Это утверждение принято называть принципом Лагранжа. [c.163]
На основании равенства (2.46) принцип Лагранжа можно переписать в виде [c.173]
Принцип Лагранжа можно рассматривать как утверждение о стационарности функционала [c.174]
Основные теоремы Э.б. утверждают, что при определенных условиях конкурентное равновесие оптимально по Парето и любое оптимальное по Паре-то распределение ресурсов может быть достигнуто в конкурентной экономике. Впрочем, некоторые теоретики полагают, что оптимум в принципе может быть достигнут и без конкуренции, напр. в плановой экономике, если устанавливаемые "сверху" цены соответствуют оптимальным оценкам (множителям Лагранжа), полученным при решении задачи максимизации благосостояния при ресурсных ограничениях. Однако в реальной практике эта гипотеза пока не получила подтверждения, да и вряд ли получит жизнь всегда сложнее любой самой изощренной математической схемы. [c.401]
В этой задаче два усредненных условия, а значит, в принципе возможно три базовых значения температуры Т. Однако если для TQ = То/г и для TO = TO функция Лагранжа, соответствующая задаче (4.35) при любом значении То, имеет единственный максимум по Т, то базовых значений только два. Одно из них, Т/г, соответствует контакту с горячим источником (То = Тод), другое, Тс, — контакту с холодным источником (То = TO ). При этом [c.148]
Алгоритм получения условий оптимальности в форме принципа максимума. Для получения необходимых условий оптимальности в задаче с функционалом конкретного вида и конкретным набором связей можно воспользоваться условиями (9.58)-(9.60), если удастся записать функционал в форме (9.50), а каждое из условий в форме (9.51). Практически удобно наиболее распространенные типы критериев и ограничений переписать в канонической форме и сопоставить им слагаемые RQ и R Q в функции Лагранжа [c.382]
Если в задаче не оказалось переменных первой группы, это означает, что с использованием функционала Лагранжа для этой задачи ни по одной из составляющих искомого решения нельзя получить условия оптимальности в форме принципа максимума (9.60). [c.385]
Дискретный принцип максимума получается почти по такой же схеме, но вместо дифференциальных уравнений в выкладках участвуют их разностные аппроксимации. И вот здесь появляется упомянутое реальное следствие дискретной теории разностное уравнение для сопряженного уравнения является следствием того или иного выбора аппроксимаций для прямого уравнения и для интеграла в тождестве Лагранжа. Разностная аппроксимация уравнения в вариациях также однозначно определяется выбором аппроксимации исходного уравнения, но это не так важно, так как в вычислительных методах обычно это уравнение не интегрируется. Эту аппроксимацию сопряженного уравнения "мы будем называть согласованной с аппроксимациями исходного уравнения и интеграла в том смысле, что для конечно-разностных решений Sz и ф, полученных по согласованным аппроксимациям соответствующих уравнений, алгебраически точно выполняется тождество Лагранжа (тоже в соответствующей аппроксимации). Это и есть то единственное практическое следствие, которое автор смог извлечь из теории дискретного принципа максимума и которого в своих вычислениях никогда не использовал ни в явной, ни в неявной формах. Автор всегда выбирал для исходного и сопряженного уравнений независимые аппроксимации, причем сопряженное обычно интегрировалось более грубо, с большим шагом по времени. Дело в том, что использование согласованной > аппроксимации связано с определенными техническими неудобствами, необходимость преодоления которых не очевидна. Во всяком случае, автору неизвестны трудности численного решения задач оптимального управления, которые можно было бы преодолеть, используя согласованную аппроксимацию. Чтобы и здесь быть более конкретным, можно все же указать на некоторое следствие использования согласованной аппроксимации. Речь идет о получении минимума функционала с большим числом знаков. Используя для вычисления функциональной производной функцию < >, найденную по произвольной аппроксимации сопряженного уравнения, мы, разумеется, находим не точную производную, а лишь приближенную, искаженную влиянием ошибок аппроксимации. Поэтому получить минимум с очень большой точностью не удастся начиная с некоторого этапа минимизации (например, методом градиента в функциональном пространстве) мы будем в этом случав [c.54]
Термины "смешанный вариационный принцип" и "двойственный вариационный принцип" связаны с тем, что в смешанном вариационном принципе варьируются как исходные функции р, и1, так и множители Лагранжа, в двойственном вариационном принципе - только множители Лагранжа. [c.210]
Построим соответствующий двойственный вариационный принцип. Вводя множитель Лагранжа для ограничения (6.11) и используя равенство (6.12), перепишем функционал (6.15) в виде [c.220]
Специфика каждой макрофизической науки проявляется во всех четырех этапах. Однако внимательный анализ используемых в различных науках принципов композиции (четвертый этап) приводит к однозначному выводу о целесообразности признания принципа Лагранжа-Релея в качестве универсального для дифференциальной макрофизики в целом. Это закономерное следствие из уже доказанной его применимости для линейной и угловой механик (Ж. Лагранж), для электрики и электромеханики (Дж. Максвелл). [c.12]
Схема построения двойственных вариационных задач. Давно было замечено, что одна и та же система уравнений может быть системой уравнений Эйлера для разных функционалов. Например, уравнения аналитической механики систем с конечным числом степеней свободы могут быть получены из двух различных вариационных принципов принципа Гамиль-тона-Остроградского и принципа Гамильтона-Пуанкаре. В других разделах механики также предлагались различные вариационные принципы для одних и тех же систем уравнений принцип Дирихле и принцип Томсона в механике идеальной несжимаемой жидкости и в электростатике, принцип Лагранжа, принцип Кастильяно и принцип Рейсснера в теории упругости, принцип максимума Понтрягина в вариационных задачах с ограничениями и т.п. На протяжении последних двух десятилетий было осознано, что в основе построения всех таких принципов лежит одна простая общая идея -идея двойственности. Ее изложению посвящен настоящий параграф. [c.90]
Принцип Лагранжа. Дальше будем считать, что внешние силы являются "мертвыми". Тогда вариационное уравнение (2.1) оказывается голоном-ным и представляет утверждение о стационарности на множестве функций лг( ), выделяемом ограничениями (2. 15), функционала [c.163]
Исследование принятой структуры записи принципа композиции Лагранжа-Релея приводит к получению важной информации по второму и третьему этапам означенной выше процедуры. Во-первых, принцип подразумевает необходимость использования четырех типов переменных, причинных координаты р и скорости р, следственных координаты q [c.12]
Вариационные принципы Мопертюи, Лаграижа, Гамильтона, Остроградского, Якоби, Пуанкаре. Завершил разработку принципа наименьшего действия Лагранж. В окончательном виде этот принцип формируется следующим образом. [c.18]
Принцип стационарности действия в форме Мопертюи - Лагранжа утверждает, что истинное движение является стационарной точкой действия (2.5) на множестве М- [c.19]
Подчеркнем, что в принципе Мопертюи — Лагранжа варьированию подвергаются не только траектории системы, ной момент прихода в конечную точку. [c.20]
Выведем уравнения для q из принципа Мопертюи- Лагранжа Для того чтобы освободиться от ограничения (2.2), следует ввести множитель Лагранжа для этого ограничения (/) (о правиле множителей Лагранжа см. 4 гл. II) и переписать действие в виде [c.20]
В книге Лагранжа "Аналитическая механика" принцип наименьшего действия был сформулирован не вполне ясно1 ). Это дало повод для дальнейших размышлений и привело Гамильтона, Остроградского, Якоби и Пуанкаре к некоторым модификациям принципа. [c.22]
Изложение принципа стационарного действия, приведенное выше, было опубликовано через три года после смерти Лагранжа и принадлежит 1 од-ригесу. [c.22]
Функцию L(q,q) УС -% называют функцией Лагранжа, функцию Н(р,ц) - функцией Гамильтона. В соответствии с этим в физике метод вывода уравнений при помощи принципа Гамильтона-Остроградского и принципа Гамильтона— Пуанкаре называют соответственно лагранжевым и гамильтоновым формализмом. [c.23]
Следует отметить, что основное распространение в настоящее время получили модификации принципа стационарного действия Гамильтона-Остроградского и Гамильтона— Пуанкаре, и в современной литературе исходная формулировка Мопертюи- Лагранжа, практически не встречается. [c.23]
Принципы Гиббса. Системы с конечным числом степеней свободы характеризуются двумя функциями — кинетической энергией 3 (q, q) и внутренней энергией % (q), по которым восстанавливается функция Лагранжа L = Х- % и, следовательно, все свойства системы. При переходе к сплошным средам кинетическая и внутренняя энергии становятся некоторыми функционалами от определяющих функций. Кроме того, поскольку сплошная среда описывает некоторые статистические закономерности для большого числа хаотически двигающихся частиц, как и во всех стохастических задачах, возникает новая характеристика — энтропия системы [c.25]
Вариационный принцип Мопертюи — Лагранжа. Истинное движение идеальной сжимаемой жидкости есть стационарная точка функционала кинетической энергии [c.198]
В принципе Мопертюи - Лагранжа момент г, прихода жидкости в конечное положение не фиксирован и подвергается варьированию. [c.198]
Эквивалентность принципа Мопертюи — Лагранжа принципу Гамильтона — Остроградского доказывается так же, как и в механике систем с конечным числом степеней свободы при помощи введения множителя Лагранжа для ограничения (5.6) (см. 2 гл. I). [c.198]
В случаях В, С, D приведем только формулировку принципа Гамильтона — Остроградского. Принципы Мопертюи — Лагранжа и Якоби можно восстановить по принципу Гамильтона - Остроградското так же, как и в случае А. [c.199]
Первая формулировка вариационного принципа для идеальной несжимаемой жидкости дана ЖЛагранжем [128 - именно и з нее Лагранж получил уравнения движения жидкости, которые известны сейчас как уравнения Эйлера - Лагранжа. [c.430]
Согласно принципам вариационного исчисления, решение задачи (19) должно быть равносильно, при некотором ненулевом векторе Л ("множитель Лагранжа"), решению следуюшей оптилшзаы.ионной задачи [c.201]
Смотреть страницы где упоминается термин Принцип Лагранжа
: [c.152] [c.242] [c.26] [c.198]Смотреть главы в:
Вариационные принципы механики сплошной среды -> Принцип Лагранжа