Приведенные крайне упрощенные примеры демонстрируют основные особенности задачи Л. п. Реальные задачи, насчитывающие много переменных, нельзя изобразить на плоскости — для их геометрической интерпретации используются абстрактные многомерные пространства. При этом допустимое решение задачи — точка в n-мерном пространстве, множество всех допустимых решений — выпуклое множество в этом пространстве выпуклый многогранник). [c.172]
Конструкция 8Е/Я+1/,- Опуская для простоты индекс гс+ /а, опишем применявшийся в наших расчетах способ описания Ъи. Мы предполагаем, что множество допустимых по условию и ( )+8м (t) Si7 (t) вариаций образует выпуклый конус Kt в r-мерном пространстве (г — размерность и). Как известно, выпуклые конусы допускают два способа описания либо как пересечение некоторого набора полупространства, либо как выпуклая оболочка набора векторов. Именно этот второй способ и оказывается наиболее удобным. [c.168]
Выражение [231] является уравнением выпуклого многогранника в n-мерном пространстве, образующим множество решений и называемым симплексом. В двухмерном пространстве при п = 2 симплекс соответствует треугольнику. В трехмерном пространстве при п — 3 симплекс соответствует тетраэдру. В настоящее время название симплекс используется независимо от формы линейных ограничений. [c.296]
Название метода произошло от понятия симплекса. Напомним, что т-симплексом называют выпуклый многогранник, аффинная оболочка 1 которого есть аффинное множество размерности т. В данном случае можно считать, что система расширенных базисных столбцов ал,а/2,..., а/т , рассматриваемых как точки в / m+1, порождает (т- 0-мерный симплекс в пространстве / от+1. [c.40]
К выпуклым множествам относятся все n-мерное пространство R , или множество точек (х,...хп) в й-мерном пространстве, удовлетворяющих условию а,х1 + 2х, +. .. + апхп - Ъ, или /--окрестность любой л-мерной точки и др. Пересечение выпуклых множеств является выпуклым множеством. [c.57]
Доказательство теоремы 9.1. При фиксированном х Е Ух значения вектор-функции / в задаче (9.34), (9.35) принадлежат множеству Q> которое представляет собой отображение множества Vu в m-мерное пространство /. Значения же вектора / принадлежат выпуклой оболочке Q. Согласно теореме Каратеодори каждый элемент [c.321]
Действительно, совершенно аналогично тому, как это было сделано выше при доказательстве теоремы 9.1., можно доказать справедливость первого из утверждений лемммы 9.5 здесь при любом фиксированном значении , х, а, г значения вектора / = (/0, /х,. .., /т) принадлежат выпуклой оболочке множества Q> получающегося при отображении Vu в (т + 1)-но мерное пространство /. Так как искомое решение максимизирует /о по [7, то оно принадлежит верхней границе Q и может быть получено как линейная комбинация (т + 1)-го элемента Q. [c.325]
Представим себе любую линейную оптимизационную задачу и кратко напомним основные особенности симплекс-метода. Его идея состоит в переходе от одного базисного (опорного) плана к другому таким образом, что линейная форма улучшается на каждом шаге и достигает экстремума. Переход происходит по вершинам выпуклого многогранника условий в я-мерном пространстве, причем на каждом шаге переход осуществляется в соседнюю вершину. При нахождении в такой вершине проводится проверка плана на оптимальность. Линейная форма (гиперплоскость) делит все пространство на две части. Вершинам, находящимся в верхней части, соответствуют отрицательные элементы целевой строки, а вершицам из нижней части — положительные. Переход осуществляется только в соседние вершины из верхнего полупространства до тех пор, пока в нем не останется ни одной вершины. Переход проводится в ту вершину, которой соответствует максимальный по абсолютной величине из отрицательных элементов целевой строки. Если на последнем шаге линейная форма имеет более одной общей точки с выпуклым многогранником условий, то имеется множество оптимальных пла- [c.60]
Согласно теореме Каратеодори [87] для построения выпуклой оболочки множества У из т+ 1-мерного пространства требуется в общем случае не более т + 2 точек уеУ. Это значит, что со У может быть предстазле-138 [c.138]
Почти во всех прикладных задачах, известных автору, области / (х, U) — не строго выпуклы. Одной из причин этого является то, что, как правило, г (размерность и) меньше п (размерности х и /), а гладкое отображение простой ограниченной области U г-мер-ного пространства в га-мерное есть r-мерное многообразие и, следовательно, не может содержать га-мерной сферы (что есть необходимое условие строгой выпуклости множества в к-мерном пространстве). [c.118]
Выпуклые функции. Рассмотрим функцию /(х1, . . . , х"), которая принимает в точках Rn либо конечные значения, либо значение +°°. Множество точек (и + 1)-мерного пространства Rn+i с координатами х1, . . . , х", у, определенными условием у > /(х1. .... х"), называют надграфиком (эпиграфом) функции /(х) и о.бозначают через epi/. Множество точек Rn, в которых /(х) <.+°°, называют эффективным множеством и обозначают dom/. Будем считать, что множество dom/ есть непустая подобласть Rn, во всех точках dom/ функция /(х) непрерывна и f(x ограничена снизу на dom/. [c.92]
Управление, оптимальное по критерию (3.12), может быть получено путем аппроксимации поверхности i3f П ) (рис. 3.1), образованной сочетаниями критериев при Парето-оптимальных управлениях в К-мерном пространстве критериев. В соответствии со свойствами [74] множества Парето поверхность " ( П ) строго монотонна, представляет собой левую нижнюю границу множества Ф и расположена в первом координатном ортанте. Поверхность (П) является выпуклой в том случае, если множество Ф выпукло. В этом случае поверхность " ( П ) может быть аппроксимирована гиперболической поверхностью. [c.120]
Точка Р выпуклого множества V в и-мерном пространстве называется крайней, если она не может быть серединой отрезка, концы которого лежат в множестве V, т. е. если не существует точек Mit M2gK, Мг = =Мг таких, что [c.84]
Смотреть страницы где упоминается термин Выпуклые множества в п-мерном пространстве
: [c.584] [c.251] [c.108] [c.22] [c.214] [c.359] [c.37] [c.161]Смотреть главы в:
Справочник по математике для экономистов -> Выпуклые множества в п-мерном пространстве