В линейном программировании область допустимых решений допустимый многогранник) всегда выпукла и всегда находится в неотрицательном подпространстве многомерного (п-мерного) пространства решений. [c.231]
Перечислите основные условия и предпосылки линейности при описании модели затраты—выпуск . Как связаны эти условия с конкретным представлением экономической области фирмы в п-мерном пространстве факторов [c.79]
В этом случае множество Кг совпадает со всем пространством Rn и K = Ki П Rn = Ki. Действительно, представим 2/п-мерный вектор г/ в виде у=(у+, у ), где m-мерный вектор у+ соответствует матрице Е, а у- — матрице —Е. При любом
Третий способ наиболее точный, хотя требует несколько больших расчетов. Математическая аналогия метода расстояний такова. Каждому предприятию ставится соответствующая точка в га-мерном пространстве (п — число показателей, по которым производится сравнение) так, что координатами точки служат показатели этого предприятия, выраженные в долях тех же показателей предприятия-эталона. Точка-эталон, соответствующая условному предприятию-эталону, имеет координаты, равные единице. Тогда субординация мест определится удаленностью точек-предприятий от точки-эталона. Расстояния от точки-эталона находятся по формуле [c.448]
Нас интересуют точки, соответствующие условию h(X) - г. Максимум f(X) помечен точкой М обозначим Я. наклон кривой в згой точке. Если в качестве ординаты брать не f(X), а ЦХ X) = f(X) -- Х[Л(Х) - г], то новая верхняя граница (синяя кривая) имела бы в точке М горизонтальную касательную. Это значит, что в исходном п-мерном пространстве соответствующая точка М — стационарная точка функции L(X X) с данным [c.594]
Множество производственных возможностей фирмы или общества можно рассматривать с различных точек зрения. В лекции 22 рассматривалась фирма, причем для простоты предполагалось, что фирма производит единственный продукт. В этой связи использовалось множество производственных возможностей в (п+1)-мерном пространстве, п координат которого характеризовали затраты различных ресурсов, а одна координата — объем выпуска продукта. В этом выпуске в связи с иным характером обсуждаемых задач мы рассматриваем множество производственных возможностей (МПВ), или производственное множество общества в пространстве продуктов, которое мы будем обозначать символом >. [c.664]
Для более чем двух товаров соответствующее утверждение не обязательно будет верным. Для п товаров мы имеем п — 1 самостоятельных предельных норм замены <Х и У. X и Z. X и W и т. д. отсюда могут быть выведены остальные). Но из этих п — 1 предельных норм замены возможно построить диаграмму безразличия (или то, что соответствует диаграмме безразличия в п-мерном пространстве), если только соблюдены некоторые добавочные условия (условия общности). Это утверждение, глубоко очаровавшее умы экономистов-математиков, имеет сомнительную экономическую значимость. Некоторые выводы, имеющие значение лишь при соблюдении условий общности, будут даны ниже. [c.122]
Следующий класс проблем, интерес к которым в последнее время постоянно возрастает — это экономические модели справедливого распределения. Упомянем здесь три модели модель, в которой агенты имеют классические предпочтения на п-мерном пространстве товаров, модель с единственным товаром и "одно-пиковыми" предпочтениями агентов и, наконец, модель с неделимыми товарами. [c.221]
В Af-мерном векторном пространстве П — рг,. . . рассмотрим множество возможных распределений [c.83]
Если г — некоторое положительное число, то г-окрест-ностью Sr(M0) точки М0 в п.- мерном пространстве R" называют множество всех точек ДС R" таких, что p(M,Af0)[c.76]
Геометрической интерпретацией уравнения ( 3 ) служит поверхность в п -мерном евклидовом пространстве, то есть обобщенная внутренняя норма доходности представляет собой геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению ( 3 ). В простейших случаях при п = 2 и п = 3 получаем уравнения кривой на плоскости ( q r, q 2 ) и поверхности в трехмерном евклидовом пространстве ( q i, q 2, q з ) соответственно. В классическом определении ВНД геометрической интерпретацией является точка ( или несколько точек ) на числовой оси. [c.115]
Факторы изменяются во времени, и известны значения каждого фактора в и точках, т.е. будем считать, что в т-мерном пространстве задано п точек [c.130]
Совокупность п линейно независимых векторов n-мерного пространства R" называется базисом. [c.270]
Векторы е, в2,..., е n-мерного евклидова пространства образуют ортонормированный базис, или ортонормированную систему векторов, если эти векторы попарно ортогональны и длина каждого из них равна 1, т. е. если (et, е ) = 0 при / Ф и et = 1, / = 1,..., п. [c.271]
Когда мы торгуем портфелем рынков и/или систем, мы просто усиливаем эффект отклонения от вершины кривой в (п + 1)-мерном пространстве. [c.39]
Отсюда немедленно возникают два вопроса. Во-первых, как найти вершину кривой в (п + 1)-мерном пространстве в любой данный момент времени. И во-вторых, как предсказать, в каком направлении она будет сдвигаться. В этой книге мы попытаемся ответить только на первый из этих вопросов. [c.42]
Какой бы хорошей ни была система, она все равно будет приносить меньше прибыли, чем могла бы, если не расположить ее на вершине (п + 1)-мерного изображения. Минимально эффективные трейдеры и торговые системы могут заработать значительно больше денег, чем выдающиеся трейдеры или системы, если будут полнее учитывать рельеф этой поверхности. Степень эффективности мало зависит от трейдера, используемых систем или концепций, чего не скажешь о местоположении на (п + 1)-мерном пространстве. [c.43]
Далее в этой главе будет показано, что среднегеометрическое доходов за период владения активом может быть достаточно точно аппроксимировано с помощью теоремы Пифагора для среднеарифметического и стандартного отклонения доходов за период владения. То есть среднеарифметическое и стандартное отклонение (дисперсия) доходов за период владения позволяют оценить среднегеометрическое доходов за период владения, или высоту в (п 4- 1)-мерном пространстве. [c.44]
В рассмотренном примере мы предполагали, что участвуем в двух и более последовательных розыгрышах, в каждом из которых мы повторно используем те деньги, с которых начали. Если бы мы участвовали лишь в одном розыгрыше, то есть в одном периоде владения, или получали бы дополнительные деньги для игры в каждом следующем периоде владения, то оптимальной стратегией была бы максимизация арифметической ожидаемой полезности. Однако в большинстве случаев нам приходится в следующем розыгрыше (периоде владения) вновь использовать те деньги, которыми мы располагали в предыдущем розыгрыше. Поэтому мы должны стремиться максимизировать геометрический средний рост. Для одних это может означать максимизацию геометрического ожидаемого роста капитала, для других — максимизацию геометрического ожидаемого роста полезности. Математика в обоих случаях одна и та же. И там, и там мы имеем две поверхности в (п + 1)-мерном пространстве поверхность максимизации капитала и поверхность максимизации полезности. Для тех, кто максимизирует ожидаемый рост капитала, эти кривые совпадают. [c.128]
Впрочем, мы предупредили этих читателей, что им все равно придется оплатить (деньгами) издержки своего субоптимального положения в (п + 1)-мерном пространстве рычагов максимизации капитала. Вновь повторю, что это так потому, что безотносительно к вашей кривой предпочтения полезности, вы находитесь где-то на плоскости (см. рис. 1.2) для одной игры и где-то в (и + 1)-мерном пространстве рычагов для нескольких одновременных игр. Вы пользуетесь преимуществами, точно так же, как оплачиваете издержки этого вне всякой связи с вашей функцией предпочтения полезности. В идеале, ваша функция предпочтения полезности должна быть логарифмической. [c.129]
Значение целевой функции вместе с подставляемыми в нее значениями аргументов дают координаты нашего положения в (п + 1)-мерном пространстве. Отыскивая /для одной рыночной системы или одного сценарного спектра, когда п равно 1, мы получаем координаты в двухмерном пространстве. Одной из координат является значение/ подставляемое в целевую функцию, а другой координатой — значение целевой функции от этого / [c.172]
Данная целевая функция, которую нам нужно максимизировать, выражает суть нашей новой методологии инвестирования капитала. Она дает нам высоту, среднее геометрическое HPR, в (п + 1)-мерном пространстве используемых значений/ Это точное значение, безотносительно к тому, как много сценарных спектров используется в качестве аргументов. Это — целевая функция модели в пространстве рычагов. [c.176]
Это среднее геометрическое HPR дает нам высоту в (п + 1)-мерном пространстве. Нам нужно найти вершину в этом пространстве, поэтому далее нам следует выбрать и опробовать новый набор значений /, который помог бы нам найти эту вершину. Этот процесс и называется математической оптимизацией. [c.182]
Мы можем отыскать вершину (п+1)-мерного изображения в пространстве рычагов с помощью новой модели, представленной в предыдущей главе. К сожалению, управляющие капиталом должны жить в рамках заданного множества ограничений, которые в большинстве случаев не позволили бы им находиться на вершине этого изображения. Текущие потери почти всегда будут больше того, что позволят им их инвесторы. Однако эта неспособность к пребыванию на вершине не означает, что они не могут воспользоваться этой новой методологией для осуществления выгодного выбора. [c.200]
Все сказанное возвращает нас к началу данной книги. Суть понятия (п + 1)-мерного изображения в пространстве рычагов, или, если угодно, осей, соответствующих значениям/различных сценарных наборов, состоит в том, чтобы служить методологией анализа состава портфеля и определения его объема с течением времени. Для выработки этой новой методологии нужно еще очень многое сделать. Эта книга далеко не исчерпывает данного предмета. Скорее, она является введением в новый и одновременно, как я полагаю, лучший способ решения проблемы распределения инвестиций. Она почти наверняка дает портфельным стратегам, прикладным математикам, практикам в области распределения инвестиций и программистам много новой плодородной почвы для работы. Честно говоря, нужно еще очень много сделать в области анализа, практического использования и развития этой новой методологии, плоды чего нельзя даже и определить. [c.253]
Рассмотрим график, представляющий потребительское множество (множество потребления) — множество всех реально возможных наборов потребляемых благ. Наглядным изображением потребительского множества является его геометрическая интерпретация, в которой множество потребления представляется в виде соответствующего пространства благ. Для этого каждый из отдельных видов благ, входящих в множество потребления, обозначается каким-либо номером в произвольной последовательности. Всего для п видов благ, входящих в набор, получается п номеров. Такому номеру ставится в соответствие одна из осей координат в конструируемом таким образом и-мерном пространстве. Тогда данное количество X блага данного /-го вида, входящее в набор, будет характеризоваться соответствующей величиной координаты Х , откладываемой по данной i-ой оси и-мерного пространства благ. Отложенные по всем и осям такого пространства благ, все координаты от Xj до Х и дадут в своей совокупности геометрический аналог данного набора A(Xj, X2,. .., Х ). Очевидно, что им будет точка А в и-мерном пространстве, все координаты которой Xt будут равны соответственно всем количествам благ /-го вида, входящим в данный набор А. [c.109]
В реально потребляемых наборах число видов благ п достаточно велико. Однако для изучения закономерностей процессов потребления мы вполне можем ограничиться всего двумя, используя аналогичность свойств всех и-мерных пространств, начиная с и=2. Это означает, что все свойства и зависимости, определенные для двумерного пространства, будут справедливы и для соответствующих им свойств и зависимостей -мерного пространства. Таким образом, мы получаем возможность широко использовать графики, выполненные на плоскости, то есть в пространстве с двумя координатами. [c.110]
Каждый вектор пространства может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов а = 2/, е,-Коэффициенты разложения я. однозначно определяют вектор а. Поэтому часто говорят, что л-мерный вектор — это упорядоченная совокупность п чисел а. . (См. Вектор.) Размерность векторного пространства равна количеству векторов, составляющих его базис. [c.26]
Приведенные крайне упрощенные примеры демонстрируют основные особенности задачи Л. п. Реальные задачи, насчитывающие много переменных, нельзя изобразить на плоскости — для их геометрической интерпретации используются абстрактные многомерные пространства. При этом допустимое решение задачи — точка в n-мерном пространстве, множество всех допустимых решений — выпуклое множество в этом пространстве выпуклый многогранник). [c.172]
В экономико-математических исследованиях в большинстве случаев используются метрические пространства. Одно из них — евклидово П. (обозначается Е" или Еп). Метрическое пространство — такое, в котором между двумя любыми точками х, у определено расстояние d (x, у). Евклидово л-мерное П. соответственно является метрическим пространством с евклидовым расстоянием между точками х (x]t x2,. .., х) и у [c.292]
Рассмотрим нормальную систему вида (19.1), где ж — время, а 2/ъ у 2 з , У п — координаты точки n-мерного пространства. Это пространство будем называть фазовым пространством. В случае п = 1 фазовое пространство есть ось О ж при п = 2 — плоскость (ж, у) — фазовая плоскость. [c.405]
З.Кгфжнер В.М., Табачников М.И. О критических показателях норм в п - мерном пространстве. /СИБ.Мат.Журнал - 1971.-12, № 3 4 с.672 - 675. [c.18]
Это есть п — К соотношений между компонентами ф (0). Впрочем, чаще такие условия формулируются иначе условиями Gk [х (0) ]=0 в и-мерном пространстве выделяется (п — К)-ыерное гладкое многообразие а = 8х(0) и подлежат рассмотрению не всевозможные и-мерные векторы а, а лишь те, которые лежат в касательной к упомянутому многообразию (п — )-мерной гиперплоскости (касательной в точке х (0), разумеется). Тогда условие трансверсальности (Ва, ф(0))=0 означает, что ф (0) должен быть ортогонален этой касательной (п — А)-мерной гиперплоскости. Это и есть традиционная формулировка условий трансверсальности на левом конце траектории. [c.68]
На интервале [О, Т] вводится счетная сетка, для простоты равномерная t0 = Q. fj,, ,,,tN=T ti = ii t — T/N. В каждой точке t определяется экземпляр сетки в фазовом пространстве, покрывающий область G с некоторой густотой, определяемой шагом h в фазовом пространстве совокупность точек i-й сетки ж. будем обозначать S1. Заметим, что индекс /, который можно считать, например, п -мерным мультииндексом, принимает по числу узлов [c.121]
Множество всех п-мерньях точек составляет п-мерное пространство R". [c.75]
Линейное пространство Щназывается n-мерным, если в нем существует п линейно независимых векторов, а любые из (я+1) векторов уже являются зависимыми. Иначе, размерность пространства — это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов, т. с. dim(R") = п. [c.270]
ВЕКТОРНОЕ (ЛИНЕЙНОЕ) ПРОСТРАНСТВО [ve tor spa e] — множество всех векторов с одинаковым числом компонент, важнейшее для математической экономики понятие. Компонентами векторов действительного векторного пространства являются действительные числа (векторное пространство над полем R действительных чисел). Напр., векторы (5,3, -8,4) и (3, 5, 9, 1) — элементы 4-мерного векторного пространства. Пространство векторов с п координатами — л-мерное. В экономических за- [c.43]
П.з. является неотрицательным ор-тантом n-мерного евклидова пространства. Каждой точке П.з. соответствует единственный максимальный выпуск, произведенный при использовании всех ресурсов. [c.293]
СИМПЛЕКС [simplex] — выпуклый многоугольник в n-мерном пространстве с п+1 вершинами, не лежащими в одной ги-перпчоскости. С. выделены в отдельный класс потому, что в и-мерном пространстве и точек всегда лежат в одной гиперплоскости. Так что С. — это простейший многоугольник, содержащий некоторый объем и-мерного пространства. [c.321]