Радиус-вектор точки 75 Радиус сходимости 176 Разложение вектора 45 — определителя 63 [c.329]
Перейдем к вопросам сходимости в вычислительной схеме Н. Н. Моисеева. Основное осложнение связано с тем, что теперь в разностной задаче (7) точки х могут принимать лишь дискретные значения а ., принадлежащие сетке 5. Поэтому в принципе может оказаться, что ни для какой пары точек из соседних сеток я., ж +1 не удастся построить соединяющей их траектории (1) на малом интервале [tt, t +1]. В этом случае разностная задача просто не имеет решения. Чтобы избежать этой опасности, следует наложить определенные ограничения на /г-шаг сетки по фазовым координатам. Кроме того, нужно гарантировать разрешимость элементарной операции. Эти вопросы исследовались в работах [56], [37]. Разрешимость разностной задачи и сходимости численного решения к решению задачи (1)—(5) была доказана в предположении некоторых свойств непрерывности функции Беллмана решаемой задачи. Однако для практики вычислений более существенным является другое условие шаги сетки hr по r-й компоненте фазового пространства должны быть связаны с шагом сетки по времени т соотношением ftr=T1+P>-, где рг 1 — некоторые числа, зависящие от строения области достижимости за малое время т для системы (1). Напомним, что областью достижимости D (Z, t) называется совокупность правых концов траекторий системы x=f (х, и), х (0)=z при произвольных измеримых и (t), и ( ) U, О t т. В работе автора [93] те же вопросы были решены только с одним предположением h—0 (t2). При этом под элементарной операцией следует понимать решение следующей простой геометрической задачи, являющейся аппроксимацией дифференциальной на малом интервале времени. Для расширенной системы (1) (пополненной уравнением x°=f(x, u), х° (0)=0) строится в каждой точке х область x- -tf (х, U) (если / (х, U) не выпукла, следует заменить ее выпуклой оболочкой). Далее эта область расширяется присоединением всех сфер радиуса ft2 с центрами в ж+т/ (x1U), Полученную область в пространстве х°, х1,.. ., хп обозначим DT (х), а ее проекцию на гиперплоскость х1, а 2,. ... . ., х" — jD (х). Если шаги сеток А=ста, то при определенном соотношении между с и С можно утверждать, что для любой точки xlj 5" найдется хотя бы одна точка xj.+i 5 41 такая, что [c.125]
Сходимость метода едва ли должна быть очень быстрой она зависит от радиуса кривизны границы D в окрестности искомой точки Хе. Определенные трудности должны возникнуть и в связи с тем, что R (g) вычисляется не очень точно алгоритмом поиска в функциональном пространстве. Стоимость одного шага (7) [c.190]
По признаку Даламбера степенной ряд сходится абсолютно 1при л <2, а при д > 2 абсолютной сходимости у него нет. Следовательно, радиус сходимости ряда R =2. Иссле- [c.176]
В банаховом пространстве естественно возникает понятие сходимости по норме или сильной сходимости. Именно, последовательность ип сильно сходится к и0. если и - и0 -> 0 при и -> °°. Однако сильная сходимость не очень полезна для теорем существования минимизирующего элемента, так как ограниченные замкнутые множества (замкнутые множества, лежащие в шаре II w < R конечного радиуса R), в- отличие от конечномерного пространства некомпактны. Оказывается, что ограниченные замкнутые множества в банаховом пространстве могут быть компактны относительно слабой сходимости последовательность ип слабо сходится к м0, если для любого линейного непрерывного1) функционала /(м) 1(и ) -> /(MO) при и- 00. Подобные банаховы пространства часто возникают в приложениях к их числу относятся, например, гильбертовы пространства (линейные пространства, в которых определено скалярное произведение (и, v), а норма вводится по правилу II ы = (и, и)). В дальнейшем, говоря о банаховом пространстве, будем считать, что его ограниченные замкнутые множества слабо компактны. [c.81]