользованных конечных соотношений в краевой задаче для П-системы. Формально это совпадает с приведенной выше и отвергнутой схемой рассуждений. Но дело в том, что начальные данные задачи Коши не могут быть взяты в качестве этой системы параметров. Нужно искать другие, успех здесь требует тщательного качественного анализа задачи. [c.119]
Итак, решение задачи оптимального управления найдено по схеме, формально совпадающей с той, с которой все началось строится двухпараметрическое семейство решений П-системы, и значения параметров определяются из дополнительного условия и условия максимума ж2 (Т). Однако разница, и очень существенная, состоит в том, что в качестве этих параметров не удается взять данные Коши ф (0). Реализация же всей программы потребовала привлечения достаточно подробных предварительных сведений о качественном характере искомого решения. [c.238]