Рассмотрены основные типовые модели оптимизации производственной деятельности фирмы с линейным технологическим множеством, статистические и динамические модели планирования производственных инвестиций, вопросы экономико-математического анализа хозяйственных решений на основе использования аппарата двойственных оценок. Изложены основные подходы к проблематике оценки качества производственных инвестиций, а также методы и показатели оценки их эффективности. [c.2]
Рассмотрим очень важный для модельных приложений случай, когда технологическое множество производственной системы является линейным выпуклым множеством, т. е. модель производства оказывается линейной. [c.58]
Замечание. Совместно предположения 2.1 и 2.2 означают, что технологическое множество является выпуклым конусом. Предположение 2.3, выделяющее линейные технологии, означает, что этот конус является выпуклым многогранником в полупространстве [c.59]
Можно ли утверждать, что в экономической области фирмы с линейным технологическим множеством производственная функция является монотонной Как связано определение производственной функции с критерием оптимальности в задаче Канторовича [c.79]
Соотношение (3.26) дает возможность указать конкретный вид производственной функции для модели производственной системы с линейным технологическим множеством (рассмотренная выше модель (1.1)— (1.6)) [c.115]
| Рис. 1.2. Технологическое множество производственного элемен- |  |
Наличие потребляемой производственным элементом фондообразующей продукции приводит к появлению двух новых факторов. Первый является очевидным — за счет добавления номенклатуры потребляемой и производимой элементом фондообразующей продукции может изменяться номенклатура вектора затраты — выпуск элемента. Второй фактор тоже лежит на поверхности и заключается в том, что по мере потребления элементом фондообразующей продукции изменяются его основные производственные фонды, а следовательно, изменяется и технологическое множество элемента. Формально это может быть отражено введением зависимости технологического множества от объема основных производственных фондов в текущий момент времени. Поскольку первой нашей задачей является рассмотрение статических моделей ограничений, то будем [c.32]
Рассмотрение методов математического описания технологии производственных элементов начнем с рассмотрения подхода, который дает, видимо, наименее детализированное и наиболее абстрактное описание такого рода. В этом подходе состояние производственного элемента задается вектором затраты — выпуск у = (уъ у2,. .., ут), значения положительных компонент которого определяют уровень (величину) выпуска продукции производственного элемента в рассматриваемом периоде, а значения отрицательных компонент — уровень его затрат. Возможности производственного элемента по выбору уровня вектора затраты — выпуск описывает его технологическое множество Y, которое представляет собой множество всех допустимых значений векторов затраты — выпуск элемента [c.33]
Общее технологическое множество производственного элемента может быть получено как результат объединения всех допустимых с точки зрения условий (2.1.2) и (2.1.3) векторов затраты — выпуск [c.35]
Описание технологического множества однопродуктового элемента, приведенное в предыдущем параграфе, является простейшим. Учет дополнительных свойств технологии элемента приводит к необходимости дополнить его рядом черт. Некоторые из них мы рассмотрим в этом параграфе. Конечно, приводимые рассмотрения не исчерпывают всех имеющихся в этом направлении возможностей. [c.37]
Сепарабельная выпуклая модель производства. Учет фактора нелинейности в описанной в предыдущем примере модели ограничений производства приводит к нелинейной сепарабельной модели многопродуктового элемента. Учет нелинейности осуществляется путем введения нелинейных сепарабельных производственных функций. Технологическое множество многопродуктового элемента с такими производственными функциями имеет вид [c.41]
В рассмотренных технологических моделях производственных элементов описание технологического множества дается путем задания множества допустимых затрат и множества допустимых выпусков ду каждого уровня затрат. Такого рода описания удобны в задачах типа оптимального распределения ресурсов, в которых при заданных уровнях потребления ресурсов приходится определить допустимые и наиболее эффективные (в смысле того или иного критерия) уровни выпуска. Вместе с тем на практике (особенно в планируемой экономике) встречается также своего рода обратная задача, когда уровень выпуска продукции элементами задан планом и необходимо определить допустимые и минимальные уровни затрат элементов. Задачи такого рода могут быть условно названы задачами оптимального выполнения плановой программы выпуска. В таких задачах удобно применить обратную последовательность описания технологического множества производственного элемента сначала задавать множество U допустимых выпусков и g= U, а затем для каждого допустимого уровня выпусков — множество V (и) допустимых затрат v Е= V (и). [c.44]
Общее технологическое множество Y производственного элемента при этом имеет вид [c.44]
Понятие производственной функции широко используется в математической экономике для описания технологических множеств однопродуктовых элементов. Изложение материала 2.2, посвященного рассмотрению производственных функций элементов, следует работам [67, 891. Более детальное рассмотрение вопросов, связанных с построением и исследованием производственных функций, можно найти в [67, 92, 95]. Примеры применения характеристик производственных функций для определения ряда экономических показателей приведены в [73]. Обширная библиография по теории производственных функций, включающая первоисточники, а также работы, рассматривающие те или иные виды конкретных производственных функций, имеется в [73, 89, 92]. [c.48]
На рис. 3.4 этому ограничению удовлетворяют все точки технологического множества, расположенные выше отрезка ЕС или лежащие на нем. [c.73]
В большей части оригинальным является и материал 4.21. Оценка эффективности рыночных механизмов, обеспечивающих существование единого равновесного управления, проводилась в работах [23, 184]. Материал 4.21 является расширением этих работ. Рассмотрение схемы аукциона в рыночной системе проводится согласно [189]. Известной моделью, рассмотренной в качестве примера в этом параграфе, является модель рыночной экономики. Подробное ее рассмотрение можно найти, например, в работах [89, 141]. В 4.21 мы предполагали, что рыночное равновесие существует. Как показывает рассмотрение схемы аукциона в рыночной системе, это положение может не всегда иметь место. Рассмотрение вопросов, связанных с существованием равновесия в рыночных моделях,— один из центральных вопросов математической экономики. Применительно к моделям конкурентной экономики существование равновесия установлено рядом авторов при различных предположениях [89, 141 и др.]. Обычно доказательство предполагает выпуклость функций полезности (или предпочтений) потребителей и технологических множеств производителей. В [11] приводится обобщение модели Эрроу — Дебре на случай континуума игроков. При этом удалось отказаться от предположений о выпуклости функций предпочтений потребителей. [c.217]
Каждый производитель (фирма) j характеризуется технологическим множеством Y. — совокупностью технологически допустимых л-мер-ных векторов затрат — выпуска их положительным компонентам соответствуют выпускаемые количества, а отрицательным — затрачиваемые. Предполагается, что производитель выбирает вектор затрат — выпуска так, чтобы получить максимальную прибыль. При этом он, как и потребитель, не пытается влиять на цены, принимая их заданными. Таким образом, его выбор является решением следующей задачи [c.489]
Из (16) также следует слабая аксиома выявленного предпочтения. Неравенство (16) заведомо выполняется, если спрос каждого из потребителей строго монотонен при этом на технологические множества не накладывается особых требований. Интерпретация условия монотонности и ряд связанных с ним результатов приведены в [10]. Для гладких функций избыточного спроса единственность равновесия обеспечивается также условием доминирующей диагонали [5, 15]. Это условие означает, что модуль производной спроса на каждый продукт по цене этого продукта больше суммы модулей всех производных спроса на тот же [c.495]
Модель производителя. При выборе объемов производства yj = у к каждая фирма j e J ограничена своим технологическим множеством YJ с 1R1. Эти множества допустимых технологий можно задавать в частности в виде (неявных) производственных функций fj(yj) YJ = УЗ е Rl /,(%) > 0 . Другое удобное представление (когда производится только один товар h) — в виде явной производственной функции у < gj(y h), где y h = (y k h — затраты (со знаком минус) всех других благ, необходимые для производства блага h. Чтобы привести этот случай к общему представлению Y через функции, достаточно записать /,-(% ) = — у + 9j(y h > 0. [c.13]
Технологическое множество и его свойства [c.118]
Пусть число факторов производства равно п, а число видов выпускаемой продукции равно т, так что 1 = т + п. Обозначим вектор затрат (по абсолютной величине) через г е R+, а объемы выпусков через у е МГ. Вектор (-г, г/°) будем называть вектором чистых выпусков. Совокупность всех технологически допустимых векторов чистых выпусков у = (-г, г/°) составляет технологическое множество Y. Таким образом, в рассматриваемом случае любое технологическое множество — это подмножество R- х R . [c.118]
ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЕ МНОЖЕСТВО [te hnologi al set] — см. Производственное множество, Технологический способ. [c.363]
В качестве числового примера, иллюстрирующего табличный метод нахождения оптимального решения в задаче линейного про- граммирования, рассмотрим производственную систему с линейным технологическим множеством, использующую три основных производственных способа Р1 =(1 2,1), Р2=(3 1,2) и Р3 = (3 3,1). Для определенности затрачиваемые факторы будем интерпретировать как труд и капитал . В этом случае способ Р3 наиболее трудоемкий, а Э2 — капиталоемкий. Предположение о линейности технологаческо-6 множества определяет в качестве последнего трехгранный конус в лространстве /Р ( выпуск—затраты ) [c.71]
Описание одного конкретного вида технологического множества рассмотрим для производственного элемента, потребляющего несколько видов затрат и выпускающего продукцию только одного вида (однопродуктовый производственный элемент). Вектор состояния такого элемента имеет вид yt— (vtl, viz,. . . , v. x, ut). Известный способ описания технологического множества однопродук-тового элемента основывается на понятии производственной функции и заключается в следующем. [c.20]
Обычно предполагается, что технологическое множество элемента является выпуклым, замкнутым и содержащим нулевой элемент подмножеством евклидового пространства Ет размерности т О Е Y d Em. [c.33]
Относительно множеств допустимых затрат V и допустимых выпусков U (v) предполагаются выполненными условия, аналогичные тем, которые предполагались выполненными относительно технологического множества (2.1.1), а именно принадлежность к положительным ор-тантам. Ё вх и ,Вых соответственно твх- и игвых-мер-ных евклидовых пространств (V С вх, U (v) d .Вых) а также замкнутость, выпуклость и включение нулевого элемента О GE F, О GE U (v). Принадлежность множеств F и U (и) к положительным ортантам -Ё вх и гвых обусловливается тем, что отрицательные выпуски не рассматриваются. Интепретация других условий, накладываемых на множества F и U (v), совпадает с приведенной выше интерпретацией аналогичных условий для технологического множества (2.1.1). [c.35]
Рассмотренные в предыдущем параграфе методы представления технологических множеств производственных элементов характеризуют их свойства, но не задают описание в явном виде. Для однойродуктовых производственных элементов явное описание технологического множества можно задать, используя понятие производственной функции. В 1.2 мы уже касались этого понятия и его использования, в этом параграфе рассмотрение этих вопросов будет продолжено. [c.35]
Использование однопродуктовых производственных функций для описания технологического множества многопродуктового элемента. Если многопродуктовый элемент производит товых видов продукции, потребляя при этом /гевх видов затрат, то его векторы затрат и выпуска имеют вид v = (i>i, vz,. . ., Ут х) и и = (м1г w2,.. ., итвых) соответственно. [c.40]
Ему соответствует часть технологического множества, ограниченная кривосторонним треугольником AB (отмечена штриховкой на рис. 3.4). [c.73]
Модель децентрализованной экономики Эрроу — Деб-ре — Мак-Кснзи. Общая модель децентрализованной экономики описывает производство, потребление и децентрализованный механизм управления экономикой. Модель производства и потребления включает в себя конечное число элементов, которые потребляют или производят конечное число видов продукции. Для каждого потребителя задается множество возможных потребительских благ и начальная собственность, а для каждого производителя — производственно-технологическое множество. В качестве глобального ограничения выступает условие непревышения совокупного потребления над совокупным производством. Задачей организационного механизма управления является достижение в экономике состояния равновесия, т. е. достижение таких цен на производственные товары, при которых предложения на эти товары уравнивают спрос на них. [c.197]
Состояние производителя с номером г описывается m-мерньш вектром yt = (г/п, г/ 2,.. ., yim) затраты — выпуск , модель ограничений — технологическим множеством Yt г/ ЕЕ Yt целевой функцией производителя является функция прибыли wt = Ку получаемой в результате применения способа производства yt прицепах К. [c.198]
Пример 5.3. Рассмотрим систему одномерных производственных элементов, описание технологических множеств которых имеет вид Yt (rt) — 0 vt <. ос, 0 < иг rtYvf , ограничения механизма функционирования DI (л ) = yi vt = л , а целевой функцией каждого элемента является функция прибыли u , = put — qvt. [c.260]
Условия замкнутости множеств Xk, Y. и непрерывности функций uk — естественные, легко интерпретируемые требования. В частности, замкнутость Xk означает, что из допустимости некоторых наборов, сколь угодно близких к данному, следует, что и сам набор тоже допустим. Наличие нулевого вектора в Y. означает возможность остановки производства без существенных дополнительных издержек — предположение, которое, конечно, не всегда справедливо. Непрерывность функции полезности эквивалентна следующему свойству предпочтения если вектор х предпочтительнее х", то и все достаточно близкие к х наборы тоже предпочтительнее х". Предположения о выпуклости множеств Xk, Y. и квазивогнутости функций uk обладают ясным экономическим содержанием. Выпуклость технологических множеств означает, что если в течение рассматриваемого промежутка времени возможен любой из двух технологических режимов, то можно часть времени поддерживать первый из них, а оставшееся время — второй, причем переход с одного режима на другой не требует затрат. Последнее условие отнюдь не всегда выполняется, так что требование выпуклости сужает общность модели. [c.491]
Сравнительная статика. При изменении предпочтений, начальных запасов или технологических множеств изменяются и равновесные цены, потребление и выпуски. Важно уметь предсказывать качественные особенности этих изменений. Раздел теории экономического равновесия, изучающий реакцию равновесной системы на внешние воздействия, называют сравнительной статикой. Основные результаты здесь получены Хиксом (J. Hi ks) и Моришимой (М. Morishima) в предположении валовой заменимости избыточного спроса (см. [6]). Это предположение носит весьма специальный характер. Условия теорем существования, как отмечалось выше, совместимы с более или менее произвольным поведением функций спроса, поэтому в общей ситуации трудно ожидать определенных ответов на вопросы сравнительной статики. [c.496]