Рассмотрим нормальную систему вида (19.1), где ж — время, а 2/ъ у 2 з , У п — координаты точки n-мерного пространства. Это пространство будем называть фазовым пространством. В случае п = 1 фазовое пространство есть ось О ж при п = 2 — плоскость (ж, у) — фазовая плоскость. [c.405]
Переменные х означают величину разности между спросом и предложением по соответствующему виду средств производства х = s — р. Функция х (f) непрерывно дифференцируется во времени. Переменные х" означают скорость изменения разницы между спросом и предложением. Траектория х (t) означает зависимость скорости изменения спроса и предложения от величины разницы между спросом и предложением, которая в свою очередь зависит от времени. Пространство состояний (фазовое пространство) в нашем случае двумерно, т. е. имеет вид фазовой плоскости. [c.86]
Обозреть данные нетрудно, если нам известны все переменные системы. Мы просто наносим их на координатную плоскость. Если переменных две, то одну из них принимаем за х, другую за у и вычерчиваем зависимость в декартовых координатах, т. е. наносим величину одной из них относительно значения другой в один и тот же момент времени. Это называется фазовым портретом системы — он вычерчивается в фазовом пространстве. Размерность фазового пространства зависит от количества переменных в системе. Если она включает в себя две или три переменных, можно наблюдать данные визуально. Если размерность системы больше трех, то это делается математическими методами. Последний метод сложнее, но тем не менее осуществим. [c.163]
Динамику накопительного счета можно наглядно изображать соответствующей траекторией на фазовой плоскости время - деньги. В силу линейности закона накопления такая траектория будет представлять собой луч с вершиной ( 0, 50) и угловым коэффициентом /50, где (/0, 50) — начальное состояние счета (рис. 3.1). Пожалуй, самым существенным свойством процесса накопления в схеме простых процентов — это его в некотором смысле абсолютная привязанность к начальному состоянию. Как увидим ниже, траектории двух процессов с разными начальными состояниями не могут иметь общего продолжения, ни даже [c.143]
Рассмотрим вопрос о геометрическом представлении (описании) отношения эквивалентности событий. Поскольку финансовые события изображаются точками на фазовой плоскости время — деньги, то каждому классу эквивалентности, т.е. совокупности попарно эквивалентных между собой событий соответствует определенный геометрический образ. Каждый такой класс представляется некоторой гладкой кривой на плоскости, а семейство классов (фактор-множество отношения эквивалентности) — семейством непересекающихся кривых, заполняющих плоскость время — деньги. [c.158]
Поведение траекторий однородной системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Фазовая плоскость. Классификация простейших точек равновесия на фазовой плоскости. [c.16]
С помощью фазовой плоскости в координатах с (ось абсцисс) и s (ось ординат) опишем поведение траекторий системы (142). Нас интересует только квадрант с > 0, s > 0 (см. условия (132) и (133)). [c.133]
Мы будем искать возможные траектории — такие пути на плоскости, по которым пойдет фирма, если будет руководствоваться в выборе кадровой политики написанной выше системой уравнений. Скачки траекторий возможны только в начальный момент времени, т.е. только тогда, когда принимаются решения. Дальше уже фирма будет действовать в соответствии с оптимальной стратегией. Изменение стратегии может быть вызвано только изменением информации, шоками, и т.д., когда, во-первых, изменяется поле направлений на фазовой плоскости, а, во-вторых, фирма выбирает новую стратегию. [c.133]
Прежде всего, прямая 9s — Хс делит фазовую плоскость на две части (см. рис. 5). В соответствии с первым уравнением системы (142) над этой прямой производная с по времени больше нуля, под прямой — меньше нуля (соответственно на прямой производная с по времени равна нулю). [c.133]
На фазовой плоскости производная функции s по времени над кривой s( ) положительна, под кривой — отрицательна, а на кривой равна нулю. Поле направлений изображено на рис. 6. бесконечность. [c.134]
Из поля направлений видно, что устойчивая седловая траектория (проходящая через точку А) проходит по фазовой плоскости как показано на рисунке слева направо, сверху вниз (иначе было бы противоречие с полем направлений). Обозначим седловую траекторию, входящую в т. А слева за В, а траекторию, входящую в стационарную точку справа — за С. Исходящие траектории обозначим за С и D (соответственно сверху и снизу). [c.135]
Обозначим решение данной задачи за Е. Как относительно располагаются на фазовой плоскости точки А и Е [c.138]
Но s( ) — решение уравнения 148 — лежит ниже решения уравнения 143, и, следовательно, SE < SA, сЕ < с , а ситуация на фазовой плоскости эквивалентна ситуации увеличения коэффициента дисконтирования. И на самом деле, решая задачу 146 мы как бы предполагаем, что дисконтирования нет, т.е. что все времена мы одинаково ценим и будущее, и настоящее. [c.138]
Рассмотрим, как выбор модели роста зависит от начального отношения знаний к активам h0/ao, которое будет обозначаться сй. Для удобства начнем с режима экзогенного роста. Фазовая плоскость системы (4.9)-(4.10) изображена на рис. 5, где горизонтальная линия X это множество, на котором Е, неизменно, а кривая Z — множество, на котором z неизменно (Z имеет отрицательный наклон, если выполнено (4.12)). Луч М является областью начальных значений, удовлетворяющей знакомому уравнению [c.42]
Рассмотрим модели переходного роста для эндогенного режима. Соответствующие равновесные траектории изображены на рис. 6, показывающем фазовую плоскость для подсистемы (4.3)-(4.5). Кривая X это множество точек, для которых постоянно ,, а луч L это множество постоянных /. Областью начальных значений является луч М, определенный как [c.44]
В наиболее простом случае регулирование состояния производственной системы, заключающееся в переходе из одного состояния в следующее, заданное, за минимальное время, графически представлено на фазовой плоскости в прямоугольных координатах в виде друг парабол, пересекающих кривую переключений , в данном случае расположенную в третьем и четвертом квадратах. Для режима опти- [c.80]
В качестве фазовых координат выбираются высота —у и проекции на плоскость горизонта — х и z соответственно, v — скорость аппарата, углы в и if/ задают направление вектора скорости в полярных координатах. Зависимостью силой тяжести от высоты пренебрегаем, зависимость плотности от высоты считаем линейной. В безразмерных координатах уравнения движения выглядят следующим образом [c.295]
При обеспечении допустимого расположения кругов Гершгорина на комплексной плоскости а > 0. При этом, чем больше значение ст, тем более робастной является система, т.е. фазовые ограничения (1.67) для синтезированного закона управления будут обеспечиваться на более широких множествах структурно-параметрических и внешних возмущений. [c.52]
Мы уже исследовали одно такое фазовое пространство, аттрактор Лоренца (Глава 6). Здесь фазовая диаграмма никогда не повторяется, хотя она ограничена формой "глаза совы". Они "притягивается" к этой форме, которую часто называют ее "точкой притяжения (аттрактором)". Если мы исследуем линии в пределах аттрактора, мы находим самоподобную структуру линий, вызванную повторным сворачиванием аттрактора. Непересекающаяся структура линий означает, что процесс никогда не заполнит свое пространство полностью. Его размерность, таким образом, является дробной. Фрактальная размерность аттрактора Лоренца составляет приблизительно 2,08. Это означает, что его структура немного больше, чем двумерная плоскость, но меньше чем трехмерное тело. Следовательно, он также является созданием Демиурга. [c.229]
Система дифференциальных уравнений (2.33) — (2.34) имеет стационарное решение, совпадающее с оптимальным сбалансированным ростом S = onst, у = onst, так как 5= 0, t/= 0 в (2.33), (2.34), когда выполняются уравнения (2.31), (2.32). На рис. 2.1 показана фазовая плоскость системы (2.33), (2.34). [c.38]
Фазовая диаграмма для глобальной и национальных экономик представлена на рис. 3, изображающем пространство (х, г, I), причем х = ха или Xj. Все траектории сходятся к одной и той же стационарной точке G, но стартуют с различных начальных точек22. Агрегированная равновесная траектория берет начало в точке Оа, являющейся пересечением седловой глобальной траектории с поверхностью Ма, определенной (3.31). Данная точка задает начальные значения г = АО и / = /Q. Траектории национальных экономик стартуют с начальных точек Oj = (ху0, АО, /о) на поверхностях My. определенных (3.33) и начальными отношениями hj0/ajo- Точка О/ задает начальную норму потребления ху-0 и финансовую позицию zy0 для национальной экономики. Проекции траекторий национальных экономик на плоскость (/, г) совпадают с проекцией глобальной траектории на ту же плоскость. [c.34]
Известные критерия Бенднксона в Дюлака [1, 2, 3] дают достаточные условия отсутствия в одяосвяэных областях Q фазовой плоскости R3 замкнутых контуров, составленных из целых траекторий автономной динамической системы [c.217]
В работах [4, 5 при тех же требованиях к знаку div/(ar) было дано обобщение критериев Бендиксона и Дюлака на многосвязные области фазовой плоскости. Эти обобщенные критерии дают ограничение на число замкнутых контуров, составленных из траекторий динамической системы (1), которые могут существовать в мно-госвлзной области Q С R3 (в m - связной области Q не может существовать более (т — 1) таких контуров). [c.217]
Критерий Бендиксона для фазовой плоскости является частным случаем теорем 1, 2, 3, так как инвариантный контур из R3 можно рассматривать как инвариантную границу Г(А) области А С Q С Л2(Л С Q) положительной меры (аналогия с теоремой 1), а также как инвариантную замкнутую гиперповерхность или как инвариантную замкнутую границу ограниченной области А С Q С Я3 положительной меры (аналогия с теоремой 3). [c.220]