Равенство получено из уравнения Эйлера в цилиндрических координатах для сплошной среды без учета сил трения. [c.174]
Пусть решению С задачи Л° соответствует набор функций веса Р°М0,ъ). Уравнения Эйлера — необходимые условия, которым удовлетворяют функции . , [определяющие решение задачи А°, — имеют вид [c.329]
Об однородных производственных функциях и об уравнении Эйлера см. Математическое приложение VII [c.182]
Линейно однородная функция удовлетворяет уравнению Эйлера [c.182]
Однородная функция степени а удовлетворяет уравнению Эйлера [c.608]
Разделив обе части уравнения Эйлера на f, получим [c.608]
К этому же утверждению приводит допущение о том, что производственная функция является однородной функцией первой степени, или линейно однородной, и потому удовлетворяет уравнению Эйлера [c.645]
Об однородных производственных функциях и об уравнении Эйлера см. вып. 8 ЭШ , Математическое приложение Математика производственных функций [c.202]
Приравнивая правую часть (4) нулю, получаем необходимое условие, которому должна удовлетворять искомая функция х (t), — известное уравнение Эйлера [c.22]
Анализ второй вариации функционала. Он позволяет более или менее эффективно выяснить, является ли исследуемое решение уравнения (5) точкой минимума F [х ( )] (локального, разумеется), или оно является стационарной точкой другого типа. Во многих прикладных задачах такие вопросы решаются установлением единственности решения уравнения Эйлера и ограниченности функционала снизу. [c.22]
В монографии Янга специально подчеркивается опасность использования наивного вариационного исчисления (уравнения Эйлера и предположения о том, что решение задачи существует и является достаточно простой, гладкой функцией) В действительности, как мы увидим,. . . метод Эйлера имеет самые серьезные недостатки как в теории, так и на практике ([101], стр. 23). Но не следует забывать, что метод Эйлера самым активным образом используется физиками, механиками и инженерами (как в теории, так и на практике) вот уже около двухсот лет в задачах не специально сконструированных изобретательным математиком, а естественно возникших в приложениях. И не так-то просто в этой огромной практике найти пример, когда бы этот наивный подход привел к серьезной ошибке, причем такой, исправление которой было бы возможно лишь с использованием тонких обобщений, рассматриваемых в [101]. Во всяком случае, в [101] таких примеров нет, хотя эта книга изобилует беллетризованными иллюстрациями теоретических ситуаций, примерами из жизни . Этим примерам самым существенным образом не хватает реальной основы, т. е. настоящей, четко поставленной вариационной задачи, свя] занной с описываемой жизненной ситуацией, причем такой задачи, в которой эйлеров подход привел бы к серьезному просчету, а скрытое решение (это примерно то же самое, что и скользящий режим) давало бы правильный ответ. Без таких задач многочисленные примеры из практики в [101 ] выглядят не очень убедительно. [c.94]
Выбор начального приближения. Модификация метода Ньютона не снимает проблемы подбора достаточно хорошего начального приближения, хотя и заметно ослабляет остроту этого вопроса. Опыт показал, что использование каких-либо содержательных соображений в целях нахождения хорошего начального приближения 1° крайне затруднительно даже в тех задачах, где подбор разумного приближения в терминах управляющей функции и (t) сравнительно прост. Пожалуй, единственным выходом является решение задачи каким-либо иным методом, достаточно надежно дающим относительно грубое приближенное решение. Такие приближенные методы в настоящее время разработаны, отличительной их чертой является то. что они дают хорошее приближение к искомому решению с точки зрения фазовой траектории х (t) и значений функционалов задачи Ff [и ( )], однако обычно довольно грубое с точки зрения управляющей функции и (t). Фигурирующий в принципе максимума вектор g тоже, как правило, получается с хорошей точностью. Создание приближенного метода решения задач оптимального управления, соединяющего надежность и эффективность с хорошей точностью по всем компонентам задачи возможно, видимо, лишь комбинированием методов грубого поиска минимума с последующим уточнением точного вида решения, основанным на использовании характеризующих его уравнений типа принципа максимума или уравнения Эйлера. [c.120]
Эта структура содержит два параметра ix, t2, для функции и (t) можно написать некоторое уравнение (аналог уравнения Эйлера), допускающее численное интегрирование tlt tz подбираются из условия х2 (Т1) =0,2 и условия шах х2 (Т) или из соответствующего условия трансверсальности. Мы используем эту задачу в качестве теста и" проиллюстрируем характерные трудности, возникающие при решении нелинейных П-систем. [c.234]
Оказывается, что закон сохранения энергии будет иметь место для действительной траектории в силу уравнений Эйлера функционала (2.18). Известным преимуществом такой модификации принципа наименьшего действия является возможность считать момент времени /, заданным и не варьируемым, а также отсутствие ограничения на допустимые траектории (2.2). [c.23]
Для выяснения смысла ограничения (1.6) выпишем уравнения Эйлера функционала (1.2), (1.3), предполагая функцию и(х) дважды непрерывно [c.75]
Из уравнений Эйлера исходной вариационной задачи [c.112]
В силу уравнений Эйлера вариационной задачи (4.6) [c.116]
Рассмотрим уравнение Эйлера функционала [c.140]
Уравнения для определения а и в есть, очевидно, уравнения Эйлера функционала (5.28) [c.141]
Из изложенного следует важный вывод в вариационных стохастических задачах уравнения для вероятностных характеристик искомого поля всегда имеют вариационную структуру, т.е. представляют уравнения Эйлера некоторого функционала. [c.145]
Решение минимаксной задачи (1.18) есть стационарная точка функционала I(p, w) на множестве всех р 7 и w, удовлетворяющих условию (1.2). Уравнения Эйлера функционала I(p, w), очевидно, эквивалентны уравнениям теории упругости. [c.151]
Найдем уравнения Эйлера функционала (5.40) другим способом, освобождаясь от, ограничений при помощи множителей Лагранжа. Обозначая через (р к рфа множители Лагранжа для ограничений (5.29) и (5.34), придем к функционалу [c.206]
Этот функционал надо варьировать при ограничениях (5.35), (5.36), (5.38) и (5.39). Ограничение (5.37) несущественно в том смысле, что оставляет достаточный произвол для вывода уравнений Эйлера. [c.207]
Равенство нулю объемного интеграла приводит к уравнениям Эйлера— Лагранжа [c.214]
Эта задача приводит к тем же уравнениям Эйлера. [c.237]
Уравнения Эйлера функционала действия, как легко проверить, переходят в уравнения движения свободного абсолютно твердого тела с эффективными характеристиками Lab, Rab, Jab [c.244]
Определенная трудность связана с тем, что систему уравнений можно преобразовывать (например, умножать на ненулевые функции от х, и", дик/дх или делать замены искомых функций). В результате система уравнений может потерять (или приобрести) свойство быть системой уравнений Эйлера. [c.255]
А как же решается проблема исчерпаемости для фирмы Подход, который был использован применительно к экономике в целом, для фирмы не подходит объем выпуска фирмы в общем случае не пропорционален затратам ресурсов. Но при определенных условиях предельные продукты факторов и их общий продукт связаны соотношением, аналогичным уравнению Эйлера. Эти условия выполняются, если и рынок продукта фирмы, и рынки, на которых она покупает факторы, находятся в состоянии конкурентного равновесия длительного периода. Более строгая формулировка и доказательство приведенного утверждения даются в Математическом приложении XIII. [c.182]
Метод локальных вар наций и релаксационный метод. В [86 ] метод локальных вариаций был распространен на задачи минимизации функционалов от функций нескольких независимых переменных. Хорошо известно, что многие задачи математической физики (краевые задачи для уравнения Лапласа, для бигармонического уравнения и другие) могут быть сформулированы либо как задачи на минимум соответствующего функционала, либо как задачи с уравнениями в частных производных (эти уравнения — суть уравнения Эйлера для вариационной формулировки). Применительно к таким задачам метод локальных вариаций состоит из двух элементов. [c.134]
Расчеты V—VIII контролировались проверкой необходимого условия оптимальности в конце этих расчетов норма градиента была в sf lO8 раз меньше, чем в начале. В расчетах I—IV она почти не менялась. Таким образом, найденные траектории с хорошей точностью удовлетворяют уравнению Эйлера (принципу максимума). [c.223]
Напрашивающаяся аппроксимация очевидного точного решения кусочно линейной функцией с значениями х0=х1=.. . == =Ztf i=0, Xjv=l — неоптимальна. Оптимальная функция определяется решением разностного уравнения (аналог уравнения Эйлера) ) [c.292]
Схема построения двойственных вариационных задач. Давно было замечено, что одна и та же система уравнений может быть системой уравнений Эйлера для разных функционалов. Например, уравнения аналитической механики систем с конечным числом степеней свободы могут быть получены из двух различных вариационных принципов принципа Гамиль-тона-Остроградского и принципа Гамильтона-Пуанкаре. В других разделах механики также предлагались различные вариационные принципы для одних и тех же систем уравнений принцип Дирихле и принцип Томсона в механике идеальной несжимаемой жидкости и в электростатике, принцип Лагранжа, принцип Кастильяно и принцип Рейсснера в теории упругости, принцип максимума Понтрягина в вариационных задачах с ограничениями и т.п. На протяжении последних двух десятилетий было осознано, что в основе построения всех таких принципов лежит одна простая общая идея -идея двойственности. Ее изложению посвящен настоящий параграф. [c.90]
Его уравнение Эйлера для функции р(0)имеет вид а + а 1 = 2Х. а = р /V J + р2 Следовательно, р = onst, и-стационарное значение достигается на круговом конусе с высотой h и площадью основания П. Стационарная точка - единственная, так как круговой конус однозначно определяется по Л и I П . Остается показать, что это точка минимума. Дадим р приращение ер (в) и вычислим изменение площади с точностью до f3 [c.121]
Вариационный принцип следует из двойственного вариационного принципа Бейтмена, так как при отбрасывании ограничения на (х, t) на одном из временных торцов из уравнений Эйлера для функции /J вытекает, чтоа=0. Этот вариационный принцип можно получить также непосредственно из принципа Кельвина по общей схеме построения двойственных вариационных принципов, изложенной в 3 гл. II. [c.211]
Регуляризация функционалов в неограниченных областях. Течения в неограниченных областях, как правило, имеют расходящийся функционал энергии. Для придания смысла вариационным принципам требуется видоизменить (регуляризовать) функционал энергии, не нарушив при этом уравнений Эйлера. Опишем на плоских задачах метод регуляризации, предложенный Шифманом [390]. [c.236]
Если функционал (11.4) голономен на множестве непрерывных дважды дифференцируемых функций, выделяемом условиями (1 1. 3), то уравнения (1 1. 2) есть уравнения Эйлера. [c.255]
Пусть функции р(х) и q(x) не удовлетворяют (11.5). Тогда функционал (11.4) неголономен, и уравнения (11.2) не могут быть уравнениями Эйлера функционала вида [c.255]
Смотреть страницы где упоминается термин Уравнение Эйлера
: [c.763] [c.270] [c.22] [c.13] [c.26] [c.141] [c.142] [c.255]Приближенное решение задач оптимального управления (1978) -- [ c.22 ]