Замечание. Фрактальное броуновское движение с Н 6 (0, ) U ( , 1) не является семимартингалом, [304], и поэтому для него отсутствуют мартингальные меры см. подробнее 2с, гл. III. Это обстоятельство является косвенным указанием (ср. с утверждение "первой фундаментальной теоремы" в 2d, гл. V) на возможность (но не необходимость ( )) возникновения в этих и подобных моделях арбитра жа. [c.83]
Важность понятий локального мартингала, мартингального преобразования и обобщенного мартингала в финансовой математике в полной мере будет проиллюстрирована в гл. V. Эти понятия играют важную роль и в стохастическом исчислении, что можно продемонстрировать, например, следующим образом. [c.124]
Мера локально мартингальная 844, 888 [c.482]
Мера минимальная мартингальная 584, 731 [c.482]
Мера случайная мартингальная 586 [c.483]
Конструкция мартингальных мер с помощью [c.2]
Именно это обстоятельство, имеющее место и в более общем случай, объясняет, почему меры Р из класса (Р) принято в финансовой математике называть мартингальными мерами. [c.26]
Однако появление мартингальных мер носит более глубокий характер, поскольку их наличие самым непосредственным образом связано с отсутствием арбитражных возможностей на рассматриваемом (Б,5)-рынке. [c.26]
Сделаем теперь следующее предположение относительно множества мартингальных мер (Р) [c.27]
Более "тяжелым" является сделанное выше допущение ( 4 ) относительно слабой компактности семейства мартингальных мер с предельной мерой, сосредоточенной в двух точках а и Ь. На самом деле, это не такое уж "страшное" предположение, если исходить из априорного допущения, что в окрестностях точек а и Ь есть ненулевые Р-массы, т. е. для всякого е > 0 вероятность Р[а, а + е] > 0 тл Р[Ь - , Ь] > 0. Тогда, если есть хотя бы. одна такая мартингальная мера Р Р (т. е. обладающая [c.28]
Замечание. Сопоставление результатов теорем 1, 2 и 3 показывает, что если исходная вероятностная мера Р достаточно "размыта" имея массы в окрестностях точек а, г и Ь, то класс мартингальных мер (Р) так же "богат", как и класс , ив неравенствах С С (Р) и С (Р) С достигаются равенства. [c.32]
Тогда единственной (мартингальной) мерой, эквивалентной мере Р и удовлетворяющей свойству (7) из предыдущего параграфа, является мера Р такал, что [c.33]
I) если класс мартингальных мер не пуст, [c.34]
При оперировании с последовательностями X = ( Х" ), являющимися мартингалами, важно указывать не только меру Р, но и поток а-алгебр ( п)) относительно которых выполнены "мартингальные" свойства [c.41]
Отсюда заключаем, что все j = 0 и, значит,. Х" = 0 (Р-п.н.). Однако мартингальная мера не может существовать [c.42]
В то же самое время эти доказательства носят характер "доказательств существования" мартингальных мер, без явной их конструкции и уж, конечно, без явного описания всех мартингальных мер Р, эквивалентных мере Р. [c.45]
В том случае, когда d — , доказательство необходимости существования мартингальной меры Р Р (при условии отсутствия на рынке арбитража) вытекает из утверждения леммы 2. [c.50]
Конструкция мартингальных мер с помощью абсолютно непрерывной замены меры [c.64]
Пусть (fi, 3-, ( n)-i Р) исходное фильтрованное вероятностное пространство, п 0. Рассматривая вопрос о мартингальных мерах, относи- [c.80]
Пусть X - действительнозначная случайная величина и Ф(а) = ЕеаХ. (Предполагается, что Ф (а) < оо, а б К.) Тог да понятно, что случайная величина S = ех обладает (относительно исходной меры) "мартингальным" свойством Е5 = 1, если Ф(1) = 1. [c.361]
При описании динамики цен и расчетах, например, стоимостей производных финансовых инструментов мы будем придерживаться той точки зрения, что рынок ведет себя так, что на нем отсутствуют арбитражные возможности. С математической точки зрения эта экономически понятная концепция приводит, по-сушеству, к тому, что существует так называемая мартингальная (риск-нейтральная) вероятностная мера, относительно которой (нормированные) цены оказываются мартингалами, что дает, в свою очередь, возможность использования хорошо развитого аппарата "стохастического исчисления" для изучения их эволюции и для разного рода расчетов. [c.42]
Можно тем самым сказать, что предположение мартингальности цен ( X ) соответствует тому экономически понятному допущению, что на "хорошо организованном1 рынке наилучший (по крайней мере в среднеквад-ратическом смысле) прогноз значения цены на "завтра" "послезавтра". . . по данным на "сегодняшний" день есть значение цены "сегодня" [c.73]
Далее мы увидим, что предположение безарбитражности приводит к тому, что существует, вообще говоря, целый спектр ("мартингальных") мер, относительно которых (нормированные) цены являются мартингалами, что является своеобразной формой того, что у рынка может быть не единственное, а целый спектр устойчивых состояний, что несомненно связано с тем, что участники рынка имеют разные целевые установки, разные временные периоды на обработку и усвоение поступившей информации. [c.81]
Как уже было сказано выше, математически безупречной теорией, которой мыв настоящей книге следуем, является " Теория арбитража". В этой связи следует подчеркнуть, что каждая из концепций эффективности, безарбитражности, фрактальности ни в коей мере не заменяет другую. Они дополняют друг друга, и, например, многие безарбитражные модели обладают фрактальной структурой, а фрактальные пропессы могут быть (относительно мартингальных мер) мартингалами (и тогда соответствующий рынок является безарбитражным), но могут быть и не мартингалами, как, например, фрактальное броуновское движение (см. 2с, гл. Ш). [c.82]
Иногда для M si и М используются также обозначения ЛС-щ Р, ( п)) vt.Jt(P,( n)), если надо подчеркнуть, относительно какой меры Р и какого потока (S n) рассматривается свойство "мартингальности" [c.120]
Кабанов Ю. М., КрамковД. О. Отсутствие арбитража и эквивалентные мартингальные меры новое доказательство теоремы Харрисона-Плиски // Теория вероятностей и ее применения. 1994. Т. 39. №3. С. 635-640. [c.469]
Непустота же класса Я (Р) П Й (Р) (для любого платежного поручения /) оказывается связанной с вопросом единственности мартингаль-ной меры, т. е. с вопросом о том, когда множество мер (Р) состоит всего лишь из рдной (мартингальной) меры, скажем, Р, которая эквивалентна мере Р (Р Р). [c.35]
Следующий контрпример В. Шахермайера (W. S ha hermayer, [424]) показывает, что в случае d=oo(nJV = l) может иметь место "безарбит-раж" но не существовать "мартингальной" меры, т. е. при d = оо "необходимость" в сформулированной теореме, вообще говоря, может и не иметь места. [c.42]
Следующий контрпример относится к возможности справедливости "достаточности" в теореме в случае N = со. Именно, он показывает, что наличие мартингальной меры еще не гарантирует отсутствия арбитража, т. е. может иметь место арбитражная возможность в смысле, объясняемом ниже. (Обратим внимание на то, что в приводимом контрпримере цены S принимают не только положительные значения. В этом смысле он может показаться несколько искусственным.) [c.43]
Именно на этом пути явного построения мартингальной меры и будет далее строиться доказательство, следуя идеям работы Роджерса (L. С. G. Rogers) [407] и методам построения эквивалентных мер, основанным на "условных преобразованиях Эшера" [c.46]
Для пояснения идеи построения рассмотрим сначала одношаговую модель (N = 1), считая, для простоты, d = 1, BO = BI = 1, Q = 0, П . Мы будем считать также, что P(Sj. SQ) > 0. В противном случае мы имели бы неинтересный тривиальный рынок и в качестве требуемой мартингальной меры могли бы взять исходную меру Р. [c.46]
Данная выше конструкция мартингальной меры, основанная на "условном преобразовании Эшера" давала лишь одну конкретную меру, хотя класс всех таких мер, эквивалентных исходной, может состоять и из более чем одной найденной меры. Следующий раздел будет посвящен изложению некоторых подходов, в основе которых лежит идея преобразования Гирсанова" для конструкции семейств мер Р, абсолютно непрерывных или эквивалентных исходной мере Р, относительно которых последовательность нормированных цен оказывается мартингалом. [c.52]
Приводимая ниже теорема А представляет естественное расширение формулировки первой фундаментальной теоремы, давая разные эквивалентные характеризапии безарбитражности и проясняя структуру множества мартингальных мер. (Формулировка и доказательство этой теоремы даются, следуя работе [251].) [c.53]