В современном стохастическом исчислении, пожалуй, более важную роль играет не понятие мартингала, а понятие локального мартингала. Замечательным является то обстоятельство, что хотя класс локальных мартингалов шире класса мартингалов, он сохраняет многие важные свойства последних. Дадим ряд определений. [c.119]
Замечание 1. В определение локального мартингала часто включают требование, чтобы последовательность X Tk была при каждом k 1 не только мартингалом, но равномерно интегрируемым мартингалом (см., например, [250]). [c.121]
Из определения 4 следует, что всякий мартингал является локальным мартингалом и, тем самым, [c.121]
Важность понятий локального мартингала, мартингального преобразования и обобщенного мартингала в финансовой математике в полной мере будет проиллюстрирована в гл. V. Эти понятия играют важную роль и в стохастическом исчислении, что можно продемонстрировать, например, следующим образом. [c.124]
Термин "компенсатор" объясняется тем, что А компенсирует X до локального мартингала.) [c.125]
В заключение приведем один простой, но полезный результат из [251], дающий достаточные условия, при которых локальный мартингал в действительности есть (просто) мартингал. [c.125]
Важный результат общей теории мартингалов состоит в том, что всякий локальный мартингал М допускает (вообще говоря, не единственное) разложение [c.362]
Непосредственно видно, что (М, N) является предсказуемым процессом ограниченной вариации, причем MN — (М, N) есть локальный мартингал. [c.370]
Из формулы (5) следует, что MN — [М, N] также является локальным мартингалом. Следовательно, если мартингалы Mw.N принадлежат классу ffl o , то [М, N] — (М, N) - локальный мартингал. [c.370]
Наряду с уже использованным выше представлением локального мартингала М в виде М = м0+м +М"сМ" е Уп 1ОС, м е j [c.370]
Отсюда видно, что по новой мере Р последовательность (Лп)п<лг ведет себя как локальная мартингал-разность ((7п п)п м, в то время как относительно исходной меры Р аналогичное (20) свойство имеет такой вид [c.76]
Будем исходными считать меру Р и последовательность h —J(hn), для которых имеет место свойство (20). Тогда при переходе от меры Р к мере Р (в соответствии с формулой (13)) получим свойство (21), которое можно интерпретировать как появление сноса у локальной мартингал-разности ( п n) n N Именно эта интерпретация и оказывается наиболее удобной для формулировки соответствующего общего результата о преобразовании локальных мартингалов при абсолютно непрерывной замене меры (см. далее 3d). [c.76]
Если ДЯП — 1, то заведомо <з (Я) 0. Поэтому, согласно лемме из 1с в гл. II, локальный мартингал (Н) является, на самом деле, (просто) мартингалом. [c.82]
Поскольку для локального мартингала Е( АМ v,-i) < оо, то Е( ДЯЯ 1) < АЛП +Е( АМ П 1) < ос, и, значит, для Нп, п 1, справедливы представления [c.91]
При этом А - предсказуемая последовательность и М - локальный мартингал. С использованием мер ц и v представление (15) может быть записано в виде (13). [c.99]
Говорят, что локальный мартингал X допускает на (П, ,( П),Р) "5- представление", или представление относительно Р -мартингала S, если найдутся такие предсказуемые 7 = (7п), 7п = (7п > > 7п)> ч Р-П.Н. для всякого п 1 [c.121]
Пусть X — (Хп, %,Р) - локальный мартингал и функции дп = gn(xi,...,xn) таковы, что Хп(ш) = дп (рг (ш), . . . , рп (ш) ). По аналогии с (8) из 4с видим, что [c.132]
Замечание 2. В связи с условием (тг2 [М, М])1/2 е s/io полезно отметить, что оно заведомо выполнено для локально ограниченных процессов тг, поскольку, как было отмечено выше в п. 3, всякий локальный мартингал М обладает тем свойством, что [М, М]1/2 g Мое- [c.304]
Теорема ([9]). Пусть X = (X1,.. . , Xd) есть Р-локальный мартингал и тг — (тг1, . . . , Trd) - предсказуемый процесс такой, что стохастический интеграл тг-Х определен и ограничен снизу некоторой константой (тг Xt С, t 0). Тогда тг X является локальным мартингалом. [c.306]
Пусть. X = ( n.) n)o n Af локальный мартингал, N < оо, Е Х0 < оо и либо EXtf < оо, либо ЕХ < оо. Тогда для всех п N выполнены условия (3) и (4), и X = (Хп, n)o .n .N мартингал. [c.125]
Заметим, что если ЕХ < оо,тотогдаиЕ < оо, n J N. Действительно, поскольку локальный мартингал является обобщенным мартингалом, то, значит, Хп = E(Xn+i п , откуда Х < Е(Х + г п), а потому и ЕХ < ЕХ +1 < ЕХи для всех n < N - 1. [c.126]
Следствие. Всякий локальный мартингал X = (Хп)п о, ограниченный снизу (infn n(w) С > — оо, Р-п.м.) или ограниченный сверху (supn Хп(и) С < оо, Р-п.н.), является мартингалом. [c.126]
Отметим также, что в утверждении I локальный мартингал может оказаться действительно "настоящим" супермартингалом, т.е. не быть мартингалом. [c.127]
По определению, семимартингал X есть пропесс, представимый в виде (1), где А = (At, t)t o - процесс ограниченной вариации, т.е. J dAs(ш) < оо, > О, ш 6 П, и М = (Mt, t) — локальный мартингал. [c.362]
Следствие 1. Каждый предсказуемый локальный мартингал X = (Xt, t)t o с XQ — 0, имеющий ограниченную вариацию, стохастически неотличим от нуля. [c.367]
Применительно к рассматриваемому случаю условно-гауссовской последовательности (2) дискретный аналог "теоремы Гирсанова" (полученной, как уже отмечалось, И. В. Гирсановымв случае непрерывного времени) связан с вопросом о том, можно ли найти такую меру Р, абсолютно непрерывную или эквивалентную мере Р, относительно которой последовательность h = (hn) становится (локальной) мартингал-разностью. В этой связи полезно подчеркнуть, что правая часть в (2) содержит два члена "снос" цп и "дискретную диффузию" <т , являющуюся (по мере Р) мартингал-разностью. Сформулированный вопрос состоит, в сущности, в том, нельзя ли найти такую меру Р <С Р, относительно которой (hn) не имеет "сносовой" компоненты, а является лишь "дискретной диффузией" т.е. (hn) есть (локальная) мартингал-разность. [c.73]
Всилу . 1-измеримостивеличин(ТйИсвойстваЕ(ей i) = Оиз (2) следует, что в рассматриваемом случае последовательность цен S = (Sn) является мартингальным преобразованием и, следовательно, локальным мартингалом (см. теорему в 1с, гл. II). Если дополнительно предположить, что, скажем, Ej rfe fe < ос, k 1, то тогда последовательность S = (Sn) будет мартингалом относительно исходной меры Р. (По поводу общих условий, при которых локальный мартингал является мартингалом, см. 1с в гл. II.) [c.80]
Из (21) и (22) следует, что в случае (локально) квадратично интегрируемых мартингалов разность [М, Z] — (М, Z) является локальным мартинга- [c.92]
Поскольку Д(Я + [Я, ЛГ]) = ДЯ(1 + AN), то условиеЯ + [Я, ЛГ] е io (P) равносильно тому, чтобы последовательность ДЯ(1 + A7V) = (ДЯ (1 + ДЛГП)) была локальной Р-мартингал-разностью или, эквивалентно (лемма в 1с, гл. II), чтобы эта последовательность образовывала обобщенную Р-мартингал-разность, т.е. чтобы (Р-п.н.) для любого n 1 [c.109]
Определение 4. Пусть X = (Xf, t, Р) о семимартингал. Говорят, что X является локально мартингальным преобразованием порядка d (X G Tjg ), если найдутся локальный мартингал М = (М1,. . . , Md) и предсказуемый процесс тг — (тг1,. . . , Trd) L O (M) такие, что имеет место представление (28). [c.308]