Более того, и это, возможно, гораздо важнее, новая модель пригодна для любого распределения дохода Ранние модели портфелей чаще всего предполагали нормальное распределение при оценке различных исходов, к которым могут привести инвестиции. При этом хвосты распределения — самые благоприятные и неблагоприятные исходы - оказывались много тоньше, чем должны были быть в случае реального, отличающегося от нормального, распределения. Следовательно, самые хорошие и самые плохие возможные исходы инвестиций этими ранними моделями обычно недоучитывались. В новой модели различные сценарии входят в хвосты распределения исходов, и вы можете назначить им любые вероятности по своему усмотрению. Даже непостижимо устойчивое распределение доходов Парето можно описать с помощью различных сценариев, на основании чего построить оптимальный портфель. Любое распределение можно смоделировать в виде сценарного спектра кривая плотности [c.28]
Таким образом, новый подход можно применить к любому распределению дохода, а не только к нормальному. Поэтому можно использовать реальные распределения с тяжелыми хвостами, ведь сценарный спектр - это просто другой способ задания распределения. [c.29]
Теперь мы должны подробнее остановиться на понятии сценарного спектра. Сценарный спектр — это набор сценариев с вероятностями от 0 до 1, упорядоченных от наихудшего исхода к наилучшему. К примеру, сценарный спектр простой игры в монетку, где мы с равной вероятностью проигрываем на орлах [c.85]
Сценарный спектр может содержать более двух сценариев — столько, сколько вам угодно (рис. 1.8). [c.86]
Этот сценарный спектр соответствуют сценариям из предыдущего раздела, касающимся инвестиций промышленной компании в маркетинг нового продукта в отдаленной стране [c.86]
Заметьте, что это эффективный сценарный спектр, ибо [c.87]
Все сценарии внутри данного спектра должны относиться к исходам одного и того же периода владения. Как уже отмечалось, длительность периода владения может быть любой по вашему усмотрению — это может быть день, неделя, десять дней, месяц, год — все, что угодно, но ее нужно выбрать заранее. Как только это сделано, всем сценариям данного спектра следует сопоставить их возможные исходы в следующем периоде владения, и все сценарные спектры должны соответствовать периодам владения одинаковой длительности. Это имеет решающее значение. Так, если вы остановитесь на одном дне, то все сценарии всех сценарных спектров должны соответствовать возможным исходам следующего дня. [c.87]
Далее мы покажем, как определить оптимальное размещение средств в случае нескольких сценарных спектров, которые одновременно используются в торговле. Данный результат является развитием моей ранней работы об оптимальном f и опционах. Для этого нам потребуется ознакомиться с условными вероятностями. Но сначала мы приведем некоторые подготовительные сведения. [c.87]
Рассмотрим два одновременных сценарных спектра с ненулевым коэффициентом корреляции и оценим вероятность совместной реализации двух заданных сценариев, по одному из каждого спектра. [c.139]
Когда коэффициент корреляции отрицателен, второй сценарный спектр (в данном случае монета 2) переворачивается на 180 градусов. [c.141]
Итак, мы научились находить совместные вероятности, когда коэффициент корреляции между двумя сценарными спектрами равен -1 или 1. Как же нам аппроксимировать совместные вероятности, когда коэффициент корреляции имеет не столь удобные значения [c.143]
Если то же самое проделать со сценарным спектром Y, объединяя исходы 1 и 2 в сценарий А спектра Y, а исход 3 переименовывая в сценарий В спектра Y, то преобразованный спектр Y станет таким, как показано на рис. 3.6. [c.148]
Теперь, исходя из того, что коэффициент корреляции г между этими двумя сценарными спектрами равен 0, определим четыре совместные вероятности нашей таблицы [c.149]
Таким образом, при наличии двух сценарных спектров и коэффициента (ов) корреляции между ними мы можем определить совместные вероятности реализации двух сценариев, по одному из каждого спектра. [c.163]
Сценарные спектры можно представлять себе как дискретные распределения. Такой же подход можно использовать и для определения вероятностей для непрерывного распределения, если рассматривать его как дискретное распределение с бесконечно малым шагом квантования (т. е. с бесконечным множеством сценариев). [c.164]
Нередко нам будут известны не все коэффициенты корреляции между двумя сценарными спектрами, и поэтому мы будем вынуждены получить недостающие данные либо эмпирическим путем, либо с помощью оценки. [c.165]
Мы можем также оценить величины входящих в таблицу совместных вероятностей двух сценарных спектров. Делая это, нужно помнить о верхних и нижних границах каждой совместной вероятности, чтобы наши оценки не вышли за их пределы. Нижняя граница совместной вероятности, как вы помните, равна 0. Верхняя граница равна минимуму из двух индивидуальных вероятностей. [c.166]
Вспомните также, что каждая строка и каждый столбец таблицы совместных вероятностей двух сценарных спектров должны в сумме давать безусловную вероятность этой строки или столбца. Например, рассмотрим два различных сценарных спектра [c.166]
Например, отыскание оптимального/для одной рыночной системы или одного сценарного спектра является задачей математической оптимизации. В этих случаях методы математической оптимизации могут быть достаточно грубыми, вроде перебора всех значений / от 0 до 1,0 с шагом 0,01. В качестве целевой функции для отыскания среднего геометрического HPR при различных условиях и заданном значении/может выступать одна из функций, представленных в главе 1. Роль варьируемого параметра здесь играет то значение / которое тестируется в интервале от 0 до 1. [c.172]
Значение целевой функции вместе с подставляемыми в нее значениями аргументов дают координаты нашего положения в (п + 1)-мерном пространстве. Отыскивая /для одной рыночной системы или одного сценарного спектра, когда п равно 1, мы получаем координаты в двухмерном пространстве. Одной из координат является значение/ подставляемое в целевую функцию, а другой координатой — значение целевой функции от этого / [c.172]
PLk. = прибыль или потеря, приносимая исходом i-ой компоненты (т. е. сценарного спектра или рыночной системы), ассоциированная с k-ой комбинацией сценариев [c.174]
BL( = худший исход 1-ого сценарного спектра (рыночной системы). [c.175]
Величина P(ik Ji) — это просто совместная вероятность (предмет обсуждения предыдущей главы) сценариев 1-го и j-ro спектров, которые входят в k-ую комбинацию сценариев. Например, если у нас есть три монеты, то каждой из них соответствует сценарный спектр из двух сценариев орел и решка. Количество сценарных спектров (2) выражается переменной п. Откуда получаем восемь (2 2 2) возможных комбинаций исходов, которые обозначаются переменной т. [c.175]
То есть изначально все спектры установлены на свои худшие (крайне левые) значения. Затем крайне правый спектр циклически проходит через все свои значения, после чего второй справа спектр переходит к следующему (справа) сценарию. Продолжаем таким образом дальше циклически меняем все сценарии крайне правого спектра, когда второй справа сценарный спектр [c.175]
Если коэффициент корреляции больше 0, то мы не разворачиваем сценарный спектр на 180 градусов. Заметьте, что, когда нас интересует интерантисечение обоих потоков, одновременно дающих решку, получим, что его величина также равна 0,5. [c.145]
Эта аппроксимация проходит только в случае биномиального распределения (т. е. при двух сценариях в спектре). Чем более уклоняются вероятности от 0,5 на сценарий, тем менее точной она становится. Другими словами, это решение является точным, когда вы дихотомизируете два сценарных спектра в противном случае она превращается в аппроксимацию убывающей точности. [c.147]
Впрочем, любые сценарные спектры можно свести к биномиальным распределениям (наборам только из двух сценариев), путем дихотомизации около их центров. Вновь обратимся к сценарному спектру нашей промышленной компании. Он содержит восемь различных сценариев. Мы можем дихотомизировать их, объединив воедино сценарии Войны, Кризиса и Стагнации в один сценарий нового сценарного спектра, который мы будем называть сценарием Плохой половины исходов. Аналогичным образом, мы можем объединить воедино сценарии мира и процветания в сценарий Хорошей половины исходов нового спектра. Теперь мы можем обращаться с преобразованным спектром так же, как и с другими спектрами, содержащими по два сценария, и аппроксимировать совместные вероятности четырех возможных совместных исходов (рис. 3.4). [c.147]
Дихотомизация сценарных спектров для аппроксимации совместных вероятностей эффективна лишь до тех пор, пока вы разделяете их примерно на равновероятном уровне (0,5). Чем дальше от него проводится дихотомизация, тем менее точной становится аппроксимация. [c.147]
Если дихотомизировать сценарный спектр X, объединив исходы 0 и 1 в сценарий А спектра X, а исходы 2 и 3 в сценарий В спектра X, то мы удалимся от равновероятного уровня. Уровень, который мы получим при такой дихотомизации, будет равен 0,74074, поскольку, судя по безусловным плотностям в X, двадцать из двадцати семи исходов (74,074%) приходятся на 0 или 1, и только семь из двадцати семи исходов (25,92%) приходятся на 2 или 3 (см. рис. 3.5). [c.148]
Если мы теперь проведем дихотомизацию точно на уровне 0,5 для обоих сценарных спектров, то в каждом спектре получим по два сценария, которые будем называть + и . Вероятность реализации каждого сценария в спектре равна 0,5. Сценарий + включает те исходы, которые больше 0, а сценарий - содержит исходы, меньшие 0. Таблица будет выглядеть следующим образом [c.153]
Мы можем дихотомизировать таблицу совместных вероятностей любых двух сценарных спектров при условии, что известны сами эти сценарные спектры (т. е. вероятности, ассоциированные с каждым сценарием) и коэффициент корреляции между ними. То есть мы можем определить величины в каждом из четырех квадрантов таблицы совместных вероятностей. [c.155]
Теперь, применяя нашу формулу для определения совместных вероятностей, в которую входит коэффициент корреляции потоков, для дихотомизированных сценарных спектров, найдем совместные вероятности для всех квадрантов таблицы [c.156]
Таким образом, вы можете дихотомизировать сценарные спектры и, применяя формулу, получить условные вероятности, учитывающие корреляцию. Трудность состоит лишь в том, что вместо использования одного коэффициента корреляции для всей таблицы вы должны использовать коэффициенты корреляции только тех исходов, которые составляют обрабатываемую подтаблицу. [c.161]
Давайте рассмотрим еще один пример. Предположим, что мы бросаем три монетки по 10 центов и три монетки по 25 центов. Пусть в сценарный спектр А входят общее количество орлов на всех шести монетах, а в сценарный спектр В — общее количество орлов только на 25-центовиках. Таблица совместных вероятностей будет иметь вид [c.162]
Изложенный метод поквадрантной оценки совместных распределений вероятности при известных безусловных плотностях и коэффициенте корреляции между ними весьма привлекателен. Он точно описывает механизм формирования совместного распределения из компонентных безусловных распределений. Когда мы используем распределение Бернулли (распределение, у которого только два возможных исхода, т. е. сценарные спектры состоят только из двух сценариев), можно получить очень хорошую и простую оценку совместных вероятностей. Но чтобы сделать ее еще точнее, т. е. найти более детальные совместные вероятности, не ограничиваясь на квадрантах, требуется наперед знать коэффициенты корреляции составляющих квадрантов (или наперед знать совместные вероятности, чтобы, обратив формулу, получить коэффициенты корреляции). [c.165]
Новая модель, представленная в следующей главе этой книги, отличается математической строгостью. Единственными исходными данными, которых она требует, являются сценарии, то есть вероятности всевозможных исходов. Они играют первостепенную роль при оценке совместных (условных) вероятностей. Если вероятности неточны, то и отдача от новой модели будет невелика. Проблема заключается в том, чтобы точно назначать совместные вероятности возможным исходам многих одновременных сценарных спектров. Достижение вершины (п + 1)-мерного изображения столь же важно, как и усилия по таймингу и выбору сделки. Эту вершину (как и любую другую точку, в которой мы [c.168]