Далее, из этого множества узлов М выбиралось k точек аппроксимации tl, tz,. . ., t" и полагалось [c.181]
Теорема будет доказана, если (11) верно в точке t. На расстоянии, не большем (t" — t )jk, находится ближайшая к t точка аппроксимации из совокупности i-7- v =i обозначим ее tf. В соответствии с (9) [c.183]
Из этой теоремы следует, что мы располагаем двумя ресурсами, обеспечивающими необходимую точность выполнения фазового ограничения это число точек аппроксимации k и ограничение вариации управления s. Из (11) как будто следует, что можно вместо k и s взять k =l и s =s/k, и это обеспечит ту же точность. Это не так. Дело в том, что в условии теоремы неявно использовано еще одно важное предположение считается, что на каждой [c.183]
Принципиальное отличие этого функционала от функционала (1) уже обсуждалось в 4. Возможность с достаточной точностью аппроксимировать вариацию функционала (1) выражением (7) с небольшим числом k связана с гладкостью функции 8ж (f), являющейся решением дифференциального уравнения в вариациях следствием этого является и гладкость функции Фх [х (t)]bx (t), значения которой в окрестностях точек аппроксимации, грубо говоря, меняются при вариации управления в ту же сторону, в какую они меняются в точках аппроксимации. Поэтому, учитывая 8Ф при построении 8ц ( ) только в точках аппроксимации, мы в известной мере учитываем 8Ф всюду, где Ф [х (г)] тах Ф [х (t)], Для функционала (2) это уже не так, Ьи (f) — измеримая функция, ее значения в близких точках t, t" никак не связаны между собой, и аппроксимация типа (7) — неэффективна. Разумеется, она будет эффективна, если разместить по точке аппроксимации на каждом интервале счетной сетки (tn, tn+l), входящем в множество М. Однако в проводившихся автором расчетах число таких интервалов было 102, что уже приводит к задаче линейного программирования слишком тяжеловесной для того, чтобы решать ее на каждом шаге процесса построения минимизирующей последовательности управлений. Поэтому в расчетах использовался прием превращения компонент управления, явно входящих в функцию Ф [х, и], в фазовые координаты. Именно, полагаем [c.185]
Простые геометрические ограничения и (t) U превращаются в ограничения в фазовом пространстве, т. е. в ограничения в терминах функционала типа (1) они учитываются так, как это было описано выше, что увеличивает размерность задачи линейного программирования (15, 19). Правда, соответствующие элементы h n матрицы этой задачи вычисляются просто А = ( я—tn ) левее соответствующей точки аппроксимации, / =0 — правее ее. В целом замена (15) оказывается оправданной и позволяет эффективно решать прикладные задачи с хорошей точностью. [c.185]
В настоящее время автор не имеет опыта решения задач с такими функционалами (имеются, конечно, в виду задачи, в которых mes M° сравнима с Т). Изложенное выше представляет собой некоторые предварительные соображения, но их реализация потребует дополнительных разработок. Это связано прежде всего с необходимостью создания алгоритма, использующего сравнительно небольшое число точек аппроксимации на М°. [c.187]
Однако величина а"1 настолько мала относительно характерных времен в данной задаче (а.Т 103—104), что ограничением (5) можно совсем не пользоваться и принять для и (t) модель произвольной ( измеримой ) функции. Если найденное при такой идеализации оптимальное решение и (t) окажется разрывным, а число разрывов будет невелико (именно так и окажется), то аппроксимация разрывных решений, даже обращающихся в нуль, функцией, удовлетворяющей условию (5), особых трудностей не представляет, а ошибка такой аппроксимации (относительно значения функционала F0) очень мала и заведомо меньше неточности самой модели (1). [c.296]
Трехкратное интегрирование сопряженной системы с начальными данными ф= 1 0 0 , заданными в точках аппроксимации 8F0 TJ, т8, t3 интегрирование ведется справа налево при [c.298]
Интегрирование сопряженной системы для точек аппроксимации т4, te (для S i), -св т (Для 8 г) и С8=21 (для SF3) с начальными данными ф ( — (О 0 1 времени фактически не занимает, так как [c.299]
Анализировался график функции Ф[ж( )], и на множестве M = f. Ф [х (t)] 0,9 max Ф [х ( )] размещалось К точек аппроксимации (разумеется, под множеством мы понимаем лишь конечное множество узлов сетки с шагом Д =0,01). [c.318]
Заслуживает пояснения алгоритм размещения точек аппроксимации. В задачах 1 и 2 использовался следующий простой способ выделялось множество узлов сетки М= t Ф [х (f) ] > 0,9 0), оно разбивалось на К примерно равных (по числу точек) частей, на каждой части находилась точка максимума Ф [х (t)] эта точка и становилась одной из К точек аппроксимации. Этот [c.320]
Поэтому был добавлен алгоритм расталкивания таких почти слипшихся точек аппроксимации. Здесь он не рассматривается, так как его нельзя считать вполне удовлетворительным. Рис. 48 иллюстрирует работу этого алгоритма при решении задачи 2 (К =8). На этом рисунке показаны части функции Ф [х (t)] на разных итерациях (от 10-й до 27-й). Для наглядности каждая Ф последующая кривая опущена на В 0,1, а масштаб взят таким, чтобы были заметны величины 0,01. Показаны и точки аппроксимации. Хорошо видны отмеченные выше 2 дефекты их размещения. Например, на 27-й итерации излишне сближены точки 2, 3, 4 и точки 5, б в то же время образовались пустоты между 1-й и 2-й точками, между 6-й и 7-й. Эти дефекты хорошо заметны на глаз [c.321]
В качество второй точки аппроксимации ta бралась точка максимума Ф [х (t) на оставшемся после исключения окрестности tj множестве узлов Mt, затем из Mt исключалась еще и окрестность Т2 И Т. Д. [c.326]
Число точек аппроксимации К регулировалось следующим образом пока решается терминальная задача, К=1. Затем, пока значение F0 в процессе итераций понижается, К остается неизменным. Как только встретится ситуация, когда на очередном шаге вместо уменьшения F0 его величина возрастает, К увеличивается на 1. Если К уже достигло предельного заданного значения, то вместо увеличения К уменьшается величина вариации управления. Однако в расчете, результаты которого приведены ниже, до этого дело не дошло, весь расчет проводится при 8ц (t) =i 0,016. [c.326]
Можно было бы использовать аппроксимацию (5), взяв в качестве точек аппроксимации t( все точки t , в которых достигается максимум в (3). Однако N=85, и число таких точек, как мы увидим из дальнейшего, в некоторых расчетах было бы — N. Такой способ решения задачи привел бы к непосильным расчетам ведь для вычисления SF0[Su ( )] по (5) в виде функционала только от компонент и(-) нужно было бы. используя стандартную технику исключения Ъх (т(.) через интегралы от 8ц (f), решать сопряженную систему I раз (I — число точек аппроксимации). Кроме того, определение вариации управления Вм ( ) было бы связано с решением задачи линейного программирования размером 3./VXZ, что при I — N — 100 было бы практически невозможно на той ЭВМ, которая использовалась в расчетах (примерно 50 000 операций в секунду, 4000 ячеек оперативной памяти). [c.331]
Общее число точек аппроксимации ограничений (7) было в расчетах равно 8. Они распределялись в зависимости от создавшейся в расчетах ситуации. Так, например, и (t) обычно не достигало значения Щ, и соответствующее условие в (7) игнорировалось. [c.331]
Разумеется, точки аппроксимации выбирались на каждой варьируемой траектории. В остальном решение вариационной задачи [c.364]
Задача содержит определенные трудности. Ведь искомая функция v (0, х) имеет два разрыва, в ее разложении в ряд Фурье коэффициенты убывают не очень быстро, и хорошее восстановление v (0, х) затруднено тем, что в г (Т, х) соответствующие гармоники уже теряются в ошибках 8. Замена искомой функции v (0, х) на и (х) имеет и положительные, и отрицательные следствия. Положительным является своеобразный эффект регуляризации так как мы ограничимся относительно небольшим числом вариаций функции и (х) на величины Su (я)К1 S, то получить очень уж негладкую функцию и (0, х) не удается. С другой стороны, эта замена затрудняет и получение разрывов в v (О, х) ведь это требует построения в и (х) каких-то аппроксимаций 8-функций. [c.365]
Первый расчет 5=0,25, =5, PF=3,2, 8=0,015, q (x) = i. В качестве исходной функции бралась функция, равная 2 при О <1 х <С 0,5 и —2 при"0,5 < х < 1. В этом расчете первые"23 итерации составляет решение терминальной задачи находится функция и (х), удовлетворяющая всем условия задачи. Затем начинается эволюция и (х) с целью минимизации F0 [и ( )]. Сама по себе величина F0 нас не интересует, поэтому соответствующие данные не приводятся. Найденная в конце расчета функция v (0 х) показана на рис. 62 (/). Заметим, что попытка проведения первого расчета с К—3 оказалась неудачной — трех точек аппроксимации недостаточно для того, чтобы обеспечить условие max г (Г, ж)—н>(а ) < 8. [c.365]
Оно аппроксимировалось всего двумя точками, т. е. вместо (9) в расчетах было два условия v (0, х ) 0, v (О, х") 0 точки аппроксимации х, х" выбирались в местах наибольшего нарушения (9). Точность выполнения (9) была не очень высокой, но этого было достаточно. [c.366]
Анализ полученной формы связи по той же причине, что и в первом случае, позволяет сделать вывод о непригодности и этой модели. Коэффициент множественной корреляции хотя и имеет более высокое значение, чем в линейной зависимости (0,93), но по величине средней ошибки аппроксимации (б = 12,4%) это уравнение регрессии подлежит исключению из дальнейшего перебора. [c.29]
Следует отметить, что при всей своей очевидной сложности, вычисление IRR по вышеописанной методике дает лишь приблизительные результаты это связано с тем, что в расчетах взаимосвязь NPV и ставки дисконтирования полагается линейной, в то время как в действительности она таковой не является (как показано на рис. 10.1). Более того, погрешность в данном случае зависит и от разницы выбранных процентных ставок чем она больше, тем менее точной будет наша оценка IRR. Это продемонстрировано на рис. 10.2 линия АВ представляет собой линейную аппроксимацию взаимосвязи NPV и ставки дисконтирования, основанную на значениях ставки 15 и 25 %, а линия АС — линейную аппроксимацию той же взаимосвязи, при значениях ставки 15 и 50 %. Как видно из рис. 10.2, разрыв между двумя ставками увеличивается, и оценка IRR сдвигается вправо (т.е. увеличивается). [c.458]
Многогранники, аппроксимирующие производственные возможности нефтеперерабатывающих предприятий, строятся путем форсирования цен на отдельные нефтепродукты. В этой связи необходимо отметить, что структура цен, учитываемых в целевой функции, существенным образом влияет на выбор исходной и последующих точек аппроксимации, и это обстоятельство должно быть тщательно учтено при оценке параметров аппроксимационных моделей [1,5]. [c.21]
В [39] потенциальная возможность появления скользящего режима связана с несколько другой задачей. Например, можно взять уравнения задачи о вертикальном подъеме ракеты ( 28, 29), заменив во втором уравнении выражение для тяги Fit (и — секундный расход топлива) на V (и), где V (и)— нелинейная функция. При V" (и) > 0 возможен скользящий режим, в котором короткие отрезки времени с максимальным технически возможным расходом и перемежаются интервалами с м=0 (чем короче и чаще импульсы, тем ближе режим к оптимальному). При других формах V (и) скользящих режимов нет. Остается не ясным, какие F (и) соответствуют реальным двигателям, и реализованы ли технически какие-то аппроксимации скользящего режима, если он появляется в математическойтмодели. [c.96]
Пусть вариации Su
Наконец, был использован не самый удачный способ размещения точек аппроксимации на множествах М0, Aflt M2, а именно в качестве точек т1, т2, т3 выбирались узлы сетки tn для управления, в которых значения х1 (tn) больше, чем во всех остальных. Тем не менее задачи решались надежно, с хорошей точностью и за вполне разумное машинное время. С учетом накопленного с тех пор опыта можно было бы сократить число итераций. Обсудим целесообразность замены управления u=v, которая, как отмечалось, существенно усложнила форму задачи. Когда автор начинал эту работу, не имея еще опыта решения подобных задач, замена была произведена с тем, чтобы иметь дело с более гладкими функциями Ы( )—Ьх3( ), удовлетворяющими уравнению o 3=ot [c.301]
Результаты и здесь позволили предположить структуру (12)1гоч ного решения и найти его итерациями (13)). Видно, что есть участки заметного отклонения приближенного м2 (О от точного. При вычислении вариации управления 8и2 (О мы имеем два ресурса понижения F0 истинный ресурс, связанный с отличием w2 (t) от точного, и ложный, связанный с неточностью аппроксимаций (5) и позволяющий понижать значения Ф [t] в точках аппроксимации t1, t2, Ts за счет повышения значений в других точках, где Ф /] [c.336]
Для сравнения в табл. 4 подробно показан начальный этап решения той же задачи методом проекции градиента. Приведены следующие величины v — номер итерации, предсказанное значение х1 (Т), F т F" — значения Ф [х ( )] в двух точках локальных максимумов, среднее значение и( ) и К — число точек аппроксимации в формуле (35). Стоит отметить, что механизм постепенного увеличения К сработал с небольшим опозданием уже на 6-й итерации Ф [х (t) стала двугорбой , и следовало увеличить К с 1 до 2. Таким образом, терминальная задача была довольно легко решена, и уже с 9-й итерации начался процесс минимизации. [c.345]
В двухкритериальной задаче гиперболическая кривая (рис. 3.1), проходящая через точки аппроксимации у4 к7, 2 и у4"к7, 2К с вершиной [c.120]
Параметры моделей и выбор формы связи, определяющие уровень затрат в зависимости от значений отобранных факторов, вычисляются по методике, изложенной в работе [51]. Затем исследуется характер изменения случайных отклонений (ошибки аппроксимации) по каждому НГДУ отдельно. Если обнаружится определенная закономерность их изменений, то вычисляется функция их изменения во времени, и далее плановый [c.68]