В этой связи следует остановиться на еще одном (эмпирическом) подходе к понятию волатильности, определение которой использует формулу Блэка и Шоулса к реальные цены опционов на рынке ценных бумаг. [c.417]
Id. Формула Блэка и Шоулса. Ш. Модель с дивидендами.....923 [c.416]
Из (30), (26) и (32) получаем, как и было указано в начале этого пункта, несколько иной вывод формулы Блэка и Шоулса (9) для Ст- [c.429]
Следующий шаг на пути к формуле Блэка и Шоулса (т.е. к формуле для [c.431]
Полагая здесь t = 0 и S = SQ, получаем искомую формулу Блэка и Шоулса (9). В 1Ь было показано, что портфель тг = (/ t,7t)t
В заключение отметим следующие обстоятельства, касающиеся двух приведенных выводов формулы, Блэка и Шоулса. [c.432]
Id. Формула Блэка и Шоулса. III. Модель с дивидендами [c.433]
Согласно формуле Блэка и Шоулса (см. (9) в 1Ь), [c.438]
Тем не менее, в прошлом предпринимались интересные попытки применить формулу Блэка и Шоулса (1973 год) к оценке патентов. Как подсказывает интуиция, рыночный бенчмаркинг, безусловно, представляет собой интересный способ определения исходных параметров, необходимых для расчета стоимости патента как опциона. В этом случае косвенно подразумевается, что можно найти такой реально проданный опорный объект или портфель объектов ИС, которые демонстрируют такую же волатильность, что и объект патента или группы патентов, подлежащие оценке. Кроме того, существует немало эмпирических доказательств того, что рыночная стоимость корпораций связана с их пакетом ИС1. В общем и целом такие выводы оправдывают применение рыночного бенчмаркинга для оценки патентов. [c.63]
Как и при соотнесении показателей с различными исходными параметрами формулы Блэка и Шоулса (1973 год), аналогичная проблема возникает и на другом этапе процесса оценки. На сегодня мало известно о том, можно ли при расчете ожидаемой текущей стоимости денежных потоков линейно суммировать значения показателей. В большинстве исследований, указанных в пункте 2.2.2.1, обосновывается использование показателей в редуцированной форме. Однако это не означает, что простое сложение значений показателей будет наиболее подходящим способом расчета исходных параметров для оценки реальных опционов. Кроме того, веса параметров могут значительно различаться в зависимости от рассматриваемых отраслей промышленности и компаний. Немногое известно и о том, что именно одна прогрессивная ссылка, регрессивная ссылка или одно оспаривание могут означать для экономической стоимости какого-либо патента. Следующий отрывок из выводов одного эмпирического исследования является неполным и имеет своей целью создать только общее представление. [c.85]
Приведем теперь тот оригинальный вывод формул ы Блэка и Шоулса для рациональной стоимости опционных контрактов, который был независимо дан Ф. Блэком и М. Шоулсом, [44], и Р. Мертоном, [346], в 1973 году. [c.430]
По мере того как опционные трейдеры дошли до сути формулы Блэка-Шоулса, они начали покупать и продавать волатильность, как будто она была активом. Во многих отношениях опционная премия стала способом получения прибыли от периодов высокой (или низкой) неуверенности. Волатильность, все чаще и чаще рассматриваемая в качестве товара, начала накапливать свои собственные торговые характеристики. В общем, волатильность считалась "возвратной к среднему". Подъемы волатильности, вероятнее всего, сопровождались спадами, когда волатильность возвращалась к конечному среднему значению, подразумеваемому из нормального распределения. Волатильность имела свои собственные тренды. Как ни странно, подразумеваемая волатильность была также высоко волатильной, и эта [c.144]
Реализованная волатильность - статистический артефакт, рассчитываемый как характеристика другого процесса. Подразумеваемая волатильность выходит из формулы. Ее связь с действительностью является мерой того, насколько формула связана с действительностью. Изучение подразумеваемой волатильности во многих отношениях представляет собой проверку предположений формулы Блэка-Шоулса. Если волатильность действительно является конечным процессом, то подразумеваемая волатильность, которая, как предполагается, является мерой мгновенной волатильности, также должна быть конечна и устойчива. Это будет или случайное блуждание, или постоянный ряд, который может быть предсказан, также как и доходность акций. [c.148]
Подразумеваемая волатильность очень схожа с реализованной волатильностью. Она имеет фактически тот же самый показатель Херста, Н = 0,44, который на 3,95 стандартных отклонений ниже Е(Н) = 0,56. Фактически, существует мало различий между временным рядом подразумеваемой волатильности и временным рядом реализованной волатильности. Однако подразумеваемая волатильность действительно имеет более высокое значение Н, что указывает на то, что она ближе к белому шуму, чем реализованная волатильность. С одной стороны, этот факт обнадеживает сторонников использования формулы Блэка-Шоулса для вычисления [c.148]
В предположении, что процентная ставка г банковского счета равна нулю, формула Блэка и Шоулса дает следующее выражение для рациональной стоимости С — Е(5т — К)+ стандартного ошшона-колл [c.24]
По поводу общей формулы Блэка и Шоулса в случае г 0 см. гл. VIII.) Интересно отметить, что, согласно (7), при К = SQ [c.24]
Эта стандартная диффузионная модель была в 1973 году рассмотрена при расчетах стоимостей опционов Ф. Влэком и М. Шоулсом, [44], и Р. Мертоном, [346]. И именно с этой моделью связана знаменитая формула Блэка и Шоулса для рациональной (справедливой) стоимости оппионов-колл Европейского типа. (Этим вопросам далее посвящается гл. VIII.) [c.345]
Формула Блэка и Шоулса для С (см. (9) в 1Ь, гл. I, и, более подробно, в 1Ь,с в гл. VIII) дает явную зависимость этой стоимости от значения волатилъности а, момента исполнения Т и цены исполнения К. [c.347]
Вопрос об отыскании решения этого уравнения, сводящийся, по крайней мере в случае r(t, s) = о — onst, к решению стандартного уравнения Фейнмана-Каца (см. (19) в 3f, гл. III), будет рассматриваться в связи с формулой Блэка и Шоулса для случая /(Т, S) — (S — К)+ в гл. VIII. Сейчас же отметим следующие обстоятельства. [c.391]
Модель геометрического броуновского движения (2) была предложена в 1965 году П. Самуэльсоном в работе [420], и именно она легла в основу модели Блэка-Мертона-Шоулса, с которой связана знаменитая формула Блэка и Шоулса для рациональной стоимости стандартного опцио-на-колл Европейского типа с функцией выплат fa = (Зт — К)+, полученная в 1973 году в работах [44] и [346]. [c.422]
Подставляя сюда значения a — S0erT и b = a /T, приходим к формуле Блэка и Шоулса (9). Теорема доказана. [c.424]
Я думаю, что в действительности все эти три проблемы порождают серьезные вопросы при обсуждении реальности применения метода реальных опционов для оценки патентов. Кроме того, я полагаю, что в конкретном случае, когда речь идет об оценке какого-либо патента, зачастую бывает сложно оценить даже такие параметры, как инвестиционные затраты и сроки инвестирования. Другими словами, оценка любого из параметров, входящих в формулу Блэка и Шоулса (Блэк и Шоулс, 1973 год) или даже в более сложные модели, дополнительно усугубляет проблемы, связанные с оценкой патентов1. [c.62]
В отношении модели, учитывающей комбинированность опционов, см. Гес-ке (1979 год). Вообще-то характер патента как комбинированного опциона отчетлив. Один из примеров, иллюстрирующих комплексный характер опциона, упоминается у Пейкса (1986 год). Владелец патента (опциона) получает дополнительный опцион в плане принятия решения о возобновлении или невозобновлении своего патента по истечении определенного периода времени. С учетом целей настоящего документа я не буду останавливаться на проблемах, связанных с применением к патентам формулы Блэка и Шоулса (1973 год), вследствие комбинированного характера опционов на патенты. Я не буду представлять здесь формальные выкладки. Однако необходимо помнить, что оценка патентов на основе метода реальных опционов может даже потребовать создания более сложных моделей, чем модель Блэка и Шоулса (1973 год). [c.62]
Количество притязаний в патентной формуле может представлять интерес в качестве показателя стоимости патента в силу различных причин. С теоретической точки зрения есть основания полагать, что оно отражает текущую стоимость денежных потоков, генерируемых патентом, операционализируя его объем. В то же время количество притязаний в патентной формуле само по себе отнюдь не является сколько-нибудь убедительным показателем. Кроме того, это количество трудно соотнести только с одним исходным параметром какой-либо оценки патента как реального опциона с использованием формулы Блэка и Шоулса (см. ниже). Однако все же существуют предварительные эмпирические доказательства его объективности в качестве одного из показателей стоимости. В том что касается доступности и затрат на вычисление, данный показатель является несколько менее привлекательным по сравнению с другими, так как до недавнего времени данные по нему нельзя было получить в электронном виде. Сейчас ситуация изменилась. [c.81]
Эта переменная обозначает волатильность из формулы Блэка-Шоулса. Волатильность является наиболее важной экзогенной переменной этой модели, поскольку саму опционную торговлю, несколько упрощая, можно рассматривать как торговлю волатильностью. Считая, что BS S-модель ОРМ верна, мы можем с ее помощью определить подразумеваемую волатильность апрельских 1992 г. опционов колл всех четырех серий. Мы использовали здесь метод аппроксимации, известный как метод Ньютона-Рафсона в варианте Бенинья [37]. Цена с опциона колл есть функция величин X (цены исполнения), S (цены соответствующей акции), г (процентной ставки), а (волатильности) и т (времени до исполнения) [c.122]
Определить стоимости опционов в условиях четырехггапной биномиальной модели и по формулам Блэка-Шоулса. [c.209]
Мы видели в данной книге важные подтверждения фрактальных распределений, так что кажется уместным вспомнить о более ранней работе Фамэ и Самуэльсона в надежде, что другие исследователи в дальнейшем разовьют ее идеи. В этой главе мы как раз это и сделаем. Кроме того, мы рассмотрим работу Маккаллока (M ullo h, 1985), который вывел альтернативу формуле опционного ценообразования Блэка-Шоулса, используя устойчивые распределения Леви. Учитывая широко распространенное использование формулы Блэка-Шоулса, представляется уместным исследовать ее более общую форму. [c.209]
В Главе 10, мы обсуждали формулу Блэка-Шоулса (Bla k, S holes, 1973). Важно помнить, что основная формула предназначена для "европейских" опционов -опционов, которые могут быть исполнены только по наступлении срока. Мы обсуждали использование уравнения (10.1) для изучения волатильности, но его первоначальная цель состояла в вычислении справедливой цены опциона. Кажется, что формула работает достаточно хорошо, когда опцион имеет нулевую внутреннюю стоимость, или близкую к нулю, но большинство опционных трейдеров находит, что формула ненадежна, когда опционы находятся глубоко "без-денег" (out-of-the-money). Опционы всегда будут иметь стоимость, даже когда формула Блэка-Шоулса говорит, что они фактически должны стоить ноль. Существует много объяснений этого систематического отступления от формулы. Самое разумное - толщина отрицательного хвоста в наблюдаемом частотном распределении прибылей по акциям. Рынок знает, что вероятность большого события больше, чем говорит нам нормальное распределение, и оценивает опцион соответственно. [c.215]
Формула Блэка-Шоулса была сложной, но ее можно было понять в терминах простого арбитражного аргумента. Формула Маккаллока имеет схожий арбитражный аргумент, но сама формула кажется еще более сложной, чем ее предшественник. Она также кажется менее точной. Формула Блэка-Шоулса определяла цену досрочного выкупа, на основании соотношения между курсом акций и ценой исполнения формула Маккаллока определяет ее на основании соотношения между форвардной ценой и ценой исполнения. Маккагшок знал об этой проблеме и заявил "Если форвардный курс F по какой-либо причине не наблюдается, мы можем использовать цену спот S для его замены, если мы знаем безрисковую процентную ставку без г2 на А2 деноминированных займов, так как арбитраж требует [c.219]
В таблице 15.3, также воспроизведенной из работы Маккаллока (M ullo h, 1985), альфа и бета считаются постоянными и равными 1,5 и 0,0 соответственно вместо них изменяются Xo/f. Как и следовало ожидать, увеличение (которое эквивалентно увеличению волатильности в формуле Блэка-Шоулса) приводит к [c.221]
Осознанию важности понятия волатильности во многом способствовала известная работа Ф. Блэка и М. Шоулса [44], 1973 г., в которой была дана формула для справедливой (рациональной) стоимости Ст стандартного оппиона-колл (см. 1Ь в гл. I). Согласно этой формуле, величина Ст не зависит от /j, (факт, на первый взгляд, удивительный ), но зависит от значения волатильности а, входящей в формулу, определяющую эволюцию цен акций S = [c.417]
Как видно из изложенного, первоначально предложенный Ф. Блэком и М. Шоулсом [44] и Р. Мертоном [346] метод, основанный на рассмотрении фундаментального уравнения, вовсе не аппелирует к мартингальным мерам, а устанавливает непосредственно полноту и структуру "оптимального" хеджа, исходя из единственности решения этого уравнения. (Существование здесь мартингальной меры можно извлечь из вероятностного представления получаемого решения ср. с формулой Фейнмана-Кала в 3 ,гл.Ш.) [c.395]
Смотреть страницы где упоминается термин Формула Блэка и Шоулса
: [c.24] [c.346] [c.347] [c.487] [c.416] [c.416] [c.421] [c.430] [c.432] [c.525] [c.85] [c.35] [c.112] [c.144] [c.19]Основы стохастической финансовой математики Т.2 (1998) -- [ c.24 ]