Предпочтительные множества Ах и непредпочтительные множества NAX являются замкнутыми множествами пространства альтернатив, содержащими все граничные точки. Граничные точки образуют множество безразличия 1Х [c.190]
Пусть X — произвольное непустое замкнутое множество [c.221]
При этом функции /о (а ) и f(x] могут быть и не дифференцируемыми (для существования максимума достаточно их непрерывности, ограниченности и замкнутости множества Vx). [c.345]
ОТКРЫТЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА [c.100]
Открытые и замкнутые множества 101 [c.101]
Следующая теорема показывает, что замкнутое множество является дополнением открытого. [c.101]
Следующие две теоремы показывают, как получать открытые и замкнутые множества из уже имеющихся. [c.101]
Объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто. Пересечение произвольного числа замкнутых множеств замкнуто. [c.102]
Доказательство. Пусть F — конечный набор замкнутых множеств, F = Ai, Л2,.. . , Ak , и пусть [c.102]
Наконец, установим следующее простое соотношение между открытыми и замкнутыми множествами. [c.103]
Доказательство. Легко видеть, что А — В = А П (Rn — В), т. е. равно пересечению двух открытых множеств. По теореме 4 множество А — В открыто. Аналогично, поскольку В — А = В П (Rn — Л), где в правой части стоит пересечение двух замкнутых множеств, то В — А по теореме 5 замкнуто. П [c.103]
Множество Ga по построению выпукло и замкнуто. Слабый предел последовательности, принадлежащей выпуклому замкнутому множеству, также принадлежит этому множеству. Следовательно, С .G", a= I,. .. [c.326]
Предположение. D есть строго выпуклое ограниченное замкнутое множество. [c.188]
В этом случае задача на условный экстремум (9) может быть сформулирована в виде следующей задачи строго выпуклого программирования в строго выпуклом ограниченном замкнутом множестве Q нужно найти точку вида е с наименьшим значением I (здесь е= 1, 0, 0,. . ., 0 ), т. е. [c.372]
Определение 1. Пусть X — замкнутое множество точек n-мерного пространства, х — произвольная точка этого прост- [c.390]
Замкнутость множества всех оптимальных стратегий вытекает из непрерывности функции Н в естественной топологии (см. формулу (9.4). П [c.116]
Условия epi/- выпуклое множество и /(х) — выпуклая функция эквиваленты. Из непрерывности /(х) следует, что epi/ — замкнутое множество. Если /(х) - выпуклая функция, то dom/- выпуклое множество. [c.92]
Предположим, что функция fx = /(5о(1 + х)) является выпуклой (вниз) и непрерывной на [а, Ь]. (Напомним, что всякая выпуклая на замкнутом множестве [а, Ъ] функция является непрерывной на открытом множестве (а, Ь), будучи, быть может, разрывной лишь в концевых точках интервала.) [c.26]
Доказательство. Если топологический носитель регулярной условной вероятности Р ( X б 1 Уп — ) (ш), т. е. наименьшее замкнутое множество, на котором сосредоточена эта мера, не содержится в собственном подпространстве пространства Rd, то, как и в случае d = 1, функции [c.52]
Открытые и замкнутые множества в R и их простейшие свойства. Компактные множества, критерий компактности. Связанные множества. [c.15]
Возьмем любую сходящуюся последовательность уп , такую, что т/пе т/е X х > у и Нти .оо /п = у. Для нее имеем, что для любого п выполнено х >уп. По свойству непрерывности имеем, что х > у, т.е. т/е т/е X х > у , что и означает замкнутость множества т/е X х > у . Замкнутость второго множества доказывается аналогично. [c.31]
Пусть нашлись ж, у е X такие, что ж >- у. В силу замкнутости отношения > в R x R , имеем, что I замкнутое множество в М х Жк. Следовательно, дополнение к I множество открытое, и, значит, найдется s-окрестность точки (ж, у), содержащаяся в этом дополнении. По определению /с(.,.) это означает, что k(x, у) > 8 > 0. [c.38]
Замкнутость множеств F(r) непосредственно следует из замкнутости Y. [c.122]
Рассмотрим точку у, не принадлежащую технологическому множеству Y. По теореме отделимости для непустого выпуклого замкнутого множества Y и точки у, не принадлежащей этому множеству, существует вектор коэффициентов р, не равный нулю, и число q, такие что [c.137]
Предпочтения >t выпуклы и непрерывны, Xt — выпуклое замкнутое множество, ограниченное снизу, 0 eXt, начальные запасы неотрицательны, сог 0, / = 1,. ..,п. [c.177]
YJ — выпуклое замкнутое множество и 0 е Yj,j— 1,..., т. [c.177]
Предположим, что не существует вектора л>0, такого что q = nA. Это означает, что выпуклое замкнутое множество [c.309]
X - gj (х) > 0, j - 1, т - допустимое замкнутое множество варьируемых параметров [c.47]
А2. Функция затрат неотрицательна и всюду непрерывна. A3. Функции дохода центров неотрицательны и всюду непрерывны. Вместо предположения А1 можно потребовать (наряду с А2 и A3) замкнутость множества X = Х и существование такой точки х°, что [c.30]
Пусть X — произвольное непустое замкнутое множество в IR. Для любого х Е X и любой кооперативной игры v определим вектор 0(х) следующим образом [c.193]
Для вывода ряда теорем существования решения VI(X, F) и развития многих итерационных методов их отыскания полезно переформулировать задачу решения вариационного неравенства как классическую задачу о неподвижной точке. Для этого напомним понятие проекции точки на непустое выпуклое замкнутое множество. [c.33]
По построению int К с П. На самом деле имеет место включение К с П. Действительно, если это не так, то в силу замкнутости множества П найдется такая точка у К, что она не принадлежит П вместе с некоторой своей окрестностью intU(y). Если соединить отрезком точку у с какой-нибудь точкой из int К, то на основании теоремы 6.1 из [28] получим, что все внутренние точки указанного отрезка принадлежат int isf. Из этих внутренних точек множества К выберем какую-нибудь в пределах окрестности intU(y) и обозначим ее через у. Для нее получаем у int А", у . П, что противоречит включению int К с П. Таким образом, П — покрытие множества К. [c.138]
Теорема Хелли. Пусть А , аеа, — некоторое семейство выпуклых замкнутых множеств в Rm, среди которых по крайней мере одно ограниченное множество. Если. пересечение любых т+1 множеств Аа не пусто, то и пересечение всех множеств Аа непусто. [c.22]
Пусть Sx Rn — замкнутое множество, в котором лежат все точки траекторий x[t, и, х0, d]aX(t, со) при произвольных uet/, хо Хц, deD. Введем множества [c.166]
Задачи стохастического программирования представляют собой условные экстремальные задачи. Поэтому подход к стохастической аппроксимации как к системе итеративных методов стохастического программирования требует обобщения процедур, разработанных для без-1 условных экстремальных задач, на случай задач с ограничениями. В [9] этот вопрос обходится, поскольку здесь с самого начала предполагается, что рассматриваемые итеративные алгоритмы не выводят траектории процесса из некоторого ограниченного замкнутого множества. В [304] предложены алгоритмы стохастической аппроксимации для условных экстремальных задач, в которых ограничения представляют собой равенства, содержащие функции регрессии некоторых величин, зависящих от искомого набора параметров. Алгоритмы используют классические схемы стохастической аппроксимации применительно к функции Лаграижа условной экстремальной задачи. Однако условия сходимости в [304] не сформулированы. [c.357]
Задача 2. Найти минимум /° (х) в некоторой части г-мер-ного пространства X (X предполагается, естественно, замкнутым множеством) [c.390]
В банаховом пространстве естественно возникает понятие сходимости по норме или сильной сходимости. Именно, последовательность ип сильно сходится к и0. если и - и0 -> 0 при и -> °°. Однако сильная сходимость не очень полезна для теорем существования минимизирующего элемента, так как ограниченные замкнутые множества (замкнутые множества, лежащие в шаре II w < R конечного радиуса R), в- отличие от конечномерного пространства некомпактны. Оказывается, что ограниченные замкнутые множества в банаховом пространстве могут быть компактны относительно слабой сходимости последовательность ип слабо сходится к м0, если для любого линейного непрерывного1) функционала /(м) 1(и ) -> /(MO) при и- 00. Подобные банаховы пространства часто возникают в приложениях к их числу относятся, например, гильбертовы пространства (линейные пространства, в которых определено скалярное произведение (и, v), а норма вводится по правилу II ы = (и, и)). В дальнейшем, говоря о банаховом пространстве, будем считать, что его ограниченные замкнутые множества слабо компактны. [c.81]
Условия замкнутости множеств Xk, Y. и непрерывности функций uk — естественные, легко интерпретируемые требования. В частности, замкнутость Xk означает, что из допустимости некоторых наборов, сколь угодно близких к данному, следует, что и сам набор тоже допустим. Наличие нулевого вектора в Y. означает возможность остановки производства без существенных дополнительных издержек — предположение, которое, конечно, не всегда справедливо. Непрерывность функции полезности эквивалентна следующему свойству предпочтения если вектор х предпочтительнее х", то и все достаточно близкие к х наборы тоже предпочтительнее х". Предположения о выпуклости множеств Xk, Y. и квазивогнутости функций uk обладают ясным экономическим содержанием. Выпуклость технологических множеств означает, что если в течение рассматриваемого промежутка времени возможен любой из двух технологических режимов, то можно часть времени поддерживать первый из них, а оставшееся время — второй, причем переход с одного режима на другой не требует затрат. Последнее условие отнюдь не всегда выполняется, так что требование выпуклости сужает общность модели. [c.491]
В силу замкнутости множества допустимых альтернатив X справедливо, что mfxexp х=тта,ехрх, то Д>тт,,,ехрж. Таким образом, существует потребительский набор ж такой, что ы(ж) > и(х] и рж <Д. Действительно, возьмем жа= аж + (1 - а)г (0<а<1), где z argmin xpx. При достаточно больших значениях а в силу непрерывности имеем, что ы(жа) > и(х) и р жа <Д и в качестве ж возьмем жа. [c.57]
В дальнейшем будем предполагать, что соответствующие множества Argmax непусты, минимумы и максимумы, которые встретятся, достижимы. Эти требования можно обосновать с помощью непрерывности (полунепрерывности сверху) соответствующих функций затрат и доходов и замкнутости множества X. [c.22]
Смотреть страницы где упоминается термин Замкнутое множество
: [c.27] [c.466] [c.81] [c.335] [c.58] [c.60] [c.359] [c.15]Справочник по математике для экономистов (1987) -- [ c.77 ]