Вариация функционала. Теперь следует вычислить первую вариацию функционала для возмущений подобного рода. Ограни- [c.58]
Прямая вариация функционала [c.62]
Если вариация функционала включает слагаемое вида (Ь, Ъх (Т)), то для граничного значения ф естественно взять ф(Г)= . Уравнение для ф (i), решаемое справа налево, есть обычное уравнение с запаздыванием. Итак, формула (16) получена, причем [c.75]
Выражение для вариации функционала, полученное прямой вариацией определяющей его формулы [c.98]
Принципиальное отличие этого функционала от функционала (1) уже обсуждалось в 4. Возможность с достаточной точностью аппроксимировать вариацию функционала (1) выражением (7) с небольшим числом k связана с гладкостью функции 8ж (f), являющейся решением дифференциального уравнения в вариациях следствием этого является и гладкость функции Фх [х (t)]bx (t), значения которой в окрестностях точек аппроксимации, грубо говоря, меняются при вариации управления в ту же сторону, в какую они меняются в точках аппроксимации. Поэтому, учитывая 8Ф при построении 8ц ( ) только в точках аппроксимации, мы в известной мере учитываем 8Ф всюду, где Ф [х (г)] тах Ф [х (t)], Для функционала (2) это уже не так, Ьи (f) — измеримая функция, ее значения в близких точках t, t" никак не связаны между собой, и аппроксимация типа (7) — неэффективна. Разумеется, она будет эффективна, если разместить по точке аппроксимации на каждом интервале счетной сетки (tn, tn+l), входящем в множество М. Однако в проводившихся автором расчетах число таких интервалов было 102, что уже приводит к задаче линейного программирования слишком тяжеловесной для того, чтобы решать ее на каждом шаге процесса построения минимизирующей последовательности управлений. Поэтому в расчетах использовался прием превращения компонент управления, явно входящих в функцию Ф [х, и], в фазовые координаты. Именно, полагаем [c.185]
Прямая вариация функционала дает следующую простую формулу [c.203]
Разумеется, теперь нельзя говорить о методе второго порядка, однако можно привести соображения в пользу такого непоследовательного подхода ведь в окрестности минимума вырождается (обращается в нуль) линейная часть приращения ЬР0, поэтому естественно уточнить вычисления именно в этом месте ). Учитывая в условиях Ff—0, i=l, 2,.. ., m, лишь линейные по Ьи ( ) члены, мы будем получать невязки Ft [и (-)+8м (-)] 0 ( 8м 2), и их компенсация на следующей итерации потребует малой, порядка 8м а, части вариации управления. Труднее оправдать использование простейшей формы уравнения в вариациях при преобразовании линейной по Ьх (t) части вариации функционала Р0. Видимо, решающим аргументом здесь является относительная простота преобразования исходного выражения для ЪР0 (6). Выше мы убедились в том, что, используя линейную связь между Ьх (t) и 8м ( ), нетрудно довести выкладки до конца и преобразовать первоначальное выражение F0 (в виде квадратичной формы от о г ( ) и Su ( )) в квадратичную форму только от Ъи ( ). Попытка проделать ту же операцию, используя более точную форму уравнения в вариациях, хотя и не встретила принципиальных трудностей, однако привела к существенному усложнению всей процедуры, так что ее не так просто довести до конца даже на уровне формальных выкладок. [c.207]
Вычислим вариацию функционала (1.14). Введем семейство функций [c.14]
Формула (1.16) дает искомое выражение для вариаций функционала /. Дальше в том или ином виде она часто встречается. При этом ее вывод будет приводиться, только если он содержит новые элементы по сравнению с рассмотренным в остальных случаях сразу формулируется результат. [c.15]
Вычисление вариации функционала (2.6) не сводится к вычислению вариации функционала (1.14), потому что область интегрирования (/ , /, ] подвергается варьированию. [c.20]
Покажем,-что вариация функционала / имеет вид [c.21]
Вычислим вариацию функционала 5 7 [c.69]
Найдем вариацию функционала %. Пусть ( ") - стационарная точка fi, а х (1-а, е) — близкие сравниваемые законы движения. Поверхность разрыва у закона движения ( ", б) обозначим через 2С. Как при выводе уравнений Лагранжа в 2 гл. I, удобно ввести отображение V - V % " = = "( , б), при котором поверхность 2 переходит в поверхность 2е. В силу близости 2 и 2е можно написать " = " +5 ", где 5 " - гладкие функции в V. Функции 5 " обращаются в нуль на 8F, поскольку граница области V неподвижна по частицам. [c.181]
Вариация функционала (6.17) по и а дает уравнения (6.10) и (6.11), вариация по и , /J и вариация границы приводят к уравнению [c.217]
Вариационные принципы для идеальной жидкости в случае переменного числа частиц. Пусть теперь часть 5 границы области V проницаема для частиц (см. рис. 42, на нем изображены линии тока). В этом случае вариация функционала (7.14) не равна нулю. Естественно постулировать следующее вариационное уравнение [c.227]
Возможны и другие варианты учета маневренности. Так, при отыскании оптимального плана задачи в некоторой окрестности минимума функционала (2.1) из набора вариаций интенсивностей, объектов и способов этого плана отбираются те, которые удовлетворяют максимуму маневренности (предпосылка о дефиците маневренности). [c.13]
Дискретный принцип максимума получается почти по такой же схеме, но вместо дифференциальных уравнений в выкладках участвуют их разностные аппроксимации. И вот здесь появляется упомянутое реальное следствие дискретной теории разностное уравнение для сопряженного уравнения является следствием того или иного выбора аппроксимаций для прямого уравнения и для интеграла в тождестве Лагранжа. Разностная аппроксимация уравнения в вариациях также однозначно определяется выбором аппроксимации исходного уравнения, но это не так важно, так как в вычислительных методах обычно это уравнение не интегрируется. Эту аппроксимацию сопряженного уравнения "мы будем называть согласованной с аппроксимациями исходного уравнения и интеграла в том смысле, что для конечно-разностных решений Sz и ф, полученных по согласованным аппроксимациям соответствующих уравнений, алгебраически точно выполняется тождество Лагранжа (тоже в соответствующей аппроксимации). Это и есть то единственное практическое следствие, которое автор смог извлечь из теории дискретного принципа максимума и которого в своих вычислениях никогда не использовал ни в явной, ни в неявной формах. Автор всегда выбирал для исходного и сопряженного уравнений независимые аппроксимации, причем сопряженное обычно интегрировалось более грубо, с большим шагом по времени. Дело в том, что использование согласованной > аппроксимации связано с определенными техническими неудобствами, необходимость преодоления которых не очевидна. Во всяком случае, автору неизвестны трудности численного решения задач оптимального управления, которые можно было бы преодолеть, используя согласованную аппроксимацию. Чтобы и здесь быть более конкретным, можно все же указать на некоторое следствие использования согласованной аппроксимации. Речь идет о получении минимума функционала с большим числом знаков. Используя для вычисления функциональной производной функцию < >, найденную по произвольной аппроксимации сопряженного уравнения, мы, разумеется, находим не точную производную, а лишь приближенную, искаженную влиянием ошибок аппроксимации. Поэтому получить минимум с очень большой точностью не удастся начиная с некоторого этапа минимизации (например, методом градиента в функциональном пространстве) мы будем в этом случав [c.54]
Минимум сеточного функционала ищется процессом последовательного изменения значений сеточной функции в узлах, причем рекомендуется типичная для метода локальных вариаций технология сначала делаются попытки менять каждую переменную на заданную величину h, они продолжаются (циклически) до тех пор, пока приводят к уменьшению функционала. Затем то же самое делается с шагом А/2, и т. д. Если отвлечься от этой технологии, то метод локальных вариаций, по существу, совпадает с хорошо известным релаксационным методом. Разница лишь в том, что в последнем смещение значения Uj m в узле сетки определяется решением задачи на минимум функцио- [c.135]
В 18—23 были описаны методы построения минимизирующей последовательности управлений, использующие лишь первые производные входящих в задачу функционалов. Поэтому эти методы называют методами первого порядка. Давно было замечено, что при решении задач поиска минимума методом первого порядка сходимость оказывается очень медленной в окрестности точки минимума. Это и понятно ведь в этой окрестности, грубо говоря, первая производная минимизируемого функционала обращается в нуль, и приращение его при вариации аргумента (управления) определяется вторым членом разложения. Стремясь повысить скорость поиска и получить более точные результаты без существенного увеличения времени счета, естественно приходят к идее использования в вычислениях также вторых производных от функционалов задачи. Кроме того, с этим же связаны и надежды повысить эффективность поиска в условиях применения штрафных функций, когда сходимость методов первого порядка оказывается очень медленной даже сравнительно далеко от искомой точки минимума. Методы второго порядка разработаны не так подробно, как методы первого порядка, а опыт их фактического применения совсем невелик. Ниже будет описана общая схема метода второго порядка и рассмотрены возникающие при его реализации вычислительные проблемы. [c.201]
Теперь, используя уравнение в вариациях (5), следует в выражении (6) исключить вариацию зависимого аргумента Ьх (t) через 8и ( ) и получить ЬР [Ъи ( )] в виде квадратичного функционала от ( ). Здесь мы также можем воспользоваться сделанным выше замечанием и в квадратичных членах использовать связь между Ьх (t) и Ьи ( ), следующую из линейной теории (5 ). Эта связь нам будет нужна и для вычислений, поэтому выпишем ее в явном виде [c.203]
Вариация минимизируемого функционала вычисляется с учетом квадратичных членов, т. е. в виде (11). Обычным образом [c.206]
J- и 2) At и в том, и в другом случае и1 (t) л —х1 (0)/ (см. рис. 6, 7 в [41]). В целом, как это видно из табл. 1, этот вариант задачи был довольно легким для численного решения. Вторая задача оказалась сложнее. Она была решена в несколько измененной по сравнению с [41 ] форме во-первых, Г=0, 1, а не 1, как в [41], и в качестве исходной траектории бралось решение задачи Коши (1) с и ( )лЮ (условия х1 (У) = 0, разумеется, выполнены не были). Причины, побудившие к этим изменениям, будут ниже разъяснены. Табл. 2 дает представление о том, как происходит поиск v — номер итерации, значение функционала F0, значения х1 (Т), предсказанные на предшествующей итерации на основе формул линейной теории возмущений, использующих функциональные производные дх (T)jdu(-), и значения х (Т), фактически полученные после интегрирования системы (1 ). Процесс решения задачи заслуживает комментария. Расчет проводился при 7V=100, вариации ]Bz/ , ц были ограничены числами 2 0,5 0,5 для i = i, 23. [c.281]
Можно было бы использовать аппроксимацию (5), взяв в качестве точек аппроксимации t( все точки t , в которых достигается максимум в (3). Однако N=85, и число таких точек, как мы увидим из дальнейшего, в некоторых расчетах было бы — N. Такой способ решения задачи привел бы к непосильным расчетам ведь для вычисления SF0[Su ( )] по (5) в виде функционала только от компонент и(-) нужно было бы. используя стандартную технику исключения Ъх (т(.) через интегралы от 8ц (f), решать сопряженную систему I раз (I — число точек аппроксимации). Кроме того, определение вариации управления Вм ( ) было бы связано с решением задачи линейного программирования размером 3./VXZ, что при I — N — 100 было бы практически невозможно на той ЭВМ, которая использовалась в расчетах (примерно 50 000 операций в секунду, 4000 ячеек оперативной памяти). [c.331]
Не видно и способов, которыми можно было бы добиваться выполнения (15). Попытки использовать замену (14) действительно привели к бессмысленной эволюции v(t) в процессе поиска минимума. Впервые регуляризация численного решения задачи оптимального управления была осуществлена в работе 181], причем использовался именно функционал F0 [и ( ), а] (6). Решалась, кстати, задача, совпадающая с (1), однако в более простой ситуации решение искалось только на интервале ( , 2) (оптимальные значения t и tz можно искать подбором, причем каждый акт подбора связан с решением вариационной задачи на (t1 t2).) Поэтому ограничение О и U отсутствовало, и применялся метод проекции градиента (классический вариант, 18). В этом случае вариация 8u (t) имеет вид [c.354]
Вариации функционалов. Пусть / ( ) некоторый функционал, определенный на множестве М. Возьмем некоторый элемент и множества J и построим семейство процессов сравнения и (е), и (0) = , е>0. На каждом семействе процессов сравнения и (е) функционал / становится функцией е. Предполагая, что эта функция дифференцируема по е при е- +0, введем величину [c.13]
Вариация интегрального функционала. Рассмотрим функционал вида [c.14]
Функционал 6S2 обращается в нуль на действительных вариациях [c.30]
Задание функционала б W означает задание соответствующих коэффициентов при вариациях. Коэффициенты при вариациях могут быть указаны либо в функции координат, либо в функции определяющих функций, либо неявно при помощи дополнительных уравнений. В основу задания коэффициентов при вариациях можно положить связь функционала 6IV с некомпенсированным теплом и постулаты термодинамики необратимых процессов. В число замыкающих уравнений войдет уравнение второго начала термодинамики. [c.32]
Итак, вместо задачи (1) — (4), в которой был лишь один функционал F0, не имеющий производной Фреше, мы получили задачу с тремя функционалами, F0, Ръ Рг, дифференцируемыми лишь по направлениям, и с одним, дифференцируемым по Фреше, функционалом F3. Правда, в новой задаче нет геометрических ограничений на управление, но учет таких ограничений менее всего затруднителен в расчетах. Однако это усложнение было оправдано, объяснить причины удобнее несколько позже. Задача решалась по схеме 19 — 21. Сетка для управления состояла из 64 точек, причем из них 50 приходилось на активный участок [О, Т], остальные — на пассивный (Т, Т ). Интегрирование самой системы (6) осуществлялось с шагом, заметно меньшим шага сетки для управления. Вариация функционала F0 аппроксимировалась тремя точками tf, для аппроксимации / и Fz использовалось по две точки. Нужно иметь в виду, что отсутствие производных Фреше у F0, Flt F% есть существенное обстоятельство, так как оптимальная и близкие к ней траектории имеют следующую структуру определим на [О, Т ] множества [c.298]
Здесь W (t) — матрица г - т -(- 1, i-я строка которой-является г-мер-ной вектор-функцией ifff(t), производной функционала Ff[u(-J W (t) называют матрицей влияния она позволяет вычислить влияние малого возмущения управления на положение изображающей точки F [и ( ) - - 8м ( )] в Ет+1 (вычислить, разумеется, лишь в первом порядке, с точностью до О( 8и 2)). Таким образом, формула (10) определяет отображение конуса всевозможных вариаций управления Ки в конус смещений Кр то, что все SF образуют конус — очевидно если смещение ЬР соответствует вариации ц ( ) Ки, то смещение XS.F (где X > 0) соответствует вариации >8и ( ) 6 Ки-Очень важна для дальнейшего [c.44]
Метод локальных вариаций. Метод, разработанный Ф. Л. Чер-ноусько, представляет собой, видимо, наиболее широко используемую форму метода вариаций в фазовом пространстве. Метод носит итерационный характер, каждая итерация является переходом от некоторой траектории к близкой к ней, лучшей по величине минимизируемого функционала. Пусть х (t) — некоторая траектория системы я=/, удовлетворяющая краевым условиям х (0) = =Х0, х (Т)=Хг и фазовым ограничениям. Эту траекторию можно представить последовательностью точек на временнбй сетке [c.127]
Метод локальных вар наций и релаксационный метод. В [86 ] метод локальных вариаций был распространен на задачи минимизации функционалов от функций нескольких независимых переменных. Хорошо известно, что многие задачи математической физики (краевые задачи для уравнения Лапласа, для бигармонического уравнения и другие) могут быть сформулированы либо как задачи на минимум соответствующего функционала, либо как задачи с уравнениями в частных производных (эти уравнения — суть уравнения Эйлера для вариационной формулировки). Применительно к таким задачам метод локальных вариаций состоит из двух элементов. [c.134]
Таким образом, оба метода — суть некоторые варианты метода покоординатного спуска для минимизации (9). Следует иметь в виду, что на данном этапе основной проблемой в решении подобных задач является не столько построение аппроксимации типа (9), сколько разработка возможно более эффективных методов минимизации. Создание новой техники минимизации дает право говорить о новом методе решения задачи типа (8) — но лишь в том, разумеется, случае, если эта техника имеет какое-то преимущество по сравнению с уже известными. К сожалению, в публикациях по методу локальных вариаций (например, [41], [55], [56], [86]) нет данных, которые позволили бы оценить трудоемкость расчетов и сравнить с эффективностью стандартного релаксационного метода. К тому же сам по себе релаксационный метод в настоящее время относится к числу наиболее слабых, и при достаточно больших N (> 30) почти не употребляется. Вопросам ускорения процесса минимизации уделялось большое внимание с некоторыми результатами по этому вопросу можно познакомиться по работам [16], [50], [24]. Здесь отметим лишь очень простое усовершенствование релаксационного метода — метод последовательной сверхрелаксации. После того как новое значение uj+]n найдено из условия минимума функционала, оно еще раз пересчитывается по простой формуле [c.135]
Рассмотрим первый случай. Итак, условие (31) выполнено, и вариация 8и ( ), Ьх ( ) имеет целью уменьшение значения минимизируемого функционала F0. Для этого задача линеаризуется в окрестности траектории .( ), а (-) , что приводит к следующей задаче ) для ( ц(-), 8ж(-) найти [c.149]
В общем случае, из Я [х, ф, и ] >Я [я, ф, и] не следует (Ни [х, ф, и], и —и) > 0, понижение F0 с ростом s не гарантируется (отрицательные значения s могут быть запрещены условием и (t, s) U). Однако в очень распространенной ситуации, при линейной зависимости всех функций / (х, и) от и, (Ни, и —и) > О, и метод оказывается сходящимся. В общем случае сходимости может не быть при сколь угодно хорошем начальном приближении. Конструкция (45) с точки зрения сходимости более естественна и логична ведь глобальный характер (по и ( U) уравнения принципа максимума связан с использованием конечных вариаций на множествах малой меры, и конструкция (45) в отличие от (42), это учитывает. В 6 была получена формула для приращения функционала, вызванного конечным изменением управления на множестве М, малой меры р,=шезМ, [c.154]
Таким образом, горизонтальная размерность задачи квадратиче-ского программирования ( 49) (или линейного программирования ( 48)) равна QN (расчеты проводились с N=50 и с. /V=100), вертикальная размерность т=3. Табл. 1 иллюстрирует процесс решения первой задачи, v есть номер итерации, F0 — значение функционала на данной итерации. В качестве исходной траектории, как и в [41], бралось управление, соответствующее линейным х (t). В первом расчете JV=50, вариации компонент управления 8у , и> были ограничены числами 20, 10, 30 (для i=l, 2, 3 соответственно). В процессе решения задачи условия х (Т) были выполнены с абсолютной погрешностью, не превышающей 0,02. Второй расчет отличался от первого только значением Л =100. Время решения задачи возросло в два раза. Наконец, в третьем расчете, при N=50, были разрешены большие значения вариаций 8р , 8ш °ни были ограничены значениями 40, 20, 60. Время решения задачи сократилось почти вдвое, точность выполнения условий х (Т)—0 осталось той же, что и в первом расчете. Видимо, возможно и дальнейшее увеличение допустимых значений Ьи, bw, что приводит к дальнейшему сокращению времени решения [c.279]
Но уравнение для х1 в силу Аг—0 очень просто, и из условий х1 (Т)=0 и и1 (t) 0 следует, что первое слагаемое (144) будет найдено точно, какой бы ни была функция и1 (t) (а в данной задаче имеется семейство решений, дающих одно и то же минимальное значение F0, так что и1 (t) определяется с большой степенью неопределенности). Таким образом, вся ошибка численного решения связана с ошибкой во втором слагаемом, и относительная погрешность в нем составляет 12,5% для метода локальных вариаций и 0,3% в наших расчетах. В [41 ], [86] исходная траектория характеризуется как точка локального минимума вариационной задачи. Это, как показали наши расчеты, неверно. Легко проверить (предоставим это читателю), что исходная траектория является стационарной точкой метода локальных вариаций принятая в этом методе техника варьирования траектории действительно не приводит к изменению значения функционала. Но это есть следствие дефекта метода, а не особенность данной траектории. Ведь если бы мы имели дело с локальным минимумом задачи, то и наш метод не позволил бы эту траекторию проварьировать как и всякий реализуемый метод, он является методом поиска лишь локального минимума. Поэтому замену функционала (2) на функционал [c.280]
Здесь S — шаг процесса. В самом начале он задавался величиной 0,016-f-0,02, обеспечивающей 10% точности линейного приближения (см. 20), затем регулировался в зависимости от результатов вычислений. Наиболее жесткие требования к шагу предъявляет используемая здесь аппроксимация вариации дифференцируемого лишь по Гато функционала F0 [и(-), Т] = [c.319]
Функционал б W представляется в виде интеграла по границе четырехмерной области FX [t0, /i] от линейной комбинации вариаций определяющих функций и их производных. [c.32]