Множество Q (Q s M) всех значений х, при которых функциональный ряд (8.3) сходится (как числовой ряд), I называется областью сходимости этого ряда. [c.174]
О Пример. Найдем область сходимости степенного ряда [c.176]
Таким образом, область сходимости степенного ряда Q = = [-2, 2[. [c.177]
Степенной ряд внутри его области сходимости [c.177]
Перейдем к вопросам сходимости в вычислительной схеме Н. Н. Моисеева. Основное осложнение связано с тем, что теперь в разностной задаче (7) точки х могут принимать лишь дискретные значения а ., принадлежащие сетке 5. Поэтому в принципе может оказаться, что ни для какой пары точек из соседних сеток я., ж +1 не удастся построить соединяющей их траектории (1) на малом интервале [tt, t +1]. В этом случае разностная задача просто не имеет решения. Чтобы избежать этой опасности, следует наложить определенные ограничения на /г-шаг сетки по фазовым координатам. Кроме того, нужно гарантировать разрешимость элементарной операции. Эти вопросы исследовались в работах [56], [37]. Разрешимость разностной задачи и сходимости численного решения к решению задачи (1)—(5) была доказана в предположении некоторых свойств непрерывности функции Беллмана решаемой задачи. Однако для практики вычислений более существенным является другое условие шаги сетки hr по r-й компоненте фазового пространства должны быть связаны с шагом сетки по времени т соотношением ftr=T1+P>-, где рг 1 — некоторые числа, зависящие от строения области достижимости за малое время т для системы (1). Напомним, что областью достижимости D (Z, t) называется совокупность правых концов траекторий системы x=f (х, и), х (0)=z при произвольных измеримых и (t), и ( ) U, О t т. В работе автора [93] те же вопросы были решены только с одним предположением h—0 (t2). При этом под элементарной операцией следует понимать решение следующей простой геометрической задачи, являющейся аппроксимацией дифференциальной на малом интервале времени. Для расширенной системы (1) (пополненной уравнением x°=f(x, u), х° (0)=0) строится в каждой точке х область x- -tf (х, U) (если / (х, U) не выпукла, следует заменить ее выпуклой оболочкой). Далее эта область расширяется присоединением всех сфер радиуса ft2 с центрами в ж+т/ (x1U), Полученную область в пространстве х°, х1,.. ., хп обозначим DT (х), а ее проекцию на гиперплоскость х1, а 2,. ... . ., х" — jD (х). Если шаги сеток А=ста, то при определенном соотношении между с и С можно утверждать, что для любой точки xlj 5" найдется хотя бы одна точка xj.+i 5 41 такая, что [c.125]
Предположение о строгой выпуклости области достижимости D существенно ограничивает область применимости метода, причем нарушение строгой выпуклости не только лишает силы доказательство сходимости, но и ликвидирует саму сходимость. В реальных нелинейных задачах проверка строгой выпуклости D фактически невозможна, предполагать же ее имеющей место нет никаких оснований. Так, в первой же задаче, в которой была численно найдена граница D (см. 29, рис. 26), область D оказалась вогнутой. [c.190]
Этим и заканчивается стандартный шаг процесса максимизации t (
Это — достаточно сложная задача, как ее решать — не совсем ясно. Можно несколько упростить ее, требуя не минимизации jP0, а лишь выполнения неравенства bF0 [М, v(-)] < 0. Это, конечно, сделает процесс построения минимизирующей последовательности" менее эффективным" (замедлится скорость сходимости к экстремуму). Можно избрать и промежуточный вариант, выбирая множество Д/Тиз каких-то разумных соображений, а " для определения v ( ) решая все-таки задачу на условный экстремум. Но и после этого задача остается сложной, а ведь ее предстоит решать многократно. К тому же, работая в условиях невыпуклой области f (x, U), мы можем столкнуться с проблемой нелокального экстремума. Таким образом, этот подход реализуем, видимо, лишь в двух ситуациях [c.199]
Теперь мы докажем характерную теорему о сходимости метода наискорейшего спуска. Эта теорема, в частности, позволит уточнить требования к точности определения шага спуска s. Обозначим через R (у) область re-мерного пространства, определяемую условием х R (у) / (х) . / (у). Функцию / (х) будем считать гладкой (достаточно непрерывности вторых производных). [c.395]
На рис. 13.5-13.8 показаны диаграммы корреляционных интегралов для четырех рынков. Линейные области на каждой диаграмме могут быть использованы для построения регрессий. На рис. 13.9-13.12 показана сходимость к фрактальной размерности. В табл. 13.1 дана сводка результатов. [c.198]
Предположим сейчас, что ряд (20) имеет радиус сходимости г Т> 1 и не имеет нулей в области z < 1. В этом предположении вопрос о значениях коэффициентов а в представлении (11) оптимального линейного прогноза hn решается следующим образом (см. подробнее, например, в [439 гл. VI, 6]). [c.182]
Здесь (и до конца этого параграфа) V — область в и-мерном пространстве / , d"x = dxl. . . dx", малые латинские индексы пробегают значения 1, 2,. . . , п. Через u"t обозначены частные производные Эм /Э.г. Множество допустимых функций Jf состоит из функций ик, определенных и непрерывных вместе со своими первыми производными в замкнутой области V. Функция предполагается дважды дифференцируемой функцией своих аргументов. Область V считаем ограниченной ), для того чтобы не обсуждать вопроса о сходимости интеграла, а ее границу — кусочно-гладкой. [c.14]
Для расчета установившегося режима необходимо решить систему нелинейных уравнений установившегося режима (3.4.6)-(3.4.7). Эта система решается различными итерационными методами. В практике для подобных задач используются методы Гаусса-Зейделя, Ньютона, метод Z-матрицы и различные их модификации. Наиболее часто в программах расчета установившегося режима применяется метод Ньютона как наиболее и эффективный и надежный. Опыт расчетов установившихся режимов в электроэнергетических системах методом Ньютона показал, что область сходимости этого метода практически совпадает с областью существования режима в системе. [c.211]
Область сходимости 174 Оболочка линейная 86 Обратная пропорциональность 18 Объединение множеств 26 Ограничений снстема 185 Окрестность точки 76 Опорное решение 192 [c.328]
Слаборазвитым государствам не под силу реализовать весь ком-сс эффективных мер по защите окружающей среды. Поэтому для ения глобальной экологической проблемы нужно объединить уси-всех стран и народов мира. В частности, международное сотрудни-во требуется для защиты природы в местах, расположенных вне шальных границ (Мировой океан, Антарктида и т.п.). Назрела Сходимость подчинить хозяйственную деятельность общим станам и нормам экологической безопасности, с помощью между народ-средств принимать быстрые меры для ограничения и ликвидации рба в случае чрезвычайных происшествий глобального масштаба. Имеются ли у человечества материальные возможности для решения ейших глобальных проблем Мощные ресурсы для этих целей зало-ы в сокращении военных расходов и конверсии военной промыш-юсти. Ведь в 80-е годы суммарные мировые затраты труда, связан-со всеми видами военной деятельности, составляли 100 млн.челове-[ет в год. В военной области было занято почти 40% всех ученых геты. Общая величина военных расходов составила 1 трлн. долл., что ю примерно 6% мирового валового национального продукта. Кроме [c.561]
Первый такой алгоритм, называемый симплекс-методом, был предложен американским математиком Джорджем Данцигом в 1947 г. С тех пор появились различные модификации этого алгоритма, ускоряющие сходимость алгоритма к оптимальному решению. Кстати, симплекс (лат. simplex) означает замкнутую область в многомерном пространстве (область допустимых планов). [c.61]
Достаточное число итераций алгоритма Кохонена для покрытия области эталона в СП минимальным числом НЭ и сходимости сети равно тридцати, что соответствовало в среднем 5-ти секундам обучения на слог с Pentium-100. [c.116]
В методе стохастических квазиградиентов предполагается, что допустимая область X позволяет осуществить операцию проектирования., К сожалению, существующие методы решения вспомогательной задачи далеко не во всех случаях оказываются конструктивными. Чтобы обойти возникающие при этом трудности, предлагается сочетать метод стохастических квазиградиентов с методом штрафных функций. При некоторых условиях удается доказать сходимость соответствующей рекуррентной процедуры к решению задачи (4.3). [c.360]
Одним из важных этапов исследования надежности параллельной работы является определение областей существования (апериодической статической устойчивости) многообразия исходных и послеаварийных режимов сложных энергообъединений. В настоящее время этот анализ осуществляется путем расчета последовательного утяжеления режима по заданной траектории - вектору изменения режима (ВИР), причем оценка предельных условий осуществляется главным образом по контролю сходимости итерационного процесса. Этот этап анализа надежности является одним из наиболее трудоемких и плохо поддающихся автоматизации. Настоящий раздел посвящен описанию способа аппроксимации области существования, позволяющего с достаточной точностью получить границу этой области в пространстве активных мощностей электростанций, без многократного решения уравнений сбалансированного установившегося режима, утяжеляемого в заданном направлении. [c.168]
Так, шаг за шагом, сочетая линейные приближения, движение по градиенту и не строго формализованные решения, осуществляют вползание в почти стационарную область. Вся процедура напоминает итерационные схемы в вычислительной математике. Выбором интервалов варьирования и шагов на градиенте определяется быстрота сходимости метода оптимума. [c.238]
Особый интерес представляет одно из них, а именно — свойство аппроксимации плотности. В работе Паже (Pages, 1993) показано, что алгоритм СОК, завершающийся полным отсутствием соседей у нейрона-победителя в конце обучения, сходится, что соответствует сходимости классического метода гиногопараметри-ческого квантования или, иными словами, соревновательного обучения. Автор этой работы показывает, что после квантования нейроны представляют собой неплохой дискретный каркас для реконструкции начальной плотности при условии, что каждый нейрон взвешивается вероятностью, оцениваемой по частоте его области Вороного. При условии адекватного взвешивания нейронов полученный результат показывает, что начальные данные могут быть восстановлены, причем сам результат является точным, если число нейронов стремится к бесконечности. [c.66]