В общем виде задача линейного программирования, к которой сводится значительная часть производственно-экономических проблем, может быть сформулирована следующим образом необходимо так выбрать вектор х, составленный из п величин х, . .., х%, чтобы на этом векторе х достигался максимум (или минимум) линейной функции [c.150]
Все векторы х, удовлетворяющие ограничениям задачи, называются допустимыми, а вектор х, на котором достигается максимум линейной функции — оптимальным. [c.151]
Как. в линейных, так и в нелинейных статических экономико-математических моделях множество X обычно содержит больше чем, один допустимый вектор. Это означает, что имеется некоторая свобода выбора соотношения модели не определяют единственным образом то, что произойдет с изучаемой экономической системой. Это позволяет ввести понятие внешнего воздействия (управления), определяющего судьбу моделируемой системы. В статических моделях типа (3.3) или (3.8) управлением является [c.35]
Здесь A (t), A2(t), i(t), 2(t — заданные матрицы, элементы Которых зависят от времени, a(t) и b(t) — заданные векторы, также зависящие от времени. Соотношение (3.17) является линейным дифференциальным уравнением, описывающим изменение состояния системы, а (3.19) — представлением множества УШ. Как и в статическом случае, исследование линейных систем является более простой задачей, чем анализ модели общего вида. К линейным моделям близки по свойствам модели типа (3.17), (3.18) с ограничениями общего вида (3.16) в том случае, когда множество Y(t) при каждом t выпукло. [c.37]
Как видно, соотношения (4.26) н (4.29) — это не что иное, как ограничения исходной задачи (4.23), (4.24). Соотношения (4.25) и (4.30) являются ограничениями на вектор v, аналогичными (4.23), (4.24). Это наводит на мысль о том, что существует некоторая задача линейного -программирования для переменных i>j, которая приведет к той же системе (4.25) — (4.30). Действительно, если рассмотреть задачу [c.54]
Как видно, эти соотношения совпадают с соотношениями (4.25)— (4.30). Таким образом, задачи линейного программирования (4.22) —(4.24) п (4.31) — (4.33) приводят к одним и тем же соотношениям, которым должна удовлетворять пара векторов х и v. Задачу (4.31) — (4.33) называют двойственной для исходной (прямой) задачи (4.22) — (4.24). [c.54]
Понятие производственного способа уже рассматривалось в 4 гл. 2. Напомним еще раз, что под производственным способом понимается такое описание производства, когда соотношение затрат и выпуска линейно зависит от интенсивности производственного процесса, которую в данном параграфе будем обозначать через х (в отличие от гл. 2, где интенсивность обозначалась через Я). Как уже говорилось, производственный способ может быть описан с помощью вектора с = ( j,..., с ), где п — число продуктов и ресурсов в математической модели. При этом k < 0 означает, что данный ресурс потребляется в описываемом производственном способе fe>0 означает, что данный продукт производится с,, = 0 означает, что данный продукт или ресурс к производственному способу отношения не имеет. Затраты или выпуск /с-го ресурса пли продукта yk подсчитывается по формуле [c.164]
Для преодоления этой трудности был предложен альтернативный способ проведения диалога, основанный на построении множества всех достижимых наборов целей. Обозначим через с вектор, описывающий некоторый набор целей (СДГ),. .., AT) . Множество достижимых значений вектора представляется в виде системы линейных неравенств [c.284]
Другой путь применения методов взвешивания состоит в использовании методов линейного параметрического программирования. Сначала находят точку эффективного множества, максимизируя один из показателей (скажем, находится точка А см. рис. 6.9), затем с помощью методов параметрического линейного программирования определяется, как надо изменить вектор весов,, чтобы получить соседнюю эффективную точку, и т. д. Достоинство этого метода состоит в том, что выбор весов отражает структуру задачи, а сложность — в том, что приходится организовывать процесс таким образом, чтобы просмотреть все эффективные вершины. Конечно, довести до конца такой процесс удается только тогда, когда число эффективных вершин не слишком велико. Кроме того, методы нара-метрического программирования имеют тот же недостаток, что и методы сеток (см. рис. 6.10). [c.311]
Модель нефтедобывающей промышленности страны описывается блочной задачей линейного программирования. Процесс согласования решений моделей различных уровней опирается на группу управляющих параметров, которые формируются в моделях нефтедобывающих районов (в настоящей разработке они являются координаторами решений). Эти параметры представляют собой вектор дискретных оценок, возможность использования которых для согласования решений рассматривалась в работе [83], где они интерпретируются по их роли в алгоритме оптимизации, т. е. как параметры, показывающие наиболее вероятное направление изменений условий задачи, учитывающие дефицитность ресурсов, существенность ограничений, соотношение затрат и т. д. и приводящие к улучшению отраслевого плана. [c.208]
Аналогично можно записать систему (ms+p+1) линейных уравнений при рассмотрении системы векторов [c.71]
Векторы значений объясняющих переменных, или столбцы матрицы плана X, должны быть линейно независимыми, т. е. ранг матрицы X — максимальный (г (Х)=р+ ). [c.86]
Как уже отмечено в 4.1, модель (4.2), удовлетворяющая приведенным предпосылкам 1—6, называется классической нормальной линейной моделью множественной регрессии если же среди приведенных не выполняется лишь предпосылка 5 о нормальном законе распределения вектора возмущений е, то модель (4.2) называется просто классической линейной моделью множественной регрессии. [c.87]
При функциональной форме мультиколлинеарности по крайней мере одна из парных связей между объясняющими переменными является линейной функциональной зависимостью. В этом случае матрица Х Х особенная, так как содержит линейно зависимые векторы-столбцы и ее определитель равен нулю, т. е. нарушается предпосылка 6 регрессионного анализа. Это приводит к невозможности решения соответствующей системы нормальных уравнений и получения оценок параметров регрессионной модели. [c.108]
Оценки, определяемые вектором (4.8), обладают в соответствии с теоремой Гаусса—Маркова минимальными дисперсиями в классе всех линейных несмещенных оценок, но при наличии мультиколлинеарности эти дисперсии могут оказаться слишком большими, и обращение к соответствующим смещенным оценкам может повысить точность оценивания параметров регрессии. На рис. 5.1 показан случай, когда смещенная оценка Ру, [c.110]
К модели (5.13) уже можно применять обычные методы исследования линейной регрессии, изложенные в гл. 4. Однако следует подчеркнуть, что критерии значимости и интервальные оценки параметров, применяемые для нормальной линейной регрессии, требуют, чтобы нормальный закон распределения в моделях (5.11), (5.12) имел логарифм вектора возмущений (т. е. In e Nn (О, <з2Е ), а вовсе не Е. Другими словами, [c.126]
При моделировании реальных экономических процессов мы нередко сталкиваемся с ситуациями, в которых условия классической линейной модели регрессии оказываются нарушенными. В частности, могут не выполняться предпосылки 3 и 4 регрессионного анализа (см. (3.24) и (3.25)) о том, что случайные возмущения (ошибки) модели имеют постоянную дисперсию и не коррелированы между собой. Для линейной множественной модели эти предпосылки означают (см. 4.2), что ковариационная матрица вектора возмущений (ошибок) е имеет вид [c.150]
Вопрос об эффективности линейной несмещенной оценки вектора р для обобщенной регрессионной модели решается с помощью следующей теоремы. [c.152]
Векторным (линейным) пространством называется множество векторов (элементов) с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющие следующим свойствам [c.270]
Понятие линейной комбинации, линейной зависимости и независимости векторов е, e2 . f ет аналогичны соответствующим понятиям для строк матрицы е, е2,..., ет ( 11.5). [c.270]
Совокупность п линейно независимых векторов n-мерного пространства R" называется базисом. [c.270]
Каждый вектор х линейного пространства R можно представить единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса [c.270]
Евклидовым пространством называется векторное (линейное) пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее следующим свойствам [c.271]
Разным собственным значениям матрицы соответствуют линейно независимые собственные векторы. [c.272]
Являются ли линейно зависимыми векторы а —(2 — 1 3), о2=(1 4 -1), с3=(0 -9 5) [c.278]
Лаговая переменная 20, 147, 178 Линеаризация модели 22, 125, 126 Линейная комбинация векторов 270 [c.301]
Направления, по которым устанавливаются цели (табл. 5.1), ориентируют менеджеров на балансирование интересов участников, с которыми они связаны при достижении целей. Следует подчеркнуть, что координация векторов интересов и, соответственно, целей имеет не линейную зависимость, а более сложную, которую трудно формализовать. Каждая организация характеризуется множеством целей, ценностей и интересов. Увязать цели каждого индивида с целями других и более общими целями организации - задача, решение которой осложняется мно- [c.60]
Данное уравнение позволяет определить вектор развития параметр b с плюсом - рост, b с минусом - спад. Он указывает на то, что рынок развивался равномерно, без ускорения или замедления. Модель тренда по линейной функции отражена на рис. 4.5. [c.150]
Аналогичная по математической постановке задача линейного программирования с переменными вектор-столбцами, заданными на выпуклых множествах, приведена в работе [14]. Показана принципиальная возможность применения декомпозиционной процедуры для данного типа задач. В результате решения определяются как основные переменные, так и значения элементов матрицы условий. Применение принципа декомпозиции для решения задачи линейного программирования с переменными параметрами модели (обобщенная задача линейного программирования) рассмотрено в работах [15, 16]. Особенностью алгоритма является то, что в процессе решения осуществляется одновременный поиск вершин выпуклых многогранников, на которых заданы варьируемые векторы, и значений интенсивностей технологических процессов. [c.15]
Другое направление решения задачи линейного программирования с переменными векторами условий, заданными на сепарабельных выпуклых множествах, связано с предварительным определением всех вершин" допустимых значений технологических коэффициентов и последующим формированием и решением задачи линейного программирования, в которой для процессов с переменными технологическими коэффициентами рассматривается несколько вариантов, полученных в результате определения вершин" [17-20]. Одна из первых задач подобного типа [17] включала элементарный случай варьирования технологических коэффициентов, когда область их допустимых значений представляла собой многогранник, образованный пересечением и-мерного параллелепипеда одной гиперплоскостью. [c.15]
Для обеспечения приемлемой точности аппроксимации опорные планы Ajl должны быть линейно независимыми и число их должно быть не меньше размерности векторах. [c.20]
Как показано в [16], при ограниченных и выпуклых допустимых множествах (2.14) вектор х% 0, удовлетворяющий ограничению A xk bk, можно представить в виде выпуклой линейной комбинации конечного множества крайних точек [c.24]
Для всех варьируемых векторов Rj (j = , rTl) формулируются и решаются следующие подзадачи линейного программирования найти а (. > 0 (i = T,fri), максимизирующие fj и удовлетворяющие ограничениям [c.31]
Вектор цен с = с- дополняется базисными ценами, искусственным переменным устанавливаются отрицательные цены 1с + (-1 >с-(тах), а дополнительным переменным - нулевые цены. Установление для искусственных переменных цен, превышающих по абсолютной величине максимальную из цен линейной формы, обеспечивает, в случае совместимости системы ограничений, вывод из базиса всех искусственных переменных. Дополнительные переменные могут остаться в базисе (в этом случае они являются переменными, дополняющими неравенства вида < до равенства). [c.32]
Исходная задача (2.28) в результате фиксации варьируемых векторов RJ на некоторых- номинальных значениях К° может быть приведена к обычной задаче линейного программирования с фиксированными параметрами. Далее стандартной симплекс-процедурой осуществляется решение задачи с фиксированными параметрами. На f-й итерации выявляется несовместность системы ограничений (2.28) при номинальных значениях Rj = Rj. В этом случае базисное решение 1- итерации [c.33]
В постановке (3.74)-(3.79) искомыми (оптимизируемыми) величинами в подзадачах (3.75) — (3.79) являются компоненты векторов -/Г,, и К — случайные величины a iv и . При формировании подзадач эти величины в ограничениях вида (3.77), (3.78) оказываются только в правой части, что обеспечивает линейный вид их детерминированных аналогов. При линейном виде функции H(aiv), описывающей параметрические связи, в соответствии с рассмотренными в [47] случаями детерминированный аналог задачи (3.74) —(3.79), в отличие от (3.73), после соответствующих преобразований может быть представлен в виде задачи обобщенного линейного программирования, решение которого осуществляется на базе известного алгоритма [16]. [c.72]
Таким образом, понятие производственного способа является обобщением функции затрат (4.10) и функции выпуска (3.18). Описание производства на основе понятия производственного. способа логически связапо не только с функцией выпуска с постоянными пропорциями (3.18) и линейной однородной функцией затрат (4.10), но и с более сложными производственными функциями. Рассмотрим производственную единицу, в которой имеется т производственных способов, каждый из которых использует два ресурса (пусть для определенности это основные фонды и трудовые ресурсы) и производит единственный общий для всех способов продукт. Количество ресурсов, используемых в у -м способе, опишем с помощью вектора х1 = k, P , а количество выпускаемой продукции обозначим через у. Каждый производственный способ представляется в виде (4.i8), т. е. [c.102]
Построение систем стимулирования на основе двойственных оценок задач линейного программирования. Пусть изучаемая экономическая система состоит из п производственных единиц каждая из которых описывается в виде совокупности технологических процессов (см. 1 гл. 3). Мы не станем каким-либо образом помечать принадлежность технологических процессов к отдельным предприятиям и рассмотрим их в целом. При этом одинаковые технологические процессы, принадлежащие различным предприятиям, будем считать различными. Пусть всего в системе имеется т технологических процессов. Обозначим через х — = (xt,. .., хт) вектор интенспвностей использования этих процессов. Будем считать, что всего в системе имеется k продуктов (внешних ресурсов), используемых и производимых в системе. Тогда вектор конечной продукции у = (у,,. .., гд) связан с ин-тснсивностями производства соотношением [c.347]
Для устранения мультиколлинеарности может быть использован переход от исходных объясняющих переменных Х, А ,..., Х , связанных между собой достаточно тесной корреляционной зависимостью, к новым переменным, представляющим линейные комбинации исходных. При этом новые переменные должны быть слабокоррелированными либо вообще некоррелированными. В качестве таких переменных берут, например, так называемые главные компоненты вектора исходных объясняющих переменных, изучаемые в компонентном анализе, и рассматривают регрессию на главных компонентах,. в которой последние выступают в качестве обобщенных объясняющих переменных, подлежащих в дальнейшем содержательной (экономической) интерпретации. [c.111]
Теорема Айткена. В классе линейных несмещенных оценок вектора р для обобщенной регрессионной модели оценка [c.152]
Применяя к линейной регрессионной модели (7.25) теорему Айткена ( 7.2), наиболее эффективной оценкой вектора р является оценка (7.7) [c.164]
Линейное пространство Щназывается n-мерным, если в нем существует п линейно независимых векторов, а любые из (я+1) векторов уже являются зависимыми. Иначе, размерность пространства — это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов, т. с. dim(R") = п. [c.270]
Заметим, что формально векторы kr= a r bY , sl r , wr , стохастического программирования в мягкой постановке [42, 43J ограничения (2.49) —(2.51) являются [c.47]
Основное преимущество постановки (3.74) -(3.79) заключается в том, что в главной задаче (3.74) случайным является только вектор ограничений о= Ьг- , а варьируемые векторы условий фиксированы на некотором номинальном уровне R° и R . При этих условиях и нормальном распределении случайных величин ЬДсо) детерминированный аналог главной задачи (3.74), построенный по аналогии с рассмотренным в [47] случаем, будет иметь линейный вид. [c.72]