Каждый вектор х линейного пространства R можно представить единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса [c.270]
Евклидовым пространством называется векторное (линейное) пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее следующим свойствам [c.271]
См. также Векторное (линейное) пространство, Вектор-столбец, Вектор-строка, Линейная зависимость векторов, Линейная комбинация векторов. [c.42]
Векторное (линейное) пространство [c.43]
См. также Векторное (линейное) пространство, Линейная зависимость векторов, Линейная комбинация векторов, Линейная модель, Линейная оболочка, Линейная форма, Линейная система, Линейная функция, Линейность в экономике. [c.169]
Все пространства, упоминаемые в нашем словаре, являются евклидовыми л-мерными пространствами, обозначаются Е" или Еп. (См. Вектор, Векторное (линейное) пространство, Базис векторного пространства.) [c.199]
См. Многомерное (n-мерное) пространство, Базис векторного пространства, Векторное (линейное) пространство, Гиперпространство, Гиперплоскость, Полупространство, Размерность векторного пространства. [c.293]
Векторное (линейное) пространство 43 [c.461]
Линейное программирование как научно-практическая дисциплина. Из всех задач оптимизации задачи линейного программирования выделяются тем, что в них ограничения — это системы линейных неравенств или равенств. Ограничения задают выпуклые линейные многогранники в конечном линейном пространстве. Целевые функции также линейны. [c.164]
Доказательство. (П) => (i) Поскольку г(ЛЛ/ + ВВ/) = г(Л В), из (П) следует, что г (А В) = г (А) + г(В). Следовательно, линейное (под)пространство, натянутое на столбцы Л, и линейное пространство, натянутое на столбцы В, не пересекаются, т. е. со (Л) П ol(B) = 0 . [c.88]
Заметим, что оценка решений могла бы резко измениться, если бы с точки зрения руководителя изменилась относительная важность критерия. Так, если важность критерия по затратам оценить в 8 баллов, а по очистке - в 6 баллов то при остальных не изменившихся условиях веса каждого линейного пространства примут значения, показанные на табл. 7.4. [c.241]
Соотношение (3.8) имеет простую геометрическую интерпретацию. Пусть Q — линейное пространство всех элементов A —t, — , eQ. Соотношение (3.8) — равенство нулю скалярного произведения элементов т] — и Д = — при всех A Q — означает, что случайные величины т] — и А некоррелированы. Разность ц — ортогональна к подпространству Q. Точка называется проекцией величины т) на линейное многообразие Q, а разность т — — перпендикуляром к Q из точки г. [c.309]
Пусть случайные величины Xi и [уп] — элементы некоторого нормированного линейного пространства Н с элементами /г, и Tn(hi,. ... . ., hn) — измеримое преобразование из части Я в Я, такое, что [c.353]
Конус вариаций независимого аргумента теперь есть произведение обычного конуса Ки и конуса Кл возможных вариаций Sa если на значения параметров а никаких условий не наложено, Кх есть все р-мерное линейное пространство. Именно этот случай мы и будем иметь в виду. [c.63]
Определение. Выпуклым множеством в векторном (линейном) пространстве называется такое множество 5, что для любых С/, V е S и произвольного X е [О, 1 ] выполняется А.Г/+ (1-Х) Fe S (см. рис. 1.6), т.е. вместе с любыми двумя своими точками U и V множество S содержит весь соединяющий их прямолинейный отрезок. П [c.51]
Для оценки размерности (/) достаточно заметить, что все вообще вещественные функции над / образуют линейное пространство размерности 2п. При этом все характеристические функции удовлетворяют условию персонально ста i>(0) = 0, которое является нетривиальным линейным соотношением. П [c.212]
Из установленной в предыдущем пункте линейной независимости всех простейших характеристических функций в линейном пространстве, натянутом на множество (/), и из совпадения их числа с размерностью этого пространства (см. п. 2.1) следует, во-первых, что размерность конуса ffl(I) всех характеристических функций над / равна 2п — 1, а, во-вторых, что каждую характеристическую функцию над / можно представить, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации простейших характеристических функций над /. [c.213]
Функции ик также называют вариацией ик (из контекста обычно ясно, идет речь о бесконечно малых вариациях 8ик или о "конечных" вариациях ик). Приведем геометрическую интерпретацию вариаций. Для удобства геометрической интерпретации будем считать, что множество М лежит в некотором линейном пространстве Н. Множество М можно представлять себе поверхностью в Н. Выведем из точки и е М кривую w(e),e > 0— параметр на кривой, и (0) = и. Кривую считаем достаточно гладкой в том смысле, что существует предел [c.11]
Функционал называется линейным (и, как правило, обозначается L (и)), если он определен в линейном пространстве Н, и для любых двух элементов и и и из Я и любых двух действительных чисел а и 0 [c.13]
Как правило, множество М можно считать подмножеством банахова пространства. Банаховым называется линейное пространство В, в котором определена норма — неотрицательный функционал II и II, однородный ( Хы = Х и ), невырожденный ( и = 0 тогда и только тогда, когда w = 0), выпуклый ( и + ы < w + u ), и пространство В полно по норме, т.е. любая фундаментальная последовательность un ( un --ит -> 0 при п, т -> °°) сходится в В. [c.81]
В механических задачах нижняя грань обычно связана со значением энергии на минимизирующем элементе. Эта связь очевидна, если функционал /(и) совпадает с энергией. Покажем, что она имеет также место в задачах о минимуме на некотором линейном пространстве ЛС функционала /(и) вида [c.85]
Покажем, что для построения уточненной теории, учитывающей поправки порядка а(е), в функционале надо сохранить все члены порядка а(е) по сравнению с единицей. Это утверждение мы рассмотрим на примере задачи о минимуме на линейном пространстве Л квадратичного функционала /(и, е) вида [c.142]
Частными случаями линейных пространств являются вещественная прямая, плоскость, геометрическое трехмерное пространство. [c.21]
Система векторов линейного пространства а1, а2,..., ат называется линейно зависимой, если существуют такие числа Хр А,2,..., А,т, не равные одновременно нулю, что их линейная комбинация A,1a1+A,2a2+...+A,mam равняется нулевому вектору (вектору, все компоненты которого равны нулю). В противном случае систему а1, а2,..., аш называют линейно независимой, т. е. линейная комбинация данных векторов может быть равна нулевому вектору только при нулевых коэффициентах [c.21]
Линейное пространство Щназывается n-мерным, если в нем существует п линейно независимых векторов, а любые из (я+1) векторов уже являются зависимыми. Иначе, размерность пространства — это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов, т. с. dim(R") = п. [c.270]
Напомним, что произвольная точка уеЕ может быть единственным образом представлена в виде у=у +<л,у Ь0. соеЛ(, где Ll ортогональное дополнение L0 в линейном пространстве [c.133]
ВЕКТОРНОЕ (ЛИНЕЙНОЕ) ПРОСТРАНСТВО [ve tor spa e] — множество всех векторов с одинаковым числом компонент, важнейшее для математической экономики понятие. Компонентами векторов действительного векторного пространства являются действительные числа (векторное пространство над полем R действительных чисел). Напр., векторы (5,3, -8,4) и (3, 5, 9, 1) — элементы 4-мерного векторного пространства. Пространство векторов с п координатами — л-мерное. В экономических за- [c.43]
ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО [Eu lidean spa e] — см. Многомерное (n-мерное) векторное пространство, Векторное (линейное) пространство. [c.97]
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА [linear algebra] — математическая дисциплина, раздел алгебры, содержащий, в частности, теорию линейных уравнений, матриц и определителей, а также теорию векторных (линейных) пространств. [c.168]
РАЗМЕРНОСТЬ ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА [dimensionality of ve tor-spa e] — максимальное число линейно-независимых векторов в векторном (линейном) пространстве (см. Линейная зависимость векторов). Если это число конечно, то пространство называется конечномерным (многомерным). В противном случае — бесконечномерным. Пример конечномерного векторного пространства — множество возможных планов цеха из ст. "Вектор". Размерность этого пространства равна 4. Точки на прямой действительных чисел образуют одномерное пространство. [c.298]
Напомним, что оператор Ф(х), отображающий линейное пространство 54 в пространство В с конусом Gi B называется выпуклым вверх, если для любых xi, x Bi и всех имеет место соотношение [c.24]
В некоторых частных случаях можно указать конструктивные критерии разрешимости системы нелинейных неравенств (6.25). Пусть, например,
Заметим, что уравнения Винера — Хопфа вида (4.4) и (4.6) справедливы и при менее жестких условиях, когда область Q — не Линейное пространство, а линейное многообразие в гильбертовом пространстве Я, определяемом заданным законом изменения математического ожидания t(t)—h(t). Действительно, в этом случае t является решением задачи сглаживания или упреждения по минимуму второго момента ошибок тогда и только тогда, если выполняется равенство (3.8) или, что то же самое, соотношение (3.9). Для линейных фильтров, когда и ( ) свя заны формулой (2.1), соотношение (3.9) может быть представлено в виде [c.313]
По условию G-Q, если С = С = /г. Кроме того, если Р и Р Принадлежат линейному многообразию QP, порожденному линейным многообразием Q, то Р — Р принадлежит линейному пространству и последнее равенство выполняется, только если выражение в фигурных Скобках равно нулю, т. е. если Р удовлетворяет интегральному уравнению (4.4) Винера — Хопфа. Аналогичным образом расширяется область применимости уравнения (4.6) для случая, когда L, и (/) связаны соотношением (4.5). [c.313]
Множество вариаций 8м (t) на той части [О, Г], где 0 < и < U+ (а в расчетах I—IV f/+=oo), образует линейное пространство, следовательно, и его образ в конусе достижимости тоже есть линейное пространство. Для того чтобы траектория была оптимальной, это последнее линейное пространство не должно совпадать с плоскостью. Значит, оно должно выродиться в прямую, что возможно -—цп лишь при wt (t) = onst при и (t) > 0.. jjj В ситуациях, в которых прекращались итерации, постоянство w1 (t) на активном участке траектории (и > 0) выполнялось с четырьмя знаками. На пассивном участке (м=0), где 8м должно быть, неравенство шг (t) [c.243]
В данной задаче допустимые по условиям (21) fo образуют линейное пространство (в частности, если fo удовлетворяет (21), то и —fo удовлетворяет (21), и нам достаточно найти любое fo, удовлетворяющее (21), для которого /° (х) fo= 0). Таким образом, оптимальной (неулучшаемой) точкой х может быть только такая, в которой из fx (х) fo=0, i=l, 2,. . ., 771 следует /° (х) fo=0. В линейной алгебре установлено, что это эквивалентно линейной зависимости градиентов f x (х), т. е. должны существовать множители Хх, А2,. . ., т такие, что [c.399]
В линейном пространстве всех вещественных функций на множестве 27 множество /) всех характеристических функций над/ (т.е. функций, обладающих свойствами супераддитивности и персонально ста) имеет определенное строение. [c.212]
В банаховом пространстве естественно возникает понятие сходимости по норме или сильной сходимости. Именно, последовательность ип сильно сходится к и0. если и - и0 -> 0 при и -> °°. Однако сильная сходимость не очень полезна для теорем существования минимизирующего элемента, так как ограниченные замкнутые множества (замкнутые множества, лежащие в шаре II w < R конечного радиуса R), в- отличие от конечномерного пространства некомпактны. Оказывается, что ограниченные замкнутые множества в банаховом пространстве могут быть компактны относительно слабой сходимости последовательность ип слабо сходится к м0, если для любого линейного непрерывного1) функционала /(м) 1(и ) -> /(MO) при и- 00. Подобные банаховы пространства часто возникают в приложениях к их числу относятся, например, гильбертовы пространства (линейные пространства, в которых определено скалярное произведение (и, v), а норма вводится по правилу II ы = (и, и)). В дальнейшем, говоря о банаховом пространстве, будем считать, что его ограниченные замкнутые множества слабо компактны. [c.81]