Решение разностных уравнений [c.418]
Решение разностного уравнения первого порядка. [c.418]
Пусть yt — частное решение неоднородного уравнения (20.3). Тогда общее решение разностного уравнения (20.3) есть функция [c.418]
Найдем частное решение разностного уравнения (20.3), если /( ) = с, где с — некоторая постоянная. [c.418]
Следовательно, общее решение разностного уравнения [c.419]
Решение разностного уравнения второго порядка. Рассмотрим неоднородное разностное уравнение второго порядка [c.419]
V Пример 2. Найти решение разностного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами [c.420]
Решение разностных уравнений 421 [c.421]
Общее решение разностного уравнения имеет вид [c.445]
Запишите решение разностного уравнения xt = дсм + (, , - хе) и поясните его поведение при разных значениях коэффициента k. Может ли решение этого уравнения, и если да, то в каком случае, "перескакивать" состояние равновесия . [c.215]
Таким образом, найдено решение разностного уравнения (4.3.6) [c.167]
Математический аппарат для решения задач с дискретным и непрерывным временем различен. Для описания процессов развития в первом случае применяются разностные уравнения, во втором случае — дифференциальные уравнения. [c.54]
Среди важнейших классов задач И.о. можно назвать задачи управления запасами, распределения ресурсов и задачи назначения (распределительные задачи), задачи массового обслуживания, задачи замены оборудования, упорядочения и согласования (в том числе теории расписаний), состязательные (напр., игры), задачи поиска и др. Среди применяемых методов —математическое программирование (линейное, нелинейное и т.п.), дифференциальные и разностные уравнения, методы теории графов, марковские процессы, теория игр, теория (статистических) решений, теория распознавания образов и ряд других. [c.136]
При численном решении дифференциальных уравнений их часто заменяют разностными. Это возможно, если решение Р.у. стремится к решению соответствующего дифференциального уравнения, когда интервал Д стремится к нулю. [c.299]
Теорема 1. Если однородное разностное уравнение (20.2) имеет решения yi(t) и yi(t , то решением будет также функция [c.417]
Теорема 2. Если y(i] — частное решение неоднородного разностного уравнения (20.1) и y(t, i, 2, , Сп) — общее решение однородного уравнения (20.2), то общим решением неоднородного уравнения (20.1) будет функция [c.417]
Эта система может быть решена сведением к разностному уравнению n-го порядка по аналогии с решением системы дифференциальных уравнений. [c.417]
Это однородное разностное уравнение первого порядка. Его решение [c.419]
Решение. Характеристическое уравнение для соответствующего однородного разностного уравнения таково [c.420]
Корни уравнения k = 2, k2 = 3 действительны и различны. Следовательно, общее решение однородного разностного уравнения есть функция [c.420]
Все рекуррентные схемы стохастической аппроксимации, обсужденные в предыдущих параграфах, можно рассматривать как разностные уравнения. Эти процедуры хорошо приспособлены к решению задач аппроксимации на цифровых вычислительных машинах. При работе на аналоговых и гибридных вычислительных машинах более естественными являются непрерывные варианты процедур стохастической аппроксимации, которым соответствуют дифференциальные уравнения. [c.376]
Дискретный принцип максимума получается почти по такой же схеме, но вместо дифференциальных уравнений в выкладках участвуют их разностные аппроксимации. И вот здесь появляется упомянутое реальное следствие дискретной теории разностное уравнение для сопряженного уравнения является следствием того или иного выбора аппроксимаций для прямого уравнения и для интеграла в тождестве Лагранжа. Разностная аппроксимация уравнения в вариациях также однозначно определяется выбором аппроксимации исходного уравнения, но это не так важно, так как в вычислительных методах обычно это уравнение не интегрируется. Эту аппроксимацию сопряженного уравнения "мы будем называть согласованной с аппроксимациями исходного уравнения и интеграла в том смысле, что для конечно-разностных решений Sz и ф, полученных по согласованным аппроксимациям соответствующих уравнений, алгебраически точно выполняется тождество Лагранжа (тоже в соответствующей аппроксимации). Это и есть то единственное практическое следствие, которое автор смог извлечь из теории дискретного принципа максимума и которого в своих вычислениях никогда не использовал ни в явной, ни в неявной формах. Автор всегда выбирал для исходного и сопряженного уравнений независимые аппроксимации, причем сопряженное обычно интегрировалось более грубо, с большим шагом по времени. Дело в том, что использование согласованной > аппроксимации связано с определенными техническими неудобствами, необходимость преодоления которых не очевидна. Во всяком случае, автору неизвестны трудности численного решения задач оптимального управления, которые можно было бы преодолеть, используя согласованную аппроксимацию. Чтобы и здесь быть более конкретным, можно все же указать на некоторое следствие использования согласованной аппроксимации. Речь идет о получении минимума функционала с большим числом знаков. Используя для вычисления функциональной производной функцию < >, найденную по произвольной аппроксимации сопряженного уравнения, мы, разумеется, находим не точную производную, а лишь приближенную, искаженную влиянием ошибок аппроксимации. Поэтому получить минимум с очень большой точностью не удастся начиная с некоторого этапа минимизации (например, методом градиента в функциональном пространстве) мы будем в этом случав [c.54]
F a. Пусть, напротив, существует последовательность а >. . . - 0, для которой решения разностных задач с шагом тй дают значения функционалов F0 ik < F u — а, а ]> 0. Каждую сеточную траекторию дополним До непрерывной функции я (t) линейной интерполяцией. Тогда функции х( с) (t) удовлетворяют условиям ж( ) (t) G, xlk> (T)=X1 с точностью до О (tft) и образуют компактное в С семейство. В этом случае существует предельная функция х (t), почти всюду удовлетворяющая дифференциальному уравнению (2), удовлетворяющая условиям (3)— (5) и доставляющая функционалу (1) значение, не большее F — а, что противоречит предположению минимальности Fg. Таким об- [c.124]
Задача (2) является хорошо изученной задачей математического программирования, для ее решения разработаны эффективные методы , многие из которых оформлены в виде стандартных программ современного математического обеспечения ЭВМ. Остается только воспользоваться ими. Именно так и поступают авторы работ [75], [76] и получают решения нескольких задач четыре из них представлены в [77] таблицами, позволяющими оценить результат. Разумеется, эти данные призваны убедить читателя в эффективности такого подхода. Если бы этим дело исчерпывалось, автору не следовало бы писать эту книгу, а утверждение о том, что занятие вычислительной математикой требует фантазии и теоретической подготовки, было бы явным преувеличением. В самом деле, составление уравнений (2) требует самых примитивных знаний, да и тот метод решения задачи (2), который был использован в [75] (мы еще вернемся к его обсуждению), тоже основан на не очень глубоких идеях. В конце концов важно знать, что такой метод есть, есть соответствующая стандартная программа, и нужно уметь ею воспользоваться. Обратимся, однако, к результатам. В [77] (стр. 211 — 214) рассматривается система с разностными уравнениями [c.212]
Решение задачи методом локальных вариаций описано в [41 ] (это же решение воспроизведено в монографии [86]). Численное решение задачи описывалось сеточными функциями xln (п= =0, 1,.. ., N), м,н /2, связанными конечно-разностными уравнениями (второго порядка точности) [c.276]
Дело в том, что экономическая система после внешнего толчка в виде автономных расходов может испытывать колебания, но возможны и монотонные ее изменения. Разнообразные сочетания МРС и v в более продвинутых курсах макроэкономики связаны с решением конечно-разностного уравнения (4) и рассмотрением дискриминанта D D = (МРС + v)2- 4v. Если D > 0, то величина У изменяется монотонно, в случае, когда D < 0, величина У изменяется колебательно. [c.428]
С разностными уравнениями такого типа мы уже имели дело в гл. II (см. формулу (11) в 1а), где их решения записывались с помощью стохастической экспоненты [c.225]
Соотношение (4.3.1) с математической точки зрения является линейным разностным уравнением, для решения которого может быть, в частности, применено 2-преобразование. Аппарат интегральных и дискретных преобразований основан на связывании однозначной функции комплексной переменной (изображения) с соответствующей функцией действительной переменной (оригиналом). Для многих практически значимых ситуаций это позволяет операции над оригиналами заменить более простыми операциями над изображениями, что широко используется при решении дифференциальных и интегральных уравнений (интегральные преобразования) и в теории импульсных систем (дискретное преобразование Лапласа, г-преобразование). [c.165]
Для изучения влияния решений, принимаемых финансовой фирмой в области проводимой политики привлечения заемных ресурсов, на динамику ее развития (в частности, на динамику ее собственного капитала) могут достаточно эффективно применяться рекуррентные динамические модели, в основе которых лежит математический аппарат линейных разностных уравнений. [c.201]
После ознакомления с современной теорией финансовых спекуляций (см. ниже раздел 7), заинтересованный читатель сможет убедиться в том, что математические модели технических динамических систем (например, летательных аппаратов) и модели финансовых инструментов (ценных бумаг, основных мировых валют) могут быть представлены в совершенно одинаковой математической форме. Именно это последнее обстоятельство позволяет формулировать задачу извлечения потенциально возможной для финансового рынка прибыли как задачу оптимального управления динамическими системами. Если математические модели финансовых и технических систем, в виде дифференциальных и разностных уравнений, одинаковы, то совершенно безразлично - определяется ли оптимальная траектория полёта летательного аппарата или же оптимальный закон управления капиталом. На математическом уровне методы решения подобных задач совершенно одинаковы. [c.29]
Напрашивающаяся аппроксимация очевидного точного решения кусочно линейной функцией с значениями х0=х1=.. . == =Ztf i=0, Xjv=l — неоптимальна. Оптимальная функция определяется решением разностного уравнения (аналог уравнения Эйлера) ) [c.292]
Аргументы pi и р2 - имена (адреса) соответствующих програм мных функций моделирования, внешней среды, производящих интегрирование, решение разностных уравнений, вычисление по формулам и т.д. Эти функции возвращают значение типа float. Им координатор передает единственный аргумент float d - интервал. времени, в течение которого они получают управление. Понятие внешней среды может быть не только из экономики, например [c.102]
Функции float pi(d) и float p2(d), если они необходимы, пишутся пользователем. Они должны производить либо интегрирование, либо вычисления по формулам, либо решение разностных уравнений на отрезке времени d, который каждый раз передается в качестве параметра типа float В общем случае, кроме ++, для этого может использоваться язык Паскаль (однако на ++ вычисления идут быстрее) или пакет математических программ. [c.103]
Подставляя в выражение (7.3.38) ковариационные матрицы P(i+l,i) и P(i,i), оцененные по результатам предварительных статистических исследований, однозначно определим структуру и параметры переходной матрицы A(i)=A= onst в модели (7.3.36). Структуру и параметры матрицы Q(i)=Q= onst определим из решения разностного уравнения (7.3.37). Указанное уравнение в установившемся состоянии (когда матрица P(i+J)=P(i)) сводится к алгебраическому матричному уравнению в виде [c.186]
Оптимальный по критерию минимума среднеквадратической ошибки предсказания линейный многошаговый экстраполятор ( предиктор ) определяется на основе решения разностного уравнения (7.4.2), определяющего статистическую динамику финансового рынка. Переходя в указанном уравнении к математическим ожиданиям и рассматривая вместо мгновенного значения оцениваемого процесса его оптимальные оценки а, также используя формулу [5] для решения разностного уравнения с правой частью, получим [c.197]
ЛЯПУНОВА МЕТОДЫ [Liapunov s methods] — разработанные русским математиком А.М.Ляпуновым приемы исследования устойчивости процессов, описываемых дифференциальными и конечно-разностными уравнениями. Один из Л.м. основан на отыскании и исследовании решений уравнений т.н. "возмущенного" движения, которое вследствие каких-то внешних воздействий отклоняется от невозмущенного другой метод состоит в исследовании устойчивости процесса с помощью специально вводимых функций, называемых функциями Ляпунова. [c.177]
Начальные условия для (2.4.10) s =, so при t = 0. Граничные условия на горизонтальных границах области интегрирования —X х X, — Y у Y и на верхней границе при z = Z ставятся следующим образом. В тех точках границ, где вектор скорости направлен внутрь области определения решения, s = 8ф. Там, где вектор скорости направлен вовне этой области, значения концентраций экстраполируются на границу по приграничным значениям со вторым порядком аппроксимации. На нижней границе при z = А ставится граничное условие третьего рода, учитывающее поглощение и отражение примеси. Здесь SQ и вф — заданные значения. Уравнение (2.4.10) решается численным интегрированием в декартовой прямоугольной системе координат с применением метода фиктивных областей. Конечно-разностные аппроксимации производных по пространственным переменным построены на основе интегро-интерполяционного метода [Марчук, 1980]. Аппроксимация задачи по времени построена с помощью двуци-клического полного расщепления. Используемая схема покомпонентного расщепления дает решение для некоммутативных операторов со вторым порядком аппроксимации по времени и координатам. Для численной реализации конечно-разностных уравнений использована немонотонная прогонка. [c.116]
Козлов Р.И., Бурносов С.В. Асимптотическое поведение и оценки решений монотонных разностных уравнений // В кн. Метод функций Ляпунова в анализе динамики систем. — Новосибирск Наука, 1987. С. 16-29. [c.421]
Построение имитационных моделей, базирующихся на работах Дж. Форрестера, основано на том, что в качестве математического языка здесь выбран язык численного решения систем дифференциальных и конечно-разностных уравнений. При этом, как правило, в модели отсутствуют случайнее величины (не моделируются), а процесс моделирования складывается из этапов а) установления причинно-следственных связей между явлениями б) написания на основании пункта а) конечно-разностных уравнений и в) решение уравнений при различных исследуемых параметрах. В Росси этот метод реализован с помощью специализированных языков моделирования ДИНОМО и ИМИТАК. [c.334]
Условия сходимости случайных процессов, определяемых схемами стохастической аппроксимации, можно рассматривать как условия устойчивости (в том или ином вероятностном смысле) решений стохастических разностных (или дифференциальных) уравнений. Поэтому для исследования сходимости итеративных процедур стохастической аппроксимации естественно использовать методы анализа устойчивости решений стохастических уравнений, в частности, аналоги прямого метода Ляпунова. В этом направлении ряд результатов получены Т. Морозаном [208], Э. М. Браверманом и Л. И. Розоноэром [36] и (для непрерывных процедур стохастической аппроксимации) Р. 3. Хась-минским [295]. ( [c.354]
В силу выпуклости существует точка и, -+ /, 6 U такая, что /<+i/l = = f[x(tf), Ui+vJ. Обычные оценки, используемые при обосновании методов численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, позволяют утверждать, что решение разностной системы хм = х(- -ч/(х , ц мл/,) аппроксимирует траекторию x (t), х( — х (t СЧ, причем постоянная С зависит только от длины интервала Т и константы условия Липшица для функции / (х, и) f(x, и) — f(x, uJl x — х (это условие, разумеется, нужно оговорить). Теперь следует ослабить формулировку разностной задачи (7), потребовав выполнения условий х( G, XN — Х1 лишь с точностью до g. (или с точностью до /т), с тем, чтобы построенная выше разностная траектория могла считаться допустимым решением разностной задачи (7), а для решения этой задачи, существование которого следует из элементарных теорем о достижении минимума в конечномерных пространствах, получаем оценку минимизируемого функционала сверху [c.124]
Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений, с частными производными. — М. ИЛ, 1963. [c.479]
Теперь мы знаем, что большинство сложных естественных систем может быть смоделировано с помощью нелинейных дифференциальных или разностных уравнений. Эти уравнения полезны именно по тем причинам, по которым их стремятся избегать. Жизнь не упорядоченна. Она изобилует возможностями. Поэтому необходимы модели со множеством возможных решений. [c.21]
Модели семейства AR H, эволюционирующие в дискретном времени, имеют соответствующие аналоги и в случае непрерывного времени. Более того, при подходящей нормировке можно получить (слабую) сходимость решений стохастических разностных уравнений, определяющих AR H, GAR H,. . . -модели, к решениям соответствующих стохастических дифференциальных уравнений. [c.199]