Н то 2 . ( 2 . , . ), т.е. последовательность операторов вк - суб- мартингал на [c.16]
Пример хорошо известного правила управления деньгами — стратегия Мартингал, популярная в системах азартных игр. [c.49]
Определение Правило Мартингал удваивает число торговых единиц после каждого проигрыша и начинает торговлю с одной единицы после каждого выигрыша. [c.49]
Существует несколько вариаций на эту тему. Одна из них — стратегия Анти-Мартингал. [c.49]
Определение Правило Анти-Мартингал удваивает число торговых единиц после каждого выигрыша и начинает торговлю с одной единицы после каждого проигрыша. Другой тип правила управления деньгами — размер сделки — основан на размере счета и размере риска, допускаемого на один контракт. [c.49]
Основным свойством мартингала является отсутствие смещения. По [c.113]
В частности, читателю надо запомнить определения случайного блуждания, мартингала, стационарности и белого шума. [c.314]
По сути мартингал — это более общий стохастический процесс, чем случайное блуждание, потому что в случае мартингала изменения задаются значением случайной переменной, которая хотя и должна обладать нулевым математическим ожиданием, но не обязательно должна иметь постоянную дисперсию. Кроме того, изменения не должны быть независимыми. [c.316]
Для дальнейшего важно отметить, что если X — (Хп) является мартингалом относительно потока F = ( п), Хп — х + + хп, XQ = 0, то х = (хп) является мартингал-разностью [c.51]
Напомним, что если X = (X n)n o мартингал относительно фильтрации ( п)п О) то E(.X"n+m п) — Хп. Поэтому оптимальная в средне-квадратическом смысле опенка Хп .т. величины Хп+т, основанная на "информации" , есть просто значение Хп, поскольку Хп+т.<п совпадает [c.73]
Если последовательность (Нп) является мартингалом относительно фильтрации ( у,), то величины (Л ) образуют мартингал-разность (E(/in >i i) = 0), и, как следствие этого, величины (Л ) оказываются (в предположении интегрируемости их квадратов) некоррелированными Ehn+mhn = 0, т > 1, п > 1. [c.74]
Образно говоря, все вышесказанное означает, что "рынок - это мартингал" в том смысле, что на таком рынке идет справедливая, честная игра (в соответствии с обычной интерпретацией понятия "мартингал" см. далее 1Ь, с в гл. II и подробнее, например, [439 гл. VII, 1]). [c.80]
Читатель, видимо, уже отметил, что сформулированная выше ( 2а) концепция эффективного рынка, в сущности, просто постулировала, что "эффективный рынок - это мартингал" (относительно того или иного потока "информации" и некоторой вероятностной меры). Соответствующая же аргументация носила отнюдь не формально-математический характер, а интуитивно-описательный. [c.80]
На самом деле утверждение, что "рынок есть мартингал" допускает безупречное математическое толкование, если отправляться от той гипотезы, что (по определению) "честно" "рационально" устроенный рынок -это безарбитражный рынок. Иначе говоря, это такой рынок, на котором невозможен безрисковый доход. (Формальное определение дается в 2а, гл. V.) [c.81]
Sgn x = 0, x = 0, [ -1, x < 0. Таким образом, для мартингала М = (Mn)n i в разложении (5) имеем [c.114]
Это свойство объясняет, почему квадратическую характеристику (М) называют также предсказуемой квадратической вариацией (квадратично интегрируемого) мартингала М. При этом термин квадратическая вариация резервируется для (непредсказуемой, вообще говоря) последовательности [М] = ([М]п) со значениями (см. также с. 367) [c.115]
В современном стохастическом исчислении, пожалуй, более важную роль играет не понятие мартингала, а понятие локального мартингала. Замечательным является то обстоятельство, что хотя класс локальных мартингалов шире класса мартингалов, он сохраняет многие важные свойства последних. Дадим ряд определений. [c.119]
Классическим примером мартингала является "мартингал Леей" X = (Хп) с Хп = Е( п), где - -измеримая случайная величина сЕ )<оо. [c.120]
Этот мартингал является равномерно интегрируемым, т. е. семейство случайных величин Хп равномерно интегрируемо [c.120]
В том случае, когда рассматриваемые мартингалы определены лишь для п N < оо, понятия мартингала и равномерно интегрируемого мартингала, очевидно, совпадают (Ж — M si). [c.120]
Определение 3. Будем называть стохастическую последовательность х = (жп, п)п 1 с Е ж < оо мартингал-разностью, если ( о — 0j ) [c.121]
Ясно, что для такой последовательности х = (хп) соответствующая "суммарная" последовательность X = (Хп, ) с Хп = XQ + XI- ----- h xn образует мартингал. И наоборот, с каждым мартингалом X — (Хп, п) связывается мартингал-разность х = (ж , п) с хп = Д-Xn, где АХп = Хп — Xn-i для п 1 и Д-Хо = XQ для п = 0. [c.121]
Замечание 1. В определение локального мартингала часто включают требование, чтобы последовательность X Tk была при каждом k 1 не только мартингалом, но равномерно интегрируемым мартингалом (см., например, [250]). [c.121]
Из определения 4 следует, что всякий мартингал является локальным мартингалом и, тем самым, [c.121]
Замечание 3. Как и в предыдущем замечании, в определении обобщенной мартингал-разности можно сразу требовать, чтобы выполнялось условие Е( жп 3"п- ) < оо (Р-п.н.), п 1. [c.122]
Важность понятий локального мартингала, мартингального преобразования и обобщенного мартингала в финансовой математике в полной мере будет проиллюстрирована в гл. V. Эти понятия играют важную роль и в стохастическом исчислении, что можно продемонстрировать, например, следующим образом. [c.124]
Термин "компенсатор" объясняется тем, что А компенсирует X до локального мартингала.) [c.125]
В заключение приведем один простой, но полезный результат из [251], дающий достаточные условия, при которых локальный мартингал в действительности есть (просто) мартингал. [c.125]
У игроков в рулетку математическое ожидание отрицательное. На колесе американской рулетки 38 ячеек, на европейском — 37, но в обоих случаях в игре участвует только 36. Одну или две ячейки оставляет за собой казино. Поскольку одна ячейка — это примерно 2,7% колеса рулетки, именно такой процент хозяева казино кладут себе в карман в среднем с каждой сделки, медленно выкачивая деньги из клиентов. Есть примитивная система управления капиталом, называемая мартингал (martingale) игрок начинает с минимальной ставки, обычно с 1 доллара, и после каждого проигрыша удваивает ставку. Теоретически он рано или поздно должен выиграть и тогда получит обратно все проигранное плюс один доллар. После этого он опять может сделать минимальную ставку и начать сначала. В реальной жизни системой мартингал воспользоваться нельзя, так как казино ограничивают максимальную ставку. Как только [c.236]
Отсюда ясно, что последовательность 5" = (5" ) о является мартинга-ломкласса , если для каждого n величины +1 не зависят от п (втом смысле, что для любого борелевского множества А событие n+i S А не зависит от любого из событий из ,). Так что, если n+i рассматривается как "полностью новая информация" по отношению к , то 5" будет принадлежать классу jffi . [c.51]
Величины Е(Л it i), из которых складывается квадратическая характеристика (Н)п, определяют степень изменчивости (волатильности) мартингала Н и во многом - его свойства. Например, если с вероятностью единица (Я) — > оо, то для квадратично интегрируемого мартингала Я имеет место усиленный закон больших чисел прип — > оо [c.116]
В проведенном выше анализе последовательности Н = (Нп), основанном на разложении Дуба (5) и его обобщении, ключевую роль играют два понятия - "мартингальность" и "предсказуемость" и, соответственно, участвующие в представлении Н = (Нп) мартингал М = (Мп) и предсказуемая последовательность А = (Ап). [c.119]
Это и определяет то, что проводимый далее стохастический анализ часто называют "мартингальным" или "стохастическим исчислением" подразумевая под этим анализ на фильтрованных вероятностных пространствах, специализированных выделением на (обычных) вероятностных пространствах особой структуры - потока а-алгебр ( п)- Именно, с наличием этой структуры- "фильтрации" ( ) - связаны такие понятия, как момент остановки, мартингал, предсказуемость, суб- и супермартингалы, семимартингалы и др. [c.119]
Определение 6. Будем называть стохастическую последовательность ж = (xn, n)n i обобщенной мартингал-разностью (субмартингал-разностью, супермартингал-разностью), если для каждого n 1 определены обобщенные условные математические ожидания Е(а i) и выполнены условия [c.122]
Пусть. X = ( n.) n)o n Af локальный мартингал, N < оо, Е Х0 < оо и либо EXtf < оо, либо ЕХ < оо. Тогда для всех п N выполнены условия (3) и (4), и X = (Хп, n)o .n .N мартингал. [c.125]
Заметим, что если ЕХ < оо,тотогдаиЕ < оо, n J N. Действительно, поскольку локальный мартингал является обобщенным мартингалом, то, значит, Хп = E(Xn+i п , откуда Х < Е(Х + г п), а потому и ЕХ < ЕХ +1 < ЕХи для всех n < N - 1. [c.126]
Следствие. Всякий локальный мартингал X = (Хп)п о, ограниченный снизу (infn n(w) С > — оо, Р-п.м.) или ограниченный сверху (supn Хп(и) С < оо, Р-п.н.), является мартингалом. [c.126]
Смотреть страницы где упоминается термин Мартингал
: [c.322] [c.330] [c.115] [c.118] [c.120] [c.123] [c.123] [c.123] [c.123] [c.125] [c.127] [c.127] [c.127]Основы стохастической финансовой математики Т.1 (0) -- [ c.51 , c.112 , c.120 ]
Основы стохастической финансовой математики Т.2 (1998) -- [ c.51 , c.112 , c.120 ]