Открытые и замкнутые множества 101 [c.101]
Следующие две теоремы показывают, как получать открытые и замкнутые множества из уже имеющихся. [c.101]
Наконец, установим следующее простое соотношение между открытыми и замкнутыми множествами. [c.103]
Открытые и замкнутые множества в R и их простейшие свойства. Компактные множества, критерий компактности. Связанные множества. [c.15]
Открытые и замкнутые множества обладают следующими свойствами. [c.9]
Пустое множество 0 и все Ж" являются оба и открытыми, и замкнутыми множествами. [c.9]
Свойства открытых и замкнутых множеств [c.78]
Этот пример показывает, что множество может быть одновременно открытым и замкнутым. Из всех подмножеств Rn этим свойством обладают только 0 и само Rn. Может также быть, что множество не является ни открытым, ни замкнутым, например полуоткрытый интервал (а, Ь]. [c.100]
Очевидно, что множество S открыто тогда и только тогда, когда S =S, и замкнуто тогда и только тогда, когда S = S. Важным примером открытого множества является n-мерный шар. [c.101]
Предположим, что функция fx = /(5о(1 + х)) является выпуклой (вниз) и непрерывной на [а, Ь]. (Напомним, что всякая выпуклая на замкнутом множестве [а, Ъ] функция является непрерывной на открытом множестве (а, Ь), будучи, быть может, разрывной лишь в концевых точках интервала.) [c.26]
Очевидно, что изображенное на рисунке множество не является ни замкнутым, ни открытым. И, таким образом, отношение >ь не является непрерывным [c.33]
Пусть нашлись ж, у е X такие, что ж >- у. В силу замкнутости отношения > в R x R , имеем, что I замкнутое множество в М х Жк. Следовательно, дополнение к I множество открытое, и, значит, найдется s-окрестность точки (ж, у), содержащаяся в этом дополнении. По определению /с(.,.) это означает, что k(x, у) > 8 > 0. [c.38]
Отметим, что замкнутый куб К и замкнутый шар В(а, г) не являются открытыми множествами (докажите), тем не менее, их дополнения в Ж", т.е. множества Ж" К и Ж" В(а, г) — открыты. [c.9]
Множество F С Ж" называется замкнутым, если его дополнение в Ж", т.е. множество Ж" F, открыто. Замкнутый куб К и замкнутый шар В (а, г) являются замкнутыми подмножествами в Ж" в смысле только что данного определения. [c.9]
Множество S из Rn замкнуто тогда и только тогда, когда его дополнение Rn — S открыто. [c.101]
Доказательство. Предположим вначале, что S замкнуто. Пусть х Rn — S. Тогда х ф S и, поскольку S содержит все свои предельные точки, х не является предельной точкой S. В силу этого существует n-мерный шар В (ж), не пересекающийся с 5, т. е. Б (ж) С Rn — 5. Из этого следует, что х — внутренняя точка Rn — 5, а значит, Rn — S — открытое множество. [c.101]
Чтобы доказать обратное утверждение, предположим, что множество Rn — открыто. Пусть х Rn — предельная точка . Надо показать, что х . Предположим, что х ф S. Тогда ж Rn — и, поскольку все точки Rn — S — внутренние, то существует n-мерный шар В (х С Rn — S. Следовательно, в В (х нет точек из 5, что противоречит тому, что х — предельная точка S. Следовательно, х 5, а значит, S замкнуто. П [c.101]
Так как дополнениями множеств т/е X х > у и z X z > х в пределах X являются множества т/е X х >- у и z<=X z >- х , то отсюда следует, что первые два множества замкнуты тогда, и только тогда, когда вторые два открыты. [c.31]
Замкнутые и открытые множества в R" [c.77]
Множество V открыто тогда и только тогда, когда его дополнение замкнуто. [c.78]
Нас также будут интересовать некоторые инвариантные гиперповерхности. Существуют различные типы гиперповерхностей [2], которым соответствуют различные определения (алгебраические, аналитические и иные гиперповерхности), иод гиперповерхностью мы будем понимать множество из К1, которое удовлетворяет какому-либо из определении гиперповерхности. Ниже будем использовать понятия замкнутой гиперповерхности ж замкнутой границы ограниченной области (замкнутость при этом имеет иной смысл, чем тот, который связан с замыканием открытого множества). [c.218]
ПОЛУПРОСТРАНСТВО [halfspa e] — совокупность точек евюшдова многомерного пространства, лежащих по одну сторону от некоторой плоскости, разделяющей это пространство (см. Разделяющая гиперплоскость). Различают открытое и замкнутое П. В первом случае П. — это множество точек х. (i-, ...,n), координаты которых удовлетворяют неравенству 1дх, < d или неравенству Haxj >d. Во втором случае это множество точек, удовлетворяющих неравенству Пах.> d или неравенству Y,ax.< d, т. е. П., включающее разделяющую гиперплоскость. В обоих случаях принимается, что параметры ау. .., ап не могут быть одновременно равны нулю. [c.268]
При этом в качестве полезности набора х выбираем значение этой задачи — и (х) = inf v(p, R) peR ++, px R . В качестве дохода можно взять любое положительное число, например, R= 1. Отметим, что данная задача ориентированна на поиск инфимума, а не минимума. Это объясняется тем, что оптимизация ведется на множестве, которое не является замкнутым. Отметим, что оно не является также и открытым. Кроме того, оптимизируемая непрямая функция полезности, не определена в случае, когда хотя бы одна цена обращается в 0. В силу этого замена инфимума на минимум невозможно, так как последний может, вообще говоря, не существовать. В то же время инфимум существует, хотя при некотором значении параметров и может быть равен -QO. [c.91]
Перейдем к формулированию, доказательству и обсуждению обобщенных критериев. Пусть А С Я" - любое (несвязное, связное, открытое, замкнутое) ограниченное множество положительной меры, Г (А) - граница множества A G,Q - любые (ограниченные, неограниченные, односвязные, неодносвязиые) области пространства Л", в которых соответственно определены векторная функция f(i) л скалярная функция div/(z). Односвязность я неодносвяэность областей G,Q может быть как пространственной, так и поверхностной. [c.219]