При решении задачи можно выбрать метод экстраполяции оценок переменных для каждого шага поиска — линейная или квадратичная (для задач с нелинейной целевой функцией), метод численного дифференцирования для целевой функции — прямые или центральные разности (для задач с нелинейной целевой функцией), метод поиска — метод Ньютона (требуется много оперативной памяти) или метод сопряженных градиентов (больше итераций). Основным ограничением модели является максимальное число переменных — 200. Несколько оптимизационных моделей на одном листе можно сохранять и загружать по мере необходимости. [c.457]
Исаак Ньютон обнаружил связь между упавшим яблоком и гравитацией. Хотя им была нарисована несколько более сложная картина естественных явлений, тем не менее, он продолжал оставаться погребенным под гнетом культуры своего времени. Классическая физика развивалась в рамках все той же логической карты мышления. "Научный метод", полученный в наследство от Аристотеля, стал общепринятым методом научных исследований и открытий, лежащих в основе современного знания. [c.30]
Можно сказать, что отыскание корней имеет отношение к математической оптимизации, так как первая производная в точке оптимума функции (т. е. на экстремуме) будет равна 0. Следовательно, вы могли бы заключить, что традиционные методы отыскания корней, например метод Ньютона, можно использовать для решения оптимизационных задач (применение собственно методов оптимизации для отыскания корней уравнения, напротив, чревато обилием трудностей). [c.183]
Это формулы итерации по методу Ньютона — Гаусса. При их использовании, если степень нелинейности.Дх) высока, а стартовое значение % далеко отстоит от минимизирующего значения, то велика вероятность раскачки АХп расходимости итеративного процесса. [c.86]
Это выражение представляет собой уравнение степени Т относительно неизвестного внутреннего процента. Уравнение может иметь точное решение только в том случае, если Т = 1 или Т = 2. В более общем случае для его решения необходимо использовать приближенные методы, среди которых наиболее известен метод Ньютона, представляющий собой итеративный метод преобразования исходного или начального значе- [c.113]
При решении многих задач в математике и ее приложениях приходится оперировать многомерными объектами, рассматривать их линейные комбинации и т.п. Методы адекватного описания таких объектов и соотношений между ними были разработаны математиками в рамках векторного и матричного исчисления, а также линейной алгебры. Область применения векторного и матричного исчисления расширилась, когда оказалось, что решение многих нелинейных задач достигается путем линеаризации. Примерами этого могут служить приближенный метод Ньютона для определения корней уравнения, а также линеаризация результатов измерений, первоначально подчиняющихся экспоненциальной или степенной закономерности, с последующей линейной аппроксимацией. [c.47]
В своем грандиозном труде Математические начала натуральной философии (1687) Ньютон намечает программу построения методов анализа на основе учения о пределе, не давая впрочем, формального определения этого понятия, получившего глубокое развитие в математике XIX века. Вклад Ньютона в математику не исчерпывается открытиями в области дифференциального и интегрального исчисления. В алгебре ему принадлежит метод численного решения алгебраических уравнений (метод Ньютона), важные теоремы об отделении корней, о приводимости уравнений и т. д. [c.109]
При нахождении экстремума целевой функции многих переменных может быть получена сложная система уравнений. Для ее решения зачастую прибегают к численным методам (итерационный, градиентный, метод Ньютона и др.). Численные методы могут быть использованы не только как вспомогательные при решении системы уравнений, но и как самостоятельные для отыскания локальных максимумов целевой функции. При выборе параметров машины может оказаться, что целевая функция линейна, линейны и ограничения, накладываемые на некоторые из переменных. В такой постановке возникает задача линейного программирования, а формулируется она в стандартном виде следующим образом. [c.212]
Наиболее надежным общим методом решения систем нелинейных уравнений является метод Ньютона имея некоторое приближение 1°, ищем поправку так, чтобы [c.116]
Сходимость метода Ньютона лишь в окрестности решения. Эти вопросы разбираются в 43. Описанная там модификация метода Ньютона [c.116]
Вообще следует иметь в виду, что в вычислительной математике нет таких ситуаций, чтобы трудности, отсутствовавшие в аппроксимирующей е-задаче, внезапно появлялись в предельной, соответствующей е=0. И в данном случае разделение задач на два типа — строго выпуклые, в которых при сколь угодно малом е единственность задачи Коши обеспечена, и предельные, не являющиеся строго выпуклыми, в которых нет единственности, нельзя, безусловно, трактовать, как возможность использовать метод Ньютона в аппроксимирующей П-задаче. Дело в том, что следует принять во внимание очень важный фактор — эффективность вычислительного алгоритма. К сожалению, мы не имеем здесь эффективных оценок, однако, ясно, что стремление е ->0 сопровождается ростом вычислительных трудностей. [c.119]
Выбор начального приближения. Модификация метода Ньютона не снимает проблемы подбора достаточно хорошего начального приближения, хотя и заметно ослабляет остроту этого вопроса. Опыт показал, что использование каких-либо содержательных соображений в целях нахождения хорошего начального приближения 1° крайне затруднительно даже в тех задачах, где подбор разумного приближения в терминах управляющей функции и (t) сравнительно прост. Пожалуй, единственным выходом является решение задачи каким-либо иным методом, достаточно надежно дающим относительно грубое приближенное решение. Такие приближенные методы в настоящее время разработаны, отличительной их чертой является то. что они дают хорошее приближение к искомому решению с точки зрения фазовой траектории х (t) и значений функционалов задачи Ff [и ( )], однако обычно довольно грубое с точки зрения управляющей функции и (t). Фигурирующий в принципе максимума вектор g тоже, как правило, получается с хорошей точностью. Создание приближенного метода решения задач оптимального управления, соединяющего надежность и эффективность с хорошей точностью по всем компонентам задачи возможно, видимо, лишь комбинированием методов грубого поиска минимума с последующим уточнением точного вида решения, основанным на использовании характеризующих его уравнений типа принципа максимума или уравнения Эйлера. [c.120]
Поясним значение этого усовершенствования для успеха всего расчета. Дело в том, что значения вектора а влияют на значениях х (Т) не прямо, а через положение нулей функции ф3 (t). В разностной схеме типа (5)—(6) зависимость Z (а) носит ступенчатый характер пока изменения параметров аа и а3 малы настолько, что нули ф3 (0 перемещаются в пределах одного счетного интервала сетки, эти изменения не влияют на а (Г) — влияние проявляется скачком при переходе нуля ф3 (t) через узел сетки. Разумеется, эти скачки имеют размеры т, однако, например, метод Ньютона основан на линеаризации зависимости Z (я) в окрестности некоторой точки Z (а+8а) Z (a)+Za a, а при ступенчатой зависимости Z от а в этой формуле появляются значительные погрешности, что и приводит к вычислительным трудностям. В схеме (5)—(6) сглаживание разрывов приводит к сглаживанию зависимости Z (о) в наших расчетах это достигается использованием формулы (7). [c.229]
Что касается используемой в методе Ньютона матрицы Zx, то она находилась численным дифференцированием по односторонней разностной формуле. Процесс решения уравнений Z (a) — Х= =0 проводился по схеме модифицированного метода Ньютона в некоторой точке а° определялись 8а=—Z 1 (a°) [Z—X] [c.229]
В методе Ньютона направление спуска 8 а определяется так, что вдоль него убывают все компоненты невязки Z(a+8a) — X, однако это убывание в силу нелинейности задачи постепенно замедляется и сменяется ростом в настоящей задаче именно так обстоит дело с компонентой х1 (Т) — X1, причем ее падение при очень малых s сменяется ростом, а в силу большого веса (см. (8)) этой компоненты начинается рост Z(a°+s8 ) — X при очень малых s. Эта ситуация усугубляется еще и влиянием ошибок численного дифференцирования при нахождении матрицы Za, так что найденное первое направление спуска оказалось даже направлением слабого роста Z(a) — X . Положение в корне изменилось после введения масштабов в определение нормы так, как это описано в 19 [c.230]
НЬЮТОНА МЕТОД [Newton method] — вычислительный алгоритм решения широкого класса экстремальных задач (на отыскание безусловного минимума функции), использующий вторые частные производные минимизируемой функции. Обладает сравнительно быстрой сходимостью (искомая точка достигает- [c.231]
Используя линейную (по параметрам) аппроксимацию исследуемой функции регрессии в окрестности точки 6Л, можно прийти к модификации метода Ньютона — методу Ньютона—Гаусса. Он существенно проще в вычислительном плане, однако бывает слишком чувствительным к эффекту слабой обусловленности используемых в нем матриц Ms. Скорость сходимости этого метода в зависимости от условий, накладываемых на регрессионную функцию и свободные параметры алгоритма, может быть линейной, сверхлинейной или квадратичной. [c.319]
Существенным недостатком методов квазиградиентного типа, в том числе метода Ньютона, метода Ньютона—Гаусса и других, является необходимость подсчета производных от искомых регрессионных функций на каждой итерации. Основная идея, на которую опираются методы, позволяющие обходиться без подсчета производных, заключается в ис- [c.319]
Для расчета установившегося режима необходимо решить систему нелинейных уравнений установившегося режима (3.4.6)-(3.4.7). Эта система решается различными итерационными методами. В практике для подобных задач используются методы Гаусса-Зейделя, Ньютона, метод Z-матрицы и различные их модификации. Наиболее часто в программах расчета установившегося режима применяется метод Ньютона как наиболее и эффективный и надежный. Опыт расчетов установившихся режимов в электроэнергетических системах методом Ньютона показал, что область сходимости этого метода практически совпадает с областью существования режима в системе. [c.211]
Хаос не относится к разряду беспорядочных структур. Скорее, истинно обратное. Хаос - более высокая форма порядка, где случайность и бессистемные импульсы становятся организующим принципом скорее, нежели более традиционные причинно-следственные отношения в теориях Ньютона и Евклида. Поскольку природа человека и его мозг хаотичны, рынки, являясь продуктом природы и отражающие мышление человека, также представляют собой хаотичные процессы. Пришло время признать, что наше традиционное обучение дает трейдерам неверное представление и неправильные логические картосхемы. Независимо от того, какого уровня сложности применяется линейная математика, с ее преобразованиями Фурье, ортогональными функциями, методами регрессии, или за-действуется искусственный интеллект, нейронные сети, генетические алгоритмы и так далее. Все это неизбежно вводит в заблуждения трейдеров на кардинально нелинейных рынках. Рынки -порождения Хаоса. [c.34]
Моментум (momentum) — одно из пяти понятий, которые могут приносить прибыль в краткосрочной торговле. Это то, что имел в виду Ньютон, когда сказал, что объект, однажды приведенный в движение, стремится оставаться в движении. Об акциях и товарных фьючерсах можно сказать то же самое начав двигаться в одном направлении, цена с наибольшей вероятностью будет продолжать идти в том же направлении. Существует почти столько же способов измерения моментума, сколько и трейдеров. Я не буду копаться во всех них, рассмотрим только те, которые, как я обнаружил, работают, а также концепции, с помощью которых я торгую. Имеются и другие подходы любой человек с творческим складом ума должен быть способен проделать тот же путь, что и я. Анализ средствами математики — это подход, который может помочь вам собрать для игры все ваши лучшие методы, концепции и формулы. Именно здесь вы имеете явное преимущество перед теми, кто способен лишь на элементарные сложение, умножение и вычитание. [c.70]
Эта переменная обозначает волатильность из формулы Блэка-Шоулса. Волатильность является наиболее важной экзогенной переменной этой модели, поскольку саму опционную торговлю, несколько упрощая, можно рассматривать как торговлю волатильностью. Считая, что BS S-модель ОРМ верна, мы можем с ее помощью определить подразумеваемую волатильность апрельских 1992 г. опционов колл всех четырех серий. Мы использовали здесь метод аппроксимации, известный как метод Ньютона-Рафсона в варианте Бенинья [37]. Цена с опциона колл есть функция величин X (цены исполнения), S (цены соответствующей акции), г (процентной ставки), а (волатильности) и т (времени до исполнения) [c.122]
Интерполяция — приближенное или точное нахождение какой-либо величины по известным отдельным значениям этой же или других величин, связанных с ней. Например, через любые я+1 точки можно всегда провести кривую, описываемую полиномом л-ой степени так, чтобы она прошла через каждую из заданных точек а/, а2,. .., <хя. Эта кривая называется интерполирующей. Здесь применяется метод Ньютона или Лагранжа. [c.25]
В классической политической экономии ведущей методологической установкой был рационализм предполагалось, что экономика, как и мир в целом, устроена разумно, и задача науки — познать экономические законы, лежащие в основе этого мироустройства, проникнуть в истинную природу явлений. Хотя образцом подлинной науки для экономистов-классиков была физика И. Ньютона (Великобритания), их собственная научная практика неизбежно отличалась от этого образца. При изучении экономических процессов в масштабе целых стран основной метод физики — строгий лабораторный эксперимент — был недоступен. На первый план вышел логический метод, а важнейшим достижением классической школы [прежде всего, Ф. Кенэ (Франция), Р. Кантильона, А. Смита и, особенно, Д. Рикардо (Великобритания)] стало формирование системы базовых научных абстракций (категорий политической экономии), выражающих структуру и функции экономической системы. На основе этой системы категорий формировались законы политической экономии и гипотезы о перспективах общественного развития, осмысливались факты и тенденции хозяйственной жизни. Однако упор на логический метод отвлекал внимание от многих практических проблем, не получивших объяснения на базе принятых теоретических предпосылок. Это стимулировало появление сначала внутренней (Т. Мальтус, Р. Джонс — Великобритания), а затем, в середине 19 в., внешней (историческая школа) критики в адрес методологии Рикардо. [c.163]
Для расчета ВИД используют специальные итерационные методы (например, метод Ньютона— Рафсона). [c.285]
Машина может выполнять 31 операцию набор алгоритмов этих операций осуществляется штекерами и фольгированными перфокартами на бесконтактном магнитном коммутаторе объемом 100 одноадресных команд. Машина решает системы дифференциальных уравнений 3-го и 4-го порядка,- находит корни и экстремумы нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений, значения определенных интегралов интерполирует по методу Ньютона и проводит квадратное интерполирование по методу Чебышева при количестве заданных точек не более 30. [c.142]
Вместо использования условий первого порядка, как это делалось в зигзагообразной процедуре, можно воспользоваться методом Ньютона-Рафсона, чтобы найти такие ф, . . . , фр, которые минимизируют функцию (12.8). Для этого нам понадобится знание производных первого и второго порядков, что дается следующей теоремой. [c.464]
Итак, известно, как вычислять градиент g((f>) и матрицу Гессе Gf(0) из (2) и (3). Метод Ньютона— Рафсона заключается в следующем. Выбирается на- [c.467]
Изложенные выше соображения совершенно аналогичны приемам, используемым в методе Ньютона (см. 43). Подчеркнем, что вопрос о выборе рациональных единиц измерения различных функционалов, решение которого неясно a priori, решается на оснований анализа объективных характеристик — числовых значений функциональных производных 8Ff[и (-)Мди ( ). Именно это обстоятельство представляется нам существенным, сам же способ нормировки хотя и естествен, но достаточно условен и связан с характером дальнейшей работы с этими производными, т. е., по существу, с используемым методом решения задачи (1). [c.175]
Сравнивая метод Нейштадта (метод поворота опорной гиперплоскости) с методом Ньютона )., можно сделать следующие выводы. [c.196]
При относительно хорошем начальном приближении 0, Т] метод Ньютона имеет заметное преимущество, быстро приводя к практически точному решению. Метод Нейштадта в этой ситуации, даже усиленный идеями метода сопряженных градиентов, сходится довольно медленно. [c.196]
Однако на стадии поиска, начинающейся с грубого приближения
В наших расчетах (облегчавшихся наличием хороших начальных приближений для ti, t2) сначала при фиксированном it находилось (2 ( г) решением (методом Ньютона) уравнения F0 (ti, t —x (t , <2). Послз этого F0 становится функцией только одного параметра f то, что эта функция определена некоторым алгоритмом, а не формулами, не очень важно. Затем метод параболической аппроксимаций позволял без особого труда найти min Fu, [c.301]
Искомыми переменными являются х, х, и /г, Tn /t. В [77] JV=12, и решение вариационной задачи свелось к дискретной задаче с 48 перемерными, с 24 условиями-равенствами (28) и 36-ю условиями-неравенствами (29). Это — изученная задача, для ее решения разработано большое число алгоритмов, включенных в систему математического обеспечения современных ЭВМ. Остается воспользоваться такой программой. Именно так и решается задача в [77], причем используется программа безусловной минимизации с помощью штрафных функций задача сводится к минимизации одной функции от 48 переменных. Минимум ищется каким-то вариантом спуска по градиенту (в других местах [77] упоминается обобщенный метод Ньютона, в котором используется матрица вторых производных минимизируемой функции). За 8 минут работы IBM-7094 было получено решение, представленное заимствованной из [77] (стр. 150) табл. 3. [c.310]