Когда игрокам известны значения всех текущих фазовых координат — это игра с полной информацией в противоположном случае — игра с неполной информацией. [c.91]
Если рассматривать самолет как точку, движущуюся в пространстве, то это простой объект. В каждый данный момент можно определить его положение в пространстве допустим, широту, долготу и высоту над уровнем моря эти три величины в данном случае его фазовые координаты. Те или иные углы поворота рулей самолета, которыми определяется направление его полета, — управляющие параметры. Совокупность этих параметров (ограниченных определенной областью управления) называется собственно управлением, траектория полета — фазовой траекторией. Задача оптимального управления состоит в том, чтобы выбрать такие из названных величин, которые обеспечат наиболее быстрый прилет самолета на место (впрочем, могут быть и другие критерии, тогда решения задачи будут иными, напр. перелет с наименьшим расходом горючего). [c.185]
Задачи экономики, основанные на М.т.о.п., обычно сложнее технических задач. Это выражается хотя бы в том, что экономические процессы характеризуются не тремя, а огромным числом фазовых координат, многими управляющими параметрами. [c.185]
Константы oj , a , определяющие нижнюю и верхнюю границы для коэффициентов компенсации затрат, также находятся в ведении Центра и в данной постановке являются заданными. Задача оптимального управления (1.4.1)— (1.4.5) является билинейной по паре фазовые координаты zl — управления о/ , имеет сегментные ограничения (1.4.4) на управления и одно смешанное ограничение (1.4.5). [c.50]
Задача (1.5.12)— (1.5.16) весьма специфична. Заметим, что если ввести замену у = Z1 + Z2 +. . . + Zn и воспользоваться условием замкнутости (1.5.15), то для переменной у мы получим дифференциальное уравнение, не содержащее управлений иг. Ясно, что тогда прежней фазовой координате Z можно придать статус нового управления, по крайней мере, в том случае, когда отсутствуют ограничения (1.5.16) (либо когда найден их заменитель, не содержащий иг). [c.67]
В данной задаче одна фазовая координата у и п — 1 управлений wl(t) (г = 2,..., п) без ограничений на них. Это один из наиболее изученных классов задач оптимального управления, к которому применимы самые простые численные методы. [c.72]
Перейдем в уравнении (2.4.1) к фазовой координате s, где s — концентрация загрязняющей примеси [c.112]
В результате решения задачи наряду с оптимальными значениями компонент вектора управления определяется оптимальная траектория движения разности между спросом и предложением в период ( 0, Т). Если предположить, что правая часть дифференциальных уравнений не зависит от времени, а зависит только от текущих значений фазовых координат, то возникает задача синтеза оптимального оперативного управления, в результате которой определяются оптимальные стратегии управления и = = ф (х, х"). [c.87]
Рассматриваются системы, управляемое поведение которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями. Предполагается, что начальное состояние системы, закон ее движения, целевой функционал и ограничения на фазовые координаты зависят от случайных параметров. Предварительное решение об управлении системой должно быть принято до наблюдения реализаций случайных параметров условий задачи. Невязки в ограничениях задачи, выявляющиеся после выбора предварительного решения, компенсируются коррекциями. [c.164]
Например, при решении задачи преследования двух объектов Ft одним объектом F0 (называя преследователя F0 собакой , а преследуемых FI, F2 — зайцами ) подобными параметрами можно считать фазовые координаты объекта ( собаки ) (положение координаты Х , направление 0j, скорость v, ресурс р) и фазовые координаты /ч. ( зайцев ) (положение координаты Хз, направление 8з и скорость з), которые поблочно расположены в заданном порядке. [c.101]
Компоненты х (t) называются фазовыми координатами управляемой системы, а n-мерное евклидово пространство Е точек х — ее фазовым пространством. Эволюция состояния управляемой системы во времени определяется системой обыкновенных дифференциальных уравнений [c.24]
Содержат 8-функции и оптимальные управления в решении задачи об остановке реактора ( 36) и в задаче оптимизации характеристик ядерного реактора ( 38). Их появление связано с применением искусственного приема функция и (t), являющаяся управлением в первичной постановке задачи, была превращена в фазовую координату, связанную с новым управлением v (t) уравнением du,jdt=v (t). [c.90]
Перейдем к вопросам сходимости в вычислительной схеме Н. Н. Моисеева. Основное осложнение связано с тем, что теперь в разностной задаче (7) точки х могут принимать лишь дискретные значения а ., принадлежащие сетке 5. Поэтому в принципе может оказаться, что ни для какой пары точек из соседних сеток я., ж +1 не удастся построить соединяющей их траектории (1) на малом интервале [tt, t +1]. В этом случае разностная задача просто не имеет решения. Чтобы избежать этой опасности, следует наложить определенные ограничения на /г-шаг сетки по фазовым координатам. Кроме того, нужно гарантировать разрешимость элементарной операции. Эти вопросы исследовались в работах [56], [37]. Разрешимость разностной задачи и сходимости численного решения к решению задачи (1)—(5) была доказана в предположении некоторых свойств непрерывности функции Беллмана решаемой задачи. Однако для практики вычислений более существенным является другое условие шаги сетки hr по r-й компоненте фазового пространства должны быть связаны с шагом сетки по времени т соотношением ftr=T1+P>-, где рг 1 — некоторые числа, зависящие от строения области достижимости за малое время т для системы (1). Напомним, что областью достижимости D (Z, t) называется совокупность правых концов траекторий системы x=f (х, и), х (0)=z при произвольных измеримых и (t), и ( ) U, О t т. В работе автора [93] те же вопросы были решены только с одним предположением h—0 (t2). При этом под элементарной операцией следует понимать решение следующей простой геометрической задачи, являющейся аппроксимацией дифференциальной на малом интервале времени. Для расширенной системы (1) (пополненной уравнением x°=f(x, u), х° (0)=0) строится в каждой точке х область x- -tf (х, U) (если / (х, U) не выпукла, следует заменить ее выпуклой оболочкой). Далее эта область расширяется присоединением всех сфер радиуса ft2 с центрами в ж+т/ (x1U), Полученную область в пространстве х°, х1,.. ., хп обозначим DT (х), а ее проекцию на гиперплоскость х1, а 2,. ... . ., х" — jD (х). Если шаги сеток А=ста, то при определенном соотношении между с и С можно утверждать, что для любой точки xlj 5" найдется хотя бы одна точка xj.+i 5 41 такая, что [c.125]
В качестве элемента и абстрактной постановки задачи (1) можно взять измеримую вектор-функцию и ( ), а множество 9 выделяется условиями u(t) U при всех t и F( [и (>) = 0, i= = 1, 2,.. ., т. При этом конкретные формулы, определяющие Ff через и ( ), содержат еще и фазовые координаты х (t), однозначно определяемые краевой задачей x=f Г (х) 0 . [c.141]
Принципиальное отличие этого функционала от функционала (1) уже обсуждалось в 4. Возможность с достаточной точностью аппроксимировать вариацию функционала (1) выражением (7) с небольшим числом k связана с гладкостью функции 8ж (f), являющейся решением дифференциального уравнения в вариациях следствием этого является и гладкость функции Фх [х (t)]bx (t), значения которой в окрестностях точек аппроксимации, грубо говоря, меняются при вариации управления в ту же сторону, в какую они меняются в точках аппроксимации. Поэтому, учитывая 8Ф при построении 8ц ( ) только в точках аппроксимации, мы в известной мере учитываем 8Ф всюду, где Ф [х (г)] тах Ф [х (t)], Для функционала (2) это уже не так, Ьи (f) — измеримая функция, ее значения в близких точках t, t" никак не связаны между собой, и аппроксимация типа (7) — неэффективна. Разумеется, она будет эффективна, если разместить по точке аппроксимации на каждом интервале счетной сетки (tn, tn+l), входящем в множество М. Однако в проводившихся автором расчетах число таких интервалов было 102, что уже приводит к задаче линейного программирования слишком тяжеловесной для того, чтобы решать ее на каждом шаге процесса построения минимизирующей последовательности управлений. Поэтому в расчетах использовался прием превращения компонент управления, явно входящих в функцию Ф [х, и], в фазовые координаты. Именно, полагаем [c.185]
Фазовое пространство 24 Фазовые координаты 24 [c.486]
Принцип максимума Понтрягина определяет математические условия, необходимые для того, чтобы управление оказалось оптимальным. Задачи экономики, основанные на математической теории оптимальных процессов, намного сложнее. Это выражается хотя бы в том, что экономические процессы характеризуются не тремя, а огромным числом фазовых координат, многими управляющими параметрами и т. д. [c.19]
Существует две основные группы факторов устойчивости 1) количественные 2) качественные. Действие количественных факторов устойчивости заключается в том, что количественный результат функционирования системы заранее превосходит значение соответствующей фазовой координаты цели, и поэтому есть некоторый запас прочности , такой, что даже если под воздействием параметров внешней среды значение фазовой координаты системы окажется меньше запланированного, все равно оно попадает в изображающую область цели. [c.36]
В качестве фазовых координат выбираются высота —у и проекции на плоскость горизонта — х и z соответственно, v — скорость аппарата, углы в и if/ задают направление вектора скорости в полярных координатах. Зависимостью силой тяжести от высоты пренебрегаем, зависимость плотности от высоты считаем линейной. В безразмерных координатах уравнения движения выглядят следующим образом [c.295]
После представления ЭЗР заданным набором показателей, устанавливается центр элементарного разбиения. Центр задает нормальное состояние выделенных показателей объекта, формируемых как стандартное состояние некоторой векторной свертки фазовых координат. [c.30]
Задача оптимального управления рассматривается при фиксированных начальных данных для фазовых координат. Вообще говоря, оптимальное управление может существовать при одних начальных данных и не существовать при других. В настоящей работе ставится вопрос о существовании оптимального управления при всех начальных данных и о необходимых и достаточных условиях оптимальности, если оптимальные управления существуют при всех начальных данных. [c.140]
Пусть x = (xlt...xn) - вектор фазовых координат, [c.279]
Рассмотрим нормальную систему вида (19.1), где ж — время, а 2/ъ у 2 з , У п — координаты точки n-мерного пространства. Это пространство будем называть фазовым пространством. В случае п = 1 фазовое пространство есть ось О ж при п = 2 — плоскость (ж, у) — фазовая плоскость. [c.405]
Хаотическая система анализируется в месте, которое называется фазовым пространством и состоит из одного измерения для каждого фактора, определяющего систему. Маятник является простым примером динамической системы с двумя факторами, которые определяют его движение (1) скорость и (2) положение. Вычерчивание кривой скорости или положения против времени привело бы к простой синусоидальной волне, или гармоническому осциллятору, поскольку положение и скорость поднимаются и падают по мере того, как маятник движется вперед и назад, поднимаясь и падая. Однако когда мы вычерчиваем кривую скорости против положения, мы удаляем время как измерение. Если нет трения, маятник будет качаться назад и вперед вечно, и его фазовая диаграмма будет представлять собой замкнутый круг. Однако если имеет место трение или затухание, то при каждом колебании маятника назад и вперед, он движется немного медленнее, и его амплитуда уменьшается, пока он, в конце концов, не останавливается. Соответствующая фазовая диаграмма будет постепенно снижаться до начала координат, где скорость и положение приходят к нулевому значению. [c.229]
Точечный аттрактор. В нелинейной динамике — аттрактор, сжимающий все орбиты в фазовом пространстве к одной точке, или вектору значений. В сущности, система, стремящаяся занять устойчивое положение при одной равновесной величине, будет иметь точечный аттрактор. Маятник, демпфированный трением, всегда остановится, так что его фазовое пространство всегда будет стягиваться в точку, где координата и скорость равны нулю. См. аттрактор , фазовое пространство . [c.290]
Обозреть данные нетрудно, если нам известны все переменные системы. Мы просто наносим их на координатную плоскость. Если переменных две, то одну из них принимаем за х, другую за у и вычерчиваем зависимость в декартовых координатах, т. е. наносим величину одной из них относительно значения другой в один и тот же момент времени. Это называется фазовым портретом системы — он вычерчивается в фазовом пространстве. Размерность фазового пространства зависит от количества переменных в системе. Если она включает в себя две или три переменных, можно наблюдать данные визуально. Если размерность системы больше трех, то это делается математическими методами. Последний метод сложнее, но тем не менее осуществим. [c.163]
Эти три вектора однозначно характеризуют состояние объекта, определяемое совокупностью выходных фазовых координат. Фазовыми координатами у процесса полимеризации пропилена являются i/i — концентрация выходящего изотактического полимера у.2 — концентрация инициатора в реакторе у3 — концентрация мономера в реакторе г/4 — температура в реакторе г/5 — температура хладоагента на выходе из рубашки реактора ув — выход полимера. [c.423]
Ситуация 5 описывается Значениями векторов собтМ-ния Xf=(xl0,. . ., хто) объекта (ЛПР), его ресурсами и значениями векторов состояния x-t= (xlt,. . ., xmt) объектов Fj в момент времени t, т. е. S=(x0, х, . .., хп, р). Ресурс р может учитываться как фазовая координата состояния объекта FO. . [c.91]
Здесь р- — пластовое давление в газоконденсатной области Рк — насыщенность пор жидким конденсатом ск — содержание конденсата в газовой фазе Y — отношение плотностей конденсата в жидкой и газовой фазе в нормальных условиях kr и kK — фазовые проницаемости для газа и конденсата ц,г, (АК, Л — вязкость газа, конденсата и воды соответственно SK — растворимость газа в конденсате ак — объемный коэффициент конденсата р — коэффициент температурной поправки z — коэффициент сжимаемости газа т — пористость среды р0, р3 и р — давления начальное пластовое, на забое скважины и в водяной области соответственно h — мощность k — проводимость в.одяной области р — коэффициент упругоемкости пласта ро — начальное давление в водяной области -yj. T, D, D2, Si, 52 — контуры границ скважин, газоводяного контакта, областей питания, разгрузки, тектонических нарушений и границ выклинивания пласта соответственно (хг, х2) — пространственные координаты. [c.54]
Таким образом, этот подход основан на предположении, что временной ряд имеет некоторую математическую структуру (которая, например, может быть следствием физической сути явления). Эта структура существует в так называемом фазовом пространстве, координаты которого — это независимые переменные, описывающие состояние динамической системы2. Поэтому первая задача, с которой придется столкнуться при моделировании — это подходящим образом определить фазовое пространство. Для этого нужно выбрать некоторые характеристики системы в качестве фазовых переменных. После этого уже можно ставить вопрос о предсказании или экстраполяции. Как правило, во временных рядах, полученных в результате измерений, в разной пропорции присутствуют случайные флуктуации и шум. Поэтому качество модели во многом определяется ее способностью аппроксимировать предполагаемую структуру данных, отделяя ее от шума. [c.54]
ТРАЕКТОРИЯ [traje tory] — кривая, которую описывает точка при своем движении относительно выбранной системы координат. В экономико-математические исследования этот термин вошел из а.пп ра.тг.математической теории оптимальных процессов вместе с понятиями фазового пространства, фазовых коорди- [c.365]
Простейшим типом является точечный аттрактор. Пример системы с точечным аттрактором — маятник, задемпфи-рованный трением. Когда маятнику сообщается первоначальная энергия, он начинает раскачиваться, но ввиду трения амплитуда его колебаний становится все меньше и меньше, пока маятник совсем не остановится. Переменными в такой системе выступают скорость и положение. Если одну или другую из этих переменных вычертить как временной ряд, то результирующая волнистая линия будет постепенно уменьшать свою амплитуду до нуля — кривая становится прямой линией. Маятник останавливается. Это показано на рис. 11.16. Если фазовый портрет этой системы вычертить в координатах поло-Жение — скорость, то мы получим спиральную кривую, кото-Р я оканчивается в начале координат, когда маятник остана-вливается (см. рис. 11.1а). Если сообщить маятнику большую Начальную энергию, временной ряд и фазовый портрет системы будут обладать большей начальной амплитудой, но тем 116 менее временной ряд придет к нулевому значению, а фазо-портрет — в начало координат. Можно сказать, что в этом [c.163]
Полученные в ходе фазового обзора II многочисленные предложения относительно внесения тех или иных изменений в соглашение о требованиях дают возможность взвесить достоинства и недостатки проекта.. Оценку удобно производить по трем переменным техническим характеристикам, календарным срокам и стоимости. Поэтому качество проекта полезна представить в трехмерном пространстве, где каждая из трех переменных откладывается вдоль ортогональных осей координат (рис. 7.5). Поскольку время и стоимость связаны простыми линейными зависимостями, их нетрудно отложить на соответствующих осях. Чтобы завершить картину, представим себе, что совокупность технических характеристик изделия можно измерить некоторой величиной, которая откладывается вдоль некоторой линейной шкалы. Теперь соглашение о требованиях можно представить в виде прямоугольного параллелепипеда с размерами, указывающими время, стоимость и совокупную оценку технических параметров, которые были заданы в соглашении о требованиях. Ко времени передачи последнего на утверждение внутри этого пространства характеристик проекта целесообразно выделить некоторый диапазон изменения переменных фактически это соответствует созданию небольшого запаса финансовых ресурсов, времени и свободы выбора параметров прог-раммнвго изделия. В результате появится возможность осуществлять модификации внутри пространства характеристики проекта [c.104]
Смотреть страницы где упоминается термин Фазовые координаты
: [c.156] [c.374] [c.493] [c.69] [c.141] [c.330] [c.19] [c.153] [c.41] [c.280] [c.290] [c.42] [c.405] [c.165] [c.180] [c.185]Смотреть главы в:
Популярный экономико-математический словарь -> Фазовые координаты
Приближенное решение задач оптимального управления (1978) -- [ c.24 ]
Популярный экономико-математический словарь (1973) -- [ c.19 ]