Таким образом, множество случайных величин, имеющих математическое ожидание, это множество суммируемых функций х(и>), заданных на вероятностном пространстве (и, 2, Р). Более содержательные результаты по стохастическому программированию можно получить, если рассматривать лишь случайные величины, соответствующие некоторым подмножествам множества измеримых функций, определенным на (.и, S, P), например только функции л (со) с интегрируемым квадратом. [c.19]
Е Сли минимум (3.23) достигается в точке АО, являющейся внутренней точкой множества Л, то S(u)=S(u) и существует измеримая функция х0(а>), удовлетворяющая условиям (3.19), равенству [c.27]
Для того чтобы задача (2.1) — (2.3) была полностью поставлена, необходимо еще указать, среди какого подкласса измеримых функций (решающих правил х = х( ) Х) от реализаций случайных параметров-условий задачи следует разыскивать решение. [c.194]
При решении стохастических задач с апостериорными или априорными решающими правилами могут еще задаваться дополнительные требования на характер решающего правила вплоть до вида функциональной зависимости решающего правила от случайных параметров условий задачи. В последнем случае задача бесконечно-мерного программирования сводится к конечно-мерной задаче (или к последовательности конечно-мерных задач), в которой требуется вычислить оптимальные численные значения параметров решающего правила. Дополнительные требования к классу измеримых функций, из которых следует выбирать решение задачи (2.1) — (2.3.), могут определяться содержательными соображениями или необходимостью упростить построение и реализацию решающего правила. [c.194]
Постановки задач многоэтапного стохастического программирования с условными статистическими ограничениями и методы анализа решающих правил, соответствующих различной информации о состоянии системы в момент выбора решений, могут быть при некоторой модификации интерпретированы как модели и методы анализа многоуровневых иерархических систем управления, работающих в условиях неполной информации. Задание подкласса измеримых функций, из которого следует выбирать решающие правила, определяет здесь взаимодействие, координацию, управление и характер обмена информацией между звеньями одного уровня и звеньями. различных уровней. Представляется, что синтез многоэтапных и многоуровневых стохастических моделей выбора решений является основой формального аппарата качественного исследования и численного анализа сложных систем управления. [c.196]
Функционал <2(ЯП) определен, вообще говоря, не на всем Я+. Однако в силу 1° и 2° при любых измеримых функциях Я ш "1) ( ><л)(шп, (а) 1)) измерима. [c.222]
Аргументы задачи х к и оказываются элементами разных функциональных пространств и обычно бывает произвольной (измеримой) функцией, а х — сравнительно гладкой. [c.20]
Напомним, что мы условились считать исследуемое управление и ( ) кусочно непрерывной функцией. Следствием этого является кусочная непрерывность матрицы влияния W (t). Известно, что при любом сколь угодно малом е измеримая функция совпадает с некоторой непрерывной функцией всюду, за исключением точек некоторого множества меры е. Пусть v e ( ) и v"s ( ) — соответствующие непрерывные аппроксимации Ьи ( ) и 8м"( ). Тогда [c.45]
Все эти рассуждения на первый взгляд не имеют отношения к приближенному решению задач оптимального управления. Ведь в любой реализации приближенного метода имеют дело не с измеримой функцией, а, например, с кусочно постоянной сеточной. В этом случае разница между функционалами (4) и (9) пропадает, и появляется формальная возможность и для учета (9) использовать аппроксимацию (10). Именно такая точка зрения принята в [31], [68], [75] и других работах, связанных с применением методов математического программирования (см. также 13, 25, 36). К сожалению, этот единообразный подход к объектам разной функциональной природы оплачивается существенным ростом объема вычислений и, вследствие этого, ненадежностью результатов. В данном случае он приведет к очень большому числу точек аппроксимации t в (10). - [c.78]
Для задач оптимального управления естественным является замыкание, порождаемое следующим определением сходящейся последовательности траекторий (и(1г ( ), х(1с) ( ) , где и ( ) — измеримая функция, а ж(й) ( ) — порожденная ею фазовая траектория. Такую последовательность называют сходящейся в себе, если при любом s > 0 для всех достаточно больших чисел , q > К (е) выполнены соотношения [c.84]
Теперь поясним, почему в результате замыкания множества траекторий (и ( ), х ( ) , порожденного всеми измеримыми функциями и ( ), появляются функции х (t), удовлетворяющие включению [c.86]
Теорема 3. Пусть о — выпуклое множество в пространстве измеримых функций Ъи (t), определяемое условием 8w (t) Ш (t) при всех t (мы считаем bU(t) выпуклым при каждом t [Q, Т ). Пусть тело Р в (т- - 1)-мерном пространстве — образ а в отображении [c.144]
Принципиальное отличие этого функционала от функционала (1) уже обсуждалось в 4. Возможность с достаточной точностью аппроксимировать вариацию функционала (1) выражением (7) с небольшим числом k связана с гладкостью функции 8ж (f), являющейся решением дифференциального уравнения в вариациях следствием этого является и гладкость функции Фх [х (t)]bx (t), значения которой в окрестностях точек аппроксимации, грубо говоря, меняются при вариации управления в ту же сторону, в какую они меняются в точках аппроксимации. Поэтому, учитывая 8Ф при построении 8ц ( ) только в точках аппроксимации, мы в известной мере учитываем 8Ф всюду, где Ф [х (г)] тах Ф [х (t)], Для функционала (2) это уже не так, Ьи (f) — измеримая функция, ее значения в близких точках t, t" никак не связаны между собой, и аппроксимация типа (7) — неэффективна. Разумеется, она будет эффективна, если разместить по точке аппроксимации на каждом интервале счетной сетки (tn, tn+l), входящем в множество М. Однако в проводившихся автором расчетах число таких интервалов было 102, что уже приводит к задаче линейного программирования слишком тяжеловесной для того, чтобы решать ее на каждом шаге процесса построения минимизирующей последовательности управлений. Поэтому в расчетах использовался прием превращения компонент управления, явно входящих в функцию Ф [х, и], в фазовые координаты. Именно, полагаем [c.185]
Определение. Множество точек F [и ( )] = F0 [и ( )],. , .., Fm [u(-) в (т+1)-мерном евклидовом пространстве, порожденное всеми возможными измеримыми функциями и (t), определенными на [О, Т] и удовлетворяющими геометрическому ограничению и (t) U, называется областью достижимости D для задачи [c.188]
Однако величина а"1 настолько мала относительно характерных времен в данной задаче (а.Т 103—104), что ограничением (5) можно совсем не пользоваться и принять для и (t) модель произвольной ( измеримой ) функции. Если найденное при такой идеализации оптимальное решение и (t) окажется разрывным, а число разрывов будет невелико (именно так и окажется), то аппроксимация разрывных решений, даже обращающихся в нуль, функцией, удовлетворяющей условию (5), особых трудностей не представляет, а ошибка такой аппроксимации (относительно значения функционала F0) очень мала и заведомо меньше неточности самой модели (1). [c.296]
В остальных случаях следует действовать более аккуратно необходимо задать некоторое достаточно широкое семейство подмножеств множества стратегий игрока и приписать каждому подмножеству из этого семейства некоторую вероятность выбора чистой стратегии именно из него. Такое приписывание вероятностей должно подчиняться некоторым условиям, связанным с так называемой "измеримостью" функции выигрыша. Связанные с этим рассуждения в полном своем объеме оказываются достаточно сложными. Однако мы на них сейчас останавливаться не будем и ограничимся следующим предположением, которое в рамках рассматриваемых в данном курсе вопросов полностью соблюдается. [c.97]
Пусть а = a(t, х) и b = b(t, х) - измеримые функции на R+ х М. [c.321]
А) Если процесс (М) является абсолютно непрерывным (Р-п. н.) по , то множество простых функций плотно в пространстве L измеримых функций / = f(t, u>), для которых [c.359]
B) Если процесс (М) является непрерывным (Р-п.н.), то множество простых функций плотно в пространстве i , состоящим из тех измеримых функций / = (/(t, w))t o, Для которых выполнено (7) и для каждого (конечного) марковского момента г = т(ш) величины /(T(W), и>) - --измеримы. [c.360]
В общем случае, когда на (М) не накладываются дополнительные условия гладкости траекторий, множество простых функций плотно в пространстве L измеримых функций / = (/(t, w), t)t 0i Для которых выполнено условие (7) и которые являются предсказуемыми в следующем смысле. [c.360]
Рассмотрим в пространстве R+ х П минимальную ст-алгебру , относительно которой измеримы все отображения (t, u>) <- Y(t, u>), порожденные -измеримыми при каждом t 0 (измеримыми) функциями Y = (Y(t,w))f2Q U d, имеющими непрерывные слева траектории (по t при каждом ш ft). [c.360]
Пусть /N — /N(U) -некоторая ("целевая") неотрицательная N -измеримая функция, имеющая смысл "платежного обязательства" "терминальной" выплаты,. ... [c.17]
Вообще говоря, сформулированное условие совершенности является довольно сильным предположением и его требование накладывает весьма жесткие ограничения на структуру (В, 5)-рынков. В то же самое время во многих случаях нет надобности требовать существования совершенного хеджа для всех /-измеримых функций /N, а достаточно оперировать лишь, скажем, с ограниченными функциями или функциями из некоторого подкласса с теми или иными условиями интегрируемости и измеримости. (См., впрочем, теорему в 4f.) [c.22]
Пусть f( o, х) — произвольная функция, заданная на множестве S uxX, a > — произвольная точка из Q. Функция fm(x), определенная на сечении 5Щ равенством f > ( )=/( >> х), называется сечением функции f (точнее, Q — сечением функции f). Подобным образом X — сечение функции f, определяемое точкой х Х, есть функция,. заданная на Sx равенством fx (
Теорема Фуббини. Пусть (и, 2, Р ) и (X, V., Рц) — два вероятностных пространства. Существует единственная вероятностная мера Р, определенная на (ЙХХ, 2Хх) такая, что P(AiXAz) =P(Ai)P(Az) для любых /Iie2, Аг к. Для любой измеримой функции /(со, я), определенной на (QXX, SXx), справедлива формула [c.21]
Вычислить максимум функционала Mty0(
Исследование формальных способов решения конкретных задач, находящихся на границе применения вероятностных и расплывчатых методов, целесообразно проводить несколькими путями. Первый путь связан с введением расплывчатого пространства измерений (Н, В, jj,), аналога вероятностного пространства (где % Н-+[0, 1], В — измеримая функция) и использованием расплывчатого ожидаемого значения (РОЗ), определяемого функцией принадлежности ч на расплывчатом множестве А с представлением расплывчатого измерения ц(-) и применением интеграла Лебега. [c.27]
В данной задаче такие выражения, как управлять системой , выбрать управление , определить управление и тому подобное означают одно и то же — задать на интервале управления [О, Т] некоторую функцию и (t). Естественно возникает вопрос о функциональном классе, из которого разрешается выбирать и (t). Удобным оказался класс измеримых функций. С точки зрения теорем существования решений вариационных задач класс измеримых функций очень удобен. Однако при выводе необходимых условий оптимальности обычно происходит сужение задачи сама исследуемая функция и (t) предполагается не произвольной измеримой функцией, а гораздо более простой, например, кусочно непрерывной, кусочно гладкой, но ее разрешается подвергать вариациям 8м (t), относительно которых уже никаких предположений не делается 3w (t) может быть произвольной измеримой функцией. Таким образом, объектом теоретических исследований является сравнительно простая функция и (t), которая должна быть оптимальной в гораздо более широком множестве произволь- [c.24]
Первый банальный случай несуществования. Пусть среди всех [/-допустимых измеримых функций (и (t) U при всех t) нет такой, которая обеспечивала бы выполне-ние условий Ft [и ( )]=(), i = l,2,.. ., m, при каком угодно значении FQlu ( )]. В этом случае нет вариационной задачи и говорить не о чем. Эта возможность в теории оптимального управления отвергается, считается (и это соответствует положению дел при решении прикладных задач), что по крайней мере одно допустимое ) управление существует. [c.81]
Теорема Филиппова. Предельная траектория х( ) является абсолютно непрерывной функцией, имеющей почти при всех t производную dxjdt, причем эта производная является измеримой функцией и удовлетворяет условию [c.86]
При этом 8м (t) — сеточная модель гладкой функции, определяе-, мая произвольной малой сеточной функцией У (t) и уравнением (16), a Ьи" (t) — сеточная модель измеримой функции, определяемая формально никак не связанными между собой значениями Змя+г/, на счетных интервалах (tn, я+1) однако Ьи" отлична от нуля лишь на тех интервалах (tn, tn+J, которые не входят в выделенное множество М. В упомянутой задаче этот прием позволил получить четкий разрыв в и (t) и значение 0= 1,592. Подробнее [c.186]
Определение 3. Будем говорить, что измеримая функция / = f(t,x), определенная на R+ x R, удовлетворяет (по фазовой переменной х) локальному условию Липшиц а, если для всякого п 1 найдется константа К(п) такая, что для всех t 0 и х < п, у < п [c.322]
В случае, когда процесс -X" = (Xt)t o есть броуновское движение, стохастический интеграл /((/), согласно 3с, можно определить для всякой (измеримой) функции/ — (f(s,ui))a t, лишь бы только/(s,o>) были -из-меримымии [c.359]