| Рис.7. График штрафной функции |  |
В частности, в форме (9.82) могут быть записаны преобразования задачи с применением штрафных функций [c.336]
Определение. Функцию Ф(А,а ) называют штрафной функцией множества D V, если Ф определена и неотрицательна на У, равна нулю для х Е > и стремится к бесконечности при А — > ос для любого х ( D. [c.336]
Иногда используют комбинацию штрафной функции с исчезающими слагаемыми другого вида. Например, [c.336]
Расширение с использованием штрафных функций. Расширение для задачи нелинейного программирования образуется с использованием штрафной функции Ф(а,а ) множества допустимых решений этой задачи как [c.351]
Пусть последовательность х (а) имеет при а — > ос предельную точку множество, определяемое условиями /(а ) < с,(р(х) > —с, ограничено при некотором с > 0 функции /о, /а, tpv определены и непрерывны в RN, а /о ограничена сверху функция Ф(а,х) является штрафной функцией множества D в смысле данного выше определения и для любого а непрерывно и монотонно зависит от /а- и (pv. [c.351]
Остановимся подробнее на некоторых видах штрафных функций для задачи с условиями в форме равенств. [c.352]
В [277] предлагается метод стохастической аппроксимации точки, определяющей минимум функции регрессии f(x) на множестве -G — = х g(x) .Q]. Здесь схема стохастической аппроксимации сочетается с методом штрафных функций.. [c.357]
Метод штрафных функций позволяет любую самую общую задачу оптимального управления свести (приближенно, но с любой необходимой степенью точности) и к простейшей неклассической, и к задаче классического типа, и, наконец, к задаче, в которой нет ни условий типа Ft [и ( )]=(), ни геометрических ограничений u(t) U. Однако это достигается ценой введения в задачу больших параметров, что в свою очередь приводит к функционалу с соответственно малой областью точности линейного приближения. Минимизация подобных функционалов оказывается крайне сложной, а полученные результаты — не очень надежными. Этим мы здесь и ограничимся, так как методу штрафных функций посвящен отдельный параграф ( 50). [c.160]
Не нужно только последний случай трактовать слишком широко, сводя к нему с помощью штрафных функций самую общую задачу. Дело ведь не только в словесном оформлении задачи — [c.199]
В 18—23 были описаны методы построения минимизирующей последовательности управлений, использующие лишь первые производные входящих в задачу функционалов. Поэтому эти методы называют методами первого порядка. Давно было замечено, что при решении задач поиска минимума методом первого порядка сходимость оказывается очень медленной в окрестности точки минимума. Это и понятно ведь в этой окрестности, грубо говоря, первая производная минимизируемого функционала обращается в нуль, и приращение его при вариации аргумента (управления) определяется вторым членом разложения. Стремясь повысить скорость поиска и получить более точные результаты без существенного увеличения времени счета, естественно приходят к идее использования в вычислениях также вторых производных от функционалов задачи. Кроме того, с этим же связаны и надежды повысить эффективность поиска в условиях применения штрафных функций, когда сходимость методов первого порядка оказывается очень медленной даже сравнительно далеко от искомой точки минимума. Методы второго порядка разработаны не так подробно, как методы первого порядка, а опыт их фактического применения совсем невелик. Ниже будет описана общая схема метода второго порядка и рассмотрены возникающие при его реализации вычислительные проблемы. [c.201]
II. Задача (5) методом штрафных функций заменяется задачей на min Рл [в( ). Т], где ) [c.314]
Начальное приближение взято таким, что дополнительные условия грубо нарушены и первый этап (10—12 итераций) приводит к решению с относительно небольшим их нарушением. Оба метода на этом этапе показывают примерно одинаковую эффективность. Затем следует собственно оптимизация. В наших расчетах на 19-й итерации получено решение, сравнимое по величинам F и AL с решением, полученным методом штрафных функций на 150-й итерации, на 20-й итерации результат лучше, чем на 270-й, на 23—24-й — лучше, чем на 360-й в методе штрафных функций. [c.322]
Полученные результаты сравниваются с нашими расчетами в 37. Сравнение с решением той же задачи методом штрафных функций, также подробно комментируемым в 37, было бы более благоприятным, но не настолько, чтобы изменить отрицательное отношение к (2). [c.339]
Разумеется, эта упрощенная задача пе эквивалентна исходной, но лишь аппроксимирует ее с любой необходимой точностью. Здесь открывается соблазнительная возможность унифицированного подхода как при разработке алгоритмов, так и при создании набора стандартных программ. К сожалению, эта внешняя простота не дается даром. Сведение сложной задачи к простой (9) достигается за счет резкого ухудшения дифференциальных свойств F (х) по сравнению с дифференциальными свойствами функций исходной содержательной постановки задачи. Заметим, что под дифференциальными свойствами вычислитель должен понимать не столько словесные характеристики типа непрерывная функция , дифференцируемая , дважды дифференцируемая и т. д., сколько величины констант в характеристиках непрерывности, дифференцируемости. Поэтому тот факт, что методом штрафных функций можно свести общую задачу оптимизации к задаче (9) даже с бесконечно дифференцируемой F (х), не следует переоценивать. Рассмотрим характерную для упомянутой тенденции попытку решать задачу (9) с функцией [c.412]
БАРЬЕРНАЯ ФУНКЦИЯ [barrier fun tion] — вспомогательная функция, используемая при решении некоторых задач математического программирования. В задачах максимизации стремится к минус бесконечности (-оо ) при приближении к границе области допустимых значений изнутри. При переходе от задачи максимизации к задаче минимизации знак Б.ф. меняется на противоположный. См. также Штрафные функции. [c.29]
ШТРАФНЫЕ ФУНКЦИИ [penalty fun tions] — вспомогательные функции, применяемые при численном решении некоторых классов зз.дзяматематического программирования метод Ш.ф. основан на сведении задачи с ограничениями к задаче без ограничений. Напр., может быть построена Ш.ф., равная нулю в допустимой области и быстро возрастающая вне ее. После этого решается задача минимизации суммы Ш.ф. и целевой функции исходной задачи с помощью одного из известных вычислительных алгоритмов. [c.395]
В методе стохастических квазиградиентов предполагается, что допустимая область X позволяет осуществить операцию проектирования., К сожалению, существующие методы решения вспомогательной задачи далеко не во всех случаях оказываются конструктивными. Чтобы обойти возникающие при этом трудности, предлагается сочетать метод стохастических квазиградиентов с методом штрафных функций. При некоторых условиях удается доказать сходимость соответствующей рекуррентной процедуры к решению задачи (4.3). [c.360]
В [105] предлагается и обосновывается обобщение метода стохастических квазиградиентов, позволяющее применить методы штрафных, функций к вычислению априорных решающих правил задач вида [c.360]
В принципе здесь нет никаких проблем, и метод штрафных функций , предложенный впервые," видимо, Р. Курантом [38] именно в связи с решением вариационных задач еще в 1943 г., позволяет считать метод решения" задачи (1) универсальным. Работа [38]"породилачгмощный""литературный поток, связанный с доказательством и обобщением"теоремы о сходимости (при стремлении коэффициента штрафагк с ), с"различными формами штрафных функций (внешних, внутренних, комбинированных, использующих In, exp и другие функции). [c.110]
Формально метод штрафных функций решает все проблемы, однако при практической его реализации встретились серьезные трудности медленная сходимость, ненадежность и грубость результатов. Причины этих неприятностей были поняты, и сторонники метода сосредоточили свои усилия на решении соответствующих вопросов вычислительной технологии разработке надежных и эффективных методов поиска минимума для очень сложных, негладких, с оврагами и хребтами функций, методам подбора коэффициентов штрафа и тактике их изменения в процессе решения задачи. Эта работа продолжается, и в настоящее время ее перспективы еще не ясны. Идея метода штрафных функций имеет своих сторонников, которые надеются преодолеть технические сложности минимизации штрафного функционала. Одновременно начало развиваться и другое направление, в котором либо совсем не используют штрафных функций, либо стараются учесть методом штрафа как можно меньше условий. Разумеется, это потребовало определенного сужения класса задач. Легко были построены алгоритмы для задач, в которых имеется только ограничение и (t) U, а интегральных дополнительных условий (в частности, условий на х (Т)) нет. В этом случае после вычисления градиента w0 (t) образуется семейство и (s, t)=Pu [и (t) — Su>0 (t)], где Ри — оператор проектирования на U (в конечномерном пространстве). Далее S находится так же, как в простейшей задаче. Такие (или, в сущности, очень близкие) алгоритмы были предложены (под разными названиями) многими и применялись в расчетах (см., например, [43], [44]). [c.111]
С точки зрения вычислительной математики трудность задачи определяется не ее формой, а дифференциальными свойствами входящих в задачу функций. Поэтому не следует употреблять приемов, упрощающих внешнюю форму задачи ценой ухудшения свойств гладкости функций (штрафные функции, преобразование Валентайна и т. п.). Разумеется, это приводит к употреблению более сложных (формально) алгоритмов. [c.113]
Применимость его в неклассических задачах обеспечивается за счет штрафных функций, преобразования Валентайна и других приемов того же сорта (см., в частности, 39). Линейное программирование есть вычислительный аппарат для задач с неравенствами, а не метод решения только экономических задач. [c.113]
Искомыми переменными являются х, х, и /г, Tn /t. В [77] JV=12, и решение вариационной задачи свелось к дискретной задаче с 48 перемерными, с 24 условиями-равенствами (28) и 36-ю условиями-неравенствами (29). Это — изученная задача, для ее решения разработано большое число алгоритмов, включенных в систему математического обеспечения современных ЭВМ. Остается воспользоваться такой программой. Именно так и решается задача в [77], причем используется программа безусловной минимизации с помощью штрафных функций задача сводится к минимизации одной функции от 48 переменных. Минимум ищется каким-то вариантом спуска по градиенту (в других местах [77] упоминается обобщенный метод Ньютона, в котором используется матрица вторых производных минимизируемой функции). За 8 минут работы IBM-7094 было получено решение, представленное заимствованной из [77] (стр. 150) табл. 3. [c.310]
К сожалению, предложения подобного рода намного опережают опыт их фактического использования. Во всяком случае, автору неизвестны публикации, в которых сообщалось бы об использовании аппроксимации (2), и о том, что из этого вышло. Но очевидно, что аппроксимация (2) обладает дефектом, характерным для многих подобных конструкций, содержащих большой параметр (для метода штрафных функций, например) при малых р аппроксимация неточна, при больших р она точна, но функционал F(p [и ( )] плохо линеаризуется это означает, что формула [c.338]