Функционал энергии. Начнем с рассмотрения вариационных принципов геометрически линейной статики упругого тела к ним в наиболее полной мере применимы методы, изложенные в гл. II. [c.146]
Рассмотрим предположения, при которых задача о нахождении стационарных точек функционала энергии сводится к задаче о минимуме. [c.148]
Будем считать, что условия (1.7) выполнены. Тогда функционал энергии инвариантен относительно "твердых" движений (1.6) и решение не определяется единственным образом. Для выделения единственного решения следует наложить на поля перемещений ограничения, исключающие твердые движения. В качестве таких ограничений можно взять, например, условия обращения в нуль среднего перемещения [c.148]
Тогда условия (1.7) являются также достаточными для ограниченности функционала энергии снизу. Для доказательства следует установить неравенство [c.149]
Итак, функционал энергии ограничен снизу, если на границе тела заданы поверхностные силы, причем квадрат модуля поверхностной силы суммируем на поверхности, а квадрат модуля объемной силы суммируем по объему. [c.150]
Ограниченность снизу функционала энергии позволяет поставить задачу о нахождении минимизирующего элемента. Эту вариационную задачу будем называть принципом Лагранжа. Существование минимизирующего элемента в энергетическом пространстве может быть установлено по общей схеме 1 гл. II. [c.150]
Функционал энергии при строго выпуклой функции f/(ei -) является строго выпуклым функционалом на множестве перемещений, в котором исключены перемещения тела как твердого. Как показано в 1 гл. II, он может иметь не более одного минимизирующего элемента. [c.151]
Если х ( а) — стационарная точка функционала энергии, то в ней и суммарный момент обращается в нуль [c.176]
За счет отбрасывания или, что то же самое, добавления с другим знаком членов, содержащих -4а(3 -у, новый функционал энергии будет чувствовать значения на границе не только г и п, но и всех первых производных от г поэтому кинематические краевые условия будут заключаться в задании на границе г и г>а. В теории возникает пограничный слой с размером порядка h, однако двумерная нелинейная теория в целом будет проще, чем теория с энергией (1.28). [c.269]
Коротковолновая экстраполяция. Прежде чем продолжать исследование функционала энергии, введем важное понятие о коротковолновой экстраполяции. [c.280]
Варьирование функционала энергии приводит к системе уравнений равновесия [c.285]
Поэтому варьирование функционала энергии приводит к уравнениям [c.286]
Асимптотический анализ функционала энергии трехмерного упругого тела. Геометрия недеформированного состояния. Введем в области V криволинейную систему координат а, по формулам [c.333]
Асимптотический анализ функционала энергии. Выпишем компоненты тензора деформаций в терминах г1, т а ку. Дифференцируя (5.32), имеем [c.339]
Плотность внутренней энергии системы абсолютно твердых частиц равна, очевидна, нулю, и функционал энергии системы сведется к работе внешних сил [c.367]
Общий подход к ограничениям в задачах оптимизации состоит в том, что в итоговый функционал, подлежащий минимизации, включаются штрафные члены, увеличивающие целевую функцию при отклонении от накладываемых ограничений. В данном случае в качестве энергии состояния сети можно выбрать функционал [c.111]
Обычно в качестве целевого функционала задачи принимают среднее значение функции риска или функции полезности, зависящей от траектории системы или от ее конечного состояния. Можно указать, однако, задачи, в которых любая траектория, не выходящая из некоторой заранее заданной области изменения состояний системы, является приемлемой. В таких задачах естественно принимать в качестве целевого функционала затраты (энергии или ресурсов), связанные с управлением. В общем случае критерий качества решения задач стохастического управления при неизвестных характеристиках управляемого объек- [c.49]
Оказывается, что закон сохранения энергии будет иметь место для действительной траектории в силу уравнений Эйлера функционала (2.18). Известным преимуществом такой модификации принципа наименьшего действия является возможность считать момент времени /, заданным и не варьируемым, а также отсутствие ограничения на допустимые траектории (2.2). [c.23]
Вариационное уравнение (2.29) имеет две основные отличительные черты. Во-первых, оно записано не для всего объема, занятого сплошной средой, а для любой части сплошной среды — именно это приближает вариационное уравнение по форме к уравнению энергии. С этим связано и возникновение в вариационном уравнении определяемого из него функционала bW. Вычисление б W соответствует установлению уравнений состояния. Во-вторых, вариационное уравнение содержит вклады, связанные с необратимыми процессами. [c.32]
В рассмотренном примере имеется группа G gM = М, g G (группа сдвигов по и на постоянную), которая оставляет функционал Е неизменным E(gu) = Е(и), g G, ы Л. Если группа G не сводится к тождественному преобразованию, то говорят, что функционал Е имеет ядро. В механике обычно Е — энергия, a G — группа преобразований, соответствующих перемещениям тела как твердого. [c.78]
В механических задачах нижняя грань обычно связана со значением энергии на минимизирующем элементе. Эта связь очевидна, если функционал /(и) совпадает с энергией. Покажем, что она имеет также место в задачах о минимуме на некотором линейном пространстве ЛС функционала /(и) вида [c.85]
Пример 1. Вывод теории изгиба стержней Бернулли- Эйлера из теории Тимошенко. В классической теории изгиба стержней, построенной Д. Бернулли и Л. Эйлером, энергия есть функционал от прогиба стержня и (х) вида [c.137]
Функционал /( ( )) имеет вид (2.1.2), а энергия инвариантна относительно движений тела как твердого [c.175]
Покажем, что в этом случае вариационная задача (3.3) — (3.5) эквивалентна задаче о построении стационарных точек функционала внутренней энергии [c.187]
Вариационный принцип. На полях скоростей i/ (x, t), подчиненных ограничениям (6. ГО) -(6. 12), минимизирующий элемент функционала кинетической энергии [c.216]
Принцип Кельвина. На множестве -М всех полей скорости, выделяемом ограничениями (6.11) и (6.12), минимизирующий элемент функционала кинетической энергии [c.221]
Множество (t выпукло. Кинетическая энергия, как положительный квадратичный функционал, строго выпукла. Поэтому справедлива [c.221]
Теорема. Минимизирующий элемент функционала кинетической энергии единствен. [c.221]
Вариационный принцип А р но л ь д а— Г р и н ф е л ь д а. Стационарная точка функционала полной энергии баротропной жидкости [c.233]
Вариационный принцип. Стационарные точки функционала полной энергии однородного упругого тела [c.233]
Поскольку число нейронов в сети конечно, функционал энергии ограничен снизу. Это означает, что эволюция состояния сети должна закончиться в стационарном состоянии, которому будет соответствовать локальный минимум энергии. В Хопфилдовской модели стационарные конфигурации активностей нейронов являются единственным типом аттракторов в пространстве состояний сети. Мы можем представить динамику сети, сопоставив ее состояние с шариком, движущимся с большим трением в сложном рельефе со множеством локальных [c.93]
В случае, когда на части границы заданы перемещения, функционал энергии ограничен снизу для любых суммируемых с квадратом функций FfuPi, в том числе и для имеющих ненулевые суммарную силу и момент. [c.150]
Регуляризация функционалов в неограниченных областях. Течения в неограниченных областях, как правило, имеют расходящийся функционал энергии. Для придания смысла вариационным принципам требуется видоизменить (регуляризовать) функционал энергии, не нарушив при этом уравнений Эйлера. Опишем на плоских задачах метод регуляризации, предложенный Шифманом [390]. [c.236]
Можно показать (на этом мы не останавливаемся), что во многих задачах добавки к 7 определяются по 7 единственным образом ( Мъ =-JP ) и-вносят малый вклад в энергию. Это приводит к теории стержней Кирхгофа — Клебша деформированное состояние стержня является стационарной точкой функционала энергии на множестве функций 7 ( ) и TJ,, удовлетворяющих кинематическим ограничениям на торцах и условию несжимаемости (5.22). [c.333]
Опыт работы по обоснованию резерва мощности в ЕЭЭС СССР показал, что попытки его определения с учетом стоимостных характеристик от ограничений потребителей трудоемки и малоэффективны. В еще большей степени это проявляется в условиях изменившихся взаимоотношений в цепочке производство - распределение - потребление электрической энергии. Обоснование средств обеспечения надежности на данном этапе создания ФОРЭМ целесообразно проводить по условию минимума функционала приведенных затрат (1.8.2) без слагаемого компенсационных затрат, но при обеспечении требуемой (нормативной) надежности электроснабжения потребителей отдельных ЭЭС, т.е. [c.77]
Соотношение (2.3) в теории упругости называют теоремой Клапейрона. Из (2.3) следует, что значение функционала /(и) в стационарной точке отличается знаком от значений в стационарной точке энергии [c.85]
Рассмотрим гармонический осциллятор — материальную точку на пружинке, положение точки задается функцией x(t), кинетическая энергия равна 1Лтх2, а энергия пружины - ViAjr2. Согласно принципу Гамильтона -Остроградского истинная траектория есть стационарная точка функционала [c.184]
Линейные колебания. Принцип Рэлея. При А- -0 амплитуда колебаний стремится к нулю. Если Un К — гладкие функции и К обращается в нуль при и"( = 0, то для бесконечно малых амплитуд U можно заменить квадратичнрй формой по ик, и",-, а К — квадратичной формой по g 2К -= ркк ид tig (линейные члены отсутствуют в силу положительности U и К). Легко проверить, что стационарные точки имеют вид ик = VK (х) os в или ик = VK(X) sin в. После интегрирования по в вариационный принцип (3.3), (3.5) - (3.7) переходит в вариационный принцип Рэлея формы собственных колебаний являются стационарными точками функционала внутренней энергии ) [c.188]
Вариационный принцип Мопертюи — Лагранжа. Истинное движение идеальной сжимаемой жидкости есть стационарная точка функционала кинетической энергии [c.198]
Смотреть страницы где упоминается термин Функционал энергии
: [c.148] [c.152] [c.156] [c.85] [c.148] [c.232] [c.234] [c.251] [c.274]Смотреть главы в:
Вариационные принципы механики сплошной среды -> Функционал энергии