Эта система может быть решена сведением к разностному уравнению n-го порядка по аналогии с решением системы дифференциальных уравнений. [c.417]
Решение системы дифференциальных уравнений, соответствующее траектории, проходящей в момент ta через точку [c.199]
Вероятности состояний Р,( ) находят путем решения системы дифференциальных уравнений (уравнений Колмогорова), имеющих вид [c.49]
Метод базируется на решении системы дифференциальных уравнений, описывающих такое движение точки, когда направление ее движения может случайно измениться на противоположное, однако величина перемещения ограничена, т.е. за один временной шаг точка не может удалиться от исходного положения больше, чем на заданную величину. На уравнении диффузии и основывается метод. [c.118]
Предполагая, что система функций спроса удовлетворяет указанным выше условиям, рассмотрим, какие свойства функции [д ([c.98]
Блок решения системы дифференциальных уравнений с заданной точностью [c.68]
Решение подобных задач требует определенности в формулировании их условий установления количества игроков и правил игры, выявления возможных стратегий игроков, возможных выигрышей (отрицательный выигрыш понимается как проигрыш). Важным элементом в условии задач является стратегия, т. е. совокупность правил, которые в зависимости от ситуации в игре определяют однозначный выбор данного игрока. Количество стратегий у каждого игрока может быть конечным и бесконечным, отсюда и игры подразделяются на конечные и бесконечные. При исследовании конечной игры задаются матрицы выигрышей, а бесконечной - функции выигрышей. Для решения задач применяются алгебраические методы, основанные на системе линейных уравнений и неравенств, итерационные методы, а также сведение задачи к некоторой системе дифференциальных уравнений. [c.51]
Для того чтобы определить значение P,(t), приведенной формулы недостаточно/Кроме нее составляется еще система дифференциальных уравнений Колмогорова, решение которой и дает искомые значения P t). Чаще всего реальные вычислительные системы быстро достигают установившегося режима, и тогда вероятности состояний перестают зависеть от времени и практически показывают, какую долю достаточно длинного промежутка времени система будет находиться в том или ином состоянии. Например, если система имеет три возможных состояния Р,=0,2, Р2=0,6, />3=0,1, то это означает, что в состоянии 5, система в среднем находится 20 % времени, в S2 -60 %, а в S3 -10 % времени. Такие не зависимые от времени вероятности называют финальными. [c.74]
В 1956 году в статье Вклад в теорию экономического роста Р. Солоу предложил математическую модель, выраженную в форме системы дифференциальных уравнений, которая показывает, как возросший основной капитал вызывает рост продукции на душу населения. Основной вывод, вытекающий из анализа решения этой системы, заключается в том, что темпы экономического роста, рассмотренные на протяжении длительного периода времени, не зависят от темпа роста капиталовложений. Определяющими факторами экономического роста являются не капиталовложения, а технический прогресс и эффективное использование ресурсов. Впоследствии этот удивительный вывод был подтвержден при анализе развития экономики. Было доказано, что - роста американской экономики за период с 1909 по 8 [c.451]
Решение этой задачи производится классическими методами решения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Существуют также хорошо разработанные приближенные методы решения этой задачи, в частности с помощью моделирующих устройств [2]. При известном некотором нетривиальном решении грг (t), i )2 (t) системы [c.87]
Шаг 2. Решается система дифференциальных уравнений динамики средних и по соответствующим численностям состояний вычисляются значение критерия оптимальности. При заданном значении г после решения системы уравнений (11Л 8) - (11.25) вычисляется значение критерия оптимальности F(k), где k - номер итерации работы алгоритма. [c.457]
Теорема 8.4. При условиях (8.6) — (8.12) решение x(t) стохастической системы дифференциальных уравнений (8.5) удовлетворяет соотношению [c.380]
Последние находятся после вариации управления и ( ) ->м ( )+ -f Su(-), интегрирования системы дифференциальных уравнений x=f (x, M+ 8м) и вычисления на новой траектории значений функционалов Ft [и (-)+8м ( )]. Сравнение ЬР( с А/1,- позволяет судить о том, не является ли используемый шаг по управлению слишком малым если совпадение Д с bF. излишне точно, шаг следует увеличить. Если совпадение t Ft с 8 слишком грубо — шаг уменьшается. Не претендуя на наилучшее решение вопроса, но лишь для того, чтобы быть конкретнее, укажем на используемые автором критерии того, что есть хорошее и что есть плохое совпадение F с 8/1. Обычно расхождение F и F менее, чем на 10% считалось очень малым и приводило к увеличению шага. Расхождение более чем на 30% считалось большим и влекло за собой уменьшение шага. Границы 10% и 30%, разумеется, достаточно условны. [c.178]
Функциональные возможности и состав прикладных модулей расширяются путем включения в пакет прикладных модулей для решений задач факторного анализа, распознавания образов, оценивания параметров и решения эмпирических моделей в виде системы дифференциальных уравнений и спектрального анализа временных рядов. Пакет разработан для ЕС ЭВМ. [c.181]
Подпрограммы из группы математики предназначены для обращения матриц, решения системы линейных алгебраических уравнений, интегрирования и дифференцирования функций, решения дифференциальных уравнений, нахождения действительных и комплексных корней многочленов, аппроксимации, интерполяции. [c.182]
Кроме этого, метод С. д. позволяет связать в рамках одной модели многочисленные потоки (физич. управляющие и информационные) и уровни аккумулирующих эти потоки величин капиталовложения и выбытие фондов с уровнем осн. капитала, рождаемость и смертность в различных возрастных группах с возрастной структурой населения и т. п. Метод С. д. наиболее ярко отражает структуру всех принимаемых во внимание обратных связен, хорошо приспособлен для учёта разных форм запаздывания, приводит к системе дифференциальных уравнений, решения к-рых поддаются достаточно простому экспериментальному исследованию на устойчивость в зависимости от параметров и структуры самой модели. [c.655]
Финальные вероятности состояний (если они существуют) могут быть получены путем решения системы линейных алгебраических уравнений, которые получаются из дифференциальных уравнений Колмогорова, если приравнять производные к нулю, а вероятностные функции состояний P (t),..., Pn(t) в правых частях уравнений (2.8) заменить соответственно на неизвестные финальные вероятности PJ, . .., Р . [c.50]
Запишите систему дифференциальных уравнений Колмогорова и начальные условия для решения системы, если известно, что в начальный момент система находится в состоянии S , [c.78]
Фундаментальная система решений линейной однородной системы дифференциальных уравнений порядка п. Общее решение системы. [c.16]
Линейная однородная система дифференциальных уравнений порядка п с постоянными коэффициентами нахождение фундаментальной системы решений и общего решения. Линейная неоднородная система дифференциальных уравнений порядка п с постоянными коэффициентами метод вариации постоянных. [c.16]
V при жеж(р, R). Нам нужно показать, что для любого вектора р 0 такого, что p x R, выполнено [Д, (д р, R) ц (д р, Д). Поскольку функция [Д, (д р, Д) вогнута по д, то ц (д р, Д) =ц(закон Вальраса, имеем, что q x(p, Д) ц( Р, Д) V р, д. Поскольку Д = ц(р р, Д), то неравенство р ж(р, Д)<Д можно переписать в виде р ж(р, Д)< ц(р р, Д). С другой стороны, по только что доказанному р ж(р, Д) ц(р р, Д). Поэтому при р ж(р, Д)<Д имеем ц(р р, Д) < ц(р р, Д). В силу единственности и непрерывности решения рассмотренной системы дифференциальных уравнений имеем, что ц (ц р, Д) Ц ([c.101]
Теорема 4.1. Вероятности состояний pJ t), t— 1,. .., я (неизвестные вероятностные функции) являются решением следующей системы дифференциальных уравнений [c.53]
Из теории дифференциальных уравнений [6] известно, что частное решение системы (4.11) ищется в виде показательных функций [c.61]
При изучении задач выработки управленческих решений используются фундаментальные понятия управления и управляющего параметра. Отметим здесь только один класс задач оптимального управления. Для модели, описываемой системой дифференциальных уравнений [c.4]
Каждый параметр, значения которого задаются подсистемой моделирования, имеет атрибут алгоритм интегрирования, определяющий метод численного приближенного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. В системе G2 для этих целей используют методы Эйлера и Рунге - Кутта. Выбор среди этих двух методов зависит от приложения. [c.290]
Возможен еще один подход к отысканию функции (/). Рассмотрим его на примере решения непрерывной задачи (2) с терминальным функционалом / = F(x(T)). В этом случае решение системы (6) является решением линейного дифференциального уравнения
Всякая претендующая на реализацию система экономического саморегулирования должна обеспечивать соблюдение ряда основных принципов социальной справедливости. Прежде всего (и это касается не только геологоразведки) необходимо сделать выбор основного принципа распределения равную оплату за равный труд или равную оплату за равные конечные результаты труда. Дело в том, что в геологии, как ни в какой другой отрасли, ввиду огромных различий естественной производительности труда в зависимости от экономико-географических, геологических и горнотехнических условий эквивалентное количество и качество труда объективно приводит к различным результатам. Поэтому внешне кажется, будто равная оплата за равный труд в этих условиях более справедлива. Ведь неравные условия труда созданы природой и не зависят от исполнителей. Однако этот принцип не стимулирует поиска оптимальных решений в выборе направлений и метода ведения работ. Наоборот, оплата за равные результаты труда максимально стимулирует прогресс, но при этом приведет к значительно большей дифференциации доходов как предприятий, так и отдельных трудящихся. Что предпочесть Нетрудно сформулировать следующее статистическое положение скорость научно-технического и хозяйственного прогресса тесно коррелирует с дифференциацией доходов. На повестку дня встает вопрос быть ли нам значительно более равными по доходам, но существенно беднее, или в среднем значительно богаче, но существенно дифференцированнее по доходам Впрочем, этот вопрос нельзя ставить как альтернативу между двумя крайними существует множество промежуточных положений, из которых можно выбрать подходящее, регулируя оставляемую в распоряжении ПГО долю дифференциальной ренты, образующейся за счет большей естественной производительности труда (дифференциальная рента I). Если эта доля будет существенной, геологоразведочные предприятия будут заинтересованы в проведении работ в первую очередь на объектах с лучшей естественной производительностью труда. Дифференциальную ренту II, по нашему мнению, необходимо целиком оставлять в распоряжении предприятия. [c.145]
В середине пятидесятых годов Л. С. Понтрягин выдвинул так называемый принцип максимума, дающий необходимые условия оптимальности для управляемых систем типа (3.11) с ограничениями на управление типа (3.13). В дальнейшем принцип максимума был обобщен на системы с ограничениями (3.14), характерными для экономических задач (см. [90J). Принцип максимума позволяет качественно проанализировать задачу оптимального управления, выявить особенности оптимальных воздействий на систему и оптимальных траекторий движения. В том случае, когда в исследовании необходимо найти оптимальное воздействие на систему, дифференциальные уравнения (3.11) обычно аппроксимируются многошаговыми уравнениями типа (3.21) и проблема сводится к решению статической задачи оптимизации. [c.59]
Для выявления дальнейшего поведения оптимального управления и. ( ) нужно знать знак функции Ог( ) при уменьшении t. Система (1.4.24), к счастью, состоит из п — 1 автономных линейных неоднородных дифференциальных уравнений, так что решение ее легко выписывается (ясно, что оно будет нелинейным интегральным оператором над о [c.59]
Задача нормирования представляет собой математическую формализацию известной природоохранной проблемы определения предельно допустимых выбросов (ПДВ), при соблюдении которых концентрации примесей в среде не превзойдут предельно допустимых (ПДК). С математической точки зрения задача нормирования ставится как задача максимизации функционала при условии, что множество достижимости управляемой динамической системы, описываемой системой обыкновенных дифференциальных уравнений, включено в заданное множество. Были предложены новые специальные методы и алгоритмы решения задачи нормирования [Модели..., 1981 Планирование..., 1984 Константинов, 1983 Новые..., 1987]. С помощью этих методов были решены задачи нормирования гидрохимических воздействий для реки и системы рек [Планирование..., 1984 Константинов, 1983] и нормирования нагрузки на лесной комплекс [Новые..., 1987 Модели..., 1986]. [c.177]
Во всех указанных работах математическая модель процессов возбуждения и распространения волн строится на основе теории мелкой воды [Стокер, 1959], которая, однако, допускает различные по степени сложности и точности конкретные варианты систем дифференциальных уравнений с частными производными. Наиболее точной, а, следовательно, самой сложной и интересной из них является двумерная квазилинейная система. К сожалению, ее использование как в теоретических исследованиях, так и в численных расчетах встречается крайне редко [Марчук и др., 1983] и связано с большими трудностями из-за недостаточной разработанности качественной теории решений многомерных квазилинейных гиперболических систем. Не вдаваясь в подробности этой проблемы, отметим, что в таких монографиях, как [Рождественский и др., 1978], относительно полно изучены лишь случаи одного квазилинейного уравнения и системы из двух квазилинейных уравнений и только в одномерном варианте. [c.327]
В термодинамике при конечном времени предполагают, что систему можно разбить на такие подсистемы, в каждой из которых в любой момент времени отклонения интенсивных переменных от их средних по объему значений пренебрежимо малы, а значит, отсутствуют связанные с этими отклонениями потоки внутри подсистем. Изменение же интенсивных переменных происходит только на границах подсистем, так что система в целом находится в неравновесном состоянии. Такое допущение позволяет использовать при описании подсистем уравнения состояния, справедливые лишь в условиях равновесия, для описания переходных процессов в системе оказывается возможным применить обыкновенные дифференциальные уравнения, а для решения экстремальных задач — методы оптимального управления объектами с сосредоточенными параметрами. [c.15]
Решение системы дифференциальных уравнений вероятностей с помощью электронно-вычислительной машины БЭСМ-2м дало возможность определить оптимальное количество Я" неисправных блоков различных струй (из общего числа блоков в машине или струй в линии Яр), которое обеспечивает возможность получения максимальной отдачи линии или установленного для нее коэффициента использования р. Результаты расчетов приведены в табл. 51. [c.186]
Далее, исходя из физического смысла задачи, или анализа реальных данных, веем оптимизируемым параметрам системы //, (Ay, М/) руководители задают начальные (нулевые) приближения к решению. Эта информация вводится руководителем или экспертом в формируемую СППР систему уравнений (11.2) -з- (11.5), которая имитирует работу рассматриваемой системы. СППР, решая систему дифференциальных уравнений (11.2X11.5) и проверяя выполнение ограничения (11.6), вычисляет значение функционала (11.1), значение которого запоминается. Затем значения всех параметров N1 (и, или Л./Д кроме одного (скажем, первого), ею закрепляются. Проводится оптимизация по одному параметру, которая выглядит так. От точки, находящейся в середине рассматриваемого промежутка, и любого конца, например, правого этой окрестности, получается два значения функционала (после решения системы (11.2) ч- (11.5) и проверки ограничения (11.6)). Они сравниваются. Если значение функционала от пра- [c.419]
Система дифференциальных уравнений (2.33) — (2.34) имеет стационарное решение, совпадающее с оптимальным сбалансированным ростом S = onst, у = onst, так как 5= 0, t/= 0 в (2.33), (2.34), когда выполняются уравнения (2.31), (2.32). На рис. 2.1 показана фазовая плоскость системы (2.33), (2.34). [c.38]
Математич. разработка этой задачи, возникшая в связи с организацией телефонной связи в 1-й четверти 20 в., получила углубленное развитие в трудах выдающихся советских математиков А. Я. Хинчина, Б. В. Гне-денко, А. Н. Колмогорова. Теория массового (дежурного) обслуживания опирается на аппарат теории вероятностей, поскольку поток требований на обслуживание является процессом стохастич. характера, т. е. определяется рядом факторов и условий, не поддающихся полному учету. Нахождение оптимального орг. решения осуществляется путем составления системы дифференциальных уравнений, а в нек-рых случаях также интегральных уравнений. Впрочем, аналитич. методы еще не дают удовлетворительного решения всех конкретных разновидностей задач массового обслуживания. [c.108]
Возможности применения методов С. д. для моделирования процессов долгосрочного соцнально-экопо-мпч. развития весьма ограничены, поскольку принимаемые во внимание зависимости темпов от уровней, как правило, имеют локальную интерпретацию, т. е. отражают процессы, проявляющиеся при малых изменениях переменных и при достаточном удалении их допустимых значений ог границы. Изучение же траекторий, возникающих в результате решения полученной системы дифференциальных уравнений, выявляет долгосрочные закономерности поведения, относящиеся к траектории в целом, а не к её локальным свойствам. Кроме этого, приближение системы к границам должно вызвать усилия, направленные на отодвигание соответствующих ограничений, либо привести к существенной модификации или к перерождению самой системы. Хотя подобные проблемы оказываются важ-нейшимн при долгосрочном анализе, они не получают отражения с помощью методов С. д., к-рые могут дать онредел. импульс к дальнейшим исследованиям. [c.655]
При заданном управлении и К( ) решение этой системы дифференциальных уравнений яв ля 2Тся некоторой траекторией развития экономической сгисттемы. Траектория развития системы должна удовлетворять некоторым начальным и конечным условиям. [c.242]
Итак, решение оптимальной задачи (1.5.42), (1.5.43) сводится к решению задачи Копти (1.5.47)-(1.5.49) для системы двух дифференциальных уравнений типа Риккати и последующему расчету оптимального управления w (t,y] (в форме обратной связи) по формуле (1.5.44), которая детализируется в следующем виде [c.77]
Интегрируя двумерную функцию плотности вероятности вектора скорости ветра в каждой точке рассматриваемой области по направлению 0 < <р 360 и модулю скорости О и икр, найдем функцию распределения превышения ПДК. В качестве теоретической функции плотности вероятности могут выступать, например, нормальный закон, приближение Лапласа-Шарлье, закон Вейбулла и др. Конкретный выбор зависит от степени близости к эмпирическому закону распределения, найденному по многолетним климатическим наблюдениям на метеорологических постах данной местности. Таким образом, мы выделяем зоны, в которых за интересующий интервал времени будут нарушаться установленные нормы загрязнения, получая новую характеристику — частоту превышения ПДК. Одновременно в каждой точке расчетной области имеем усредненную по всем реализациям среднюю концентрацию примеси. Необходимо отметить, что в аналитических решениях ось абсцисс совпадает с направлением среднего ветра, поэтому расчет загрязнения в каждой точке проводится во вращающейся полярной системе координат. При таком подходе многие недостатки аналитических решений, возникающие из-за упрощений исходных дифференциальных уравнений, нивелируются. [c.121]
В основу понятия обобщенного решения могут быть положены самые различные подходы. Это интегральные законы сохранения, метод искусственной вязкости, способ предельного перехода в разностных аппроксимациях, аппарат теории обобщенных функций, понятие потенциала решения, а также другие схемы [Рождественский и др., 1978 Годунов, 1979]. Так, авторы [Васильев и др., 1987] при рассмотрении одномерного варианта (га = 1) задачи (4.4.3)-(4.4.7) для определения обобщенного решения использовали свойство эквивалентности на гладких (классических) решениях дифференциальной системы, построение которой базируется на использовании широко известного аппарата метода характеристик. Суть этого подхода заключается в диагонализации матрицы А системы (4.4.3) с помощью линейного невырожденного преобразования переменных х в инварианты Римана. После такого преобразования в каждом из уравнений системы участвуют частные производные по s и t лишь одной инварианты Римана, что позволяет рассматривать дифференциальный оператор инвариантной системы как п -мерный вектор обыкновенных производных вдоль соответствующих характеристик (аналог производной по направлению). К сожалению, возможности использования данного понятия обобщенного решения по существу [c.335]
Машина МН-18 предназначена для работы в составе аналого-цифровой вычислительной системы АЦЭМС-1 или независимо от нее. Используется для решения и исследования методом математического моделирования сложных динамических систем, описываемых обыкновенными нелинейными дифференциальными уравнениями относится к классу машин средней мощности. [c.130]