Рассмотрим разложение Дуба для Нп = Х , п О, Х0 = 0. Здесь [c.114]
При написании разложения Дуба (2) или (5) предполагалось, что E hk < оо, k 1. Это предположение было нужно, в сущности, лишь только для того, чтобы были определены условные математические ожидания E(hk k-i)i k 1. Тем самым, естественным образом возникает идея использовать разложение (2) и в том, более общем, случае, когда определены и конечны (Р-п.н.) только условные математические ожидания E(hk k-i)i без выполнения, вообще говоря, условия E hk < оо. [c.116]
Определение 8. Если стохастическая последовательность X = (Хп, п) допускает представление в виде Хп = Ап + Мп с предсказуемой последовательностью А = (А , n-i и локальным мартингалом М = (Мп, п), то мы говорим, что X допускает обобщенное разложение Дуба, а последовательность А является компенсатором (или предсказуемым компенсатором, или дуально предсказуемой проекцией) последовательности X. [c.125]
Из lb следует, что при стохастическом анализе последовательности Я = (Яп) 0 разложение Дуба играет ключевую роль, позволяя выделить в Н "мартингальную" и "предсказуемую" составляющие в зависимости от потока ( п)п>о поступающей информации (в финансовом контексте - информации о состояниях рынка). [c.145]
В случае дискретного времени разложение Дуба обладало свойством единственности (см. 1Ь, гл. II). Точно так же, если для специального семимартингала есть два представления (4) с предсказуемыми процессами ограниченной вариации, то эти представления совпадают. [c.366]
Замечание 1. Разложение Дуба-Мейера относится к числу трудных результатов "теории мартингалов" Не приводя здесь доказательства (см., например, [103], [248], [303]), остановимся на том, как можно было бы его получить, отправляясь от разложения Дуба для дискретного времени. [c.366]
X[t/A]A, Согласно разложению Дуба для дискретного времени, [c.366]
Поэтому естественно ожидать, что участвующий в разложении Дуба-Мейера неубывающий предсказуемый процесс А = (At, t)t o можно искать в виде [c.366]
Из разложения Дуба-Мейера вытекает несколько полезных следствий (см. [250 гл. I, 3b]), из которых отметим следующие. [c.367]
Весьма замечательно, что непрерывная мартингальная составляющая Мс для семимартингала X определяется однозначным образом (это - следствие разложения Дуба-Мейера подробнее см. [250 гл. 1, 4. 18 и 4.27]), что объясняет общепринятое для нее обозначение Xе. [c.371]
Разложение Дуба 112, 365 Разложение Дуба-Мейера 365 Разложение Дуба обобщенное 118, [c.485]
Как и в обычном разложении Дуба, представление вида (13) с предсказуемым (Ап) является единственными, следовательно, в (13) [c.91]
Теорема 2. Пусть Н = (Нп)п- имеет обобщенное разложение Дуба (14) и выполнено условие (10). [c.91]
Обратимся к разложению Дуба последовательности If = (- n)n i, предполагая, что Л = А.ЙП таковы, что Е ЛП < оо, п > 1. Тогда (см. 1Ь в гл. II) [c.98]
Тем самым, можно утверждать, что пр и выполнении условия ( 14) имеет место обобщенное разложение Дуба последовательности Н = (Нп) [c.99]
Пусть Н = (.ffn)n i имеет обобщенное разложение Дуба [c.101]
Если рассматривать X по отношению к какой-то конкретной мере Р 6 (Р), то, согласно разложению Дуба ( 1Ь, гл. П), [c.196]
Полезно заметить, что в том случае, когда E hk < оо, k > 1, представление (4) остается верным, если в качестве функции д(х) взять функцию д(х) = а . По-другому это можно выразить словами, что разложение Дуба последовательности Я = (Я , ) 0 имеет в этом случае следующий вид [c.331]
Следующая теорема является непосредственным обобщением утверждения, сформулированного в следствии 2 ( 5Ь, гл. III) к разложению Дуба-Мейера. [c.333]
Сопоставляя (14) и (13) и применяя следствие 1 к разложению Дуба-Мейера ( 5Ь, гл. III), заключаем, что [c.420]
Приведем следующий пример на "разложение Дуба", хорошо иллюстрирующий "нетривиальность" этого разложения, несмотря на его простоту. [c.113]
Обратимся теперь к представлению (2). Правая часть в (2) заведомо определена, e jaiE( hk k-i) < оо, k 1 (для всех о> ft или для почти всех о 6 ft). В этом случае мы будем говорить, что (2) есть обобщенное разложение Дуба последовательности Н = (-ffn)n i- [c.118]
В проведенном выше анализе последовательности Н = (Нп), основанном на разложении Дуба (5) и его обобщении, ключевую роль играют два понятия - "мартингальность" и "предсказуемость" и, соответственно, участвующие в представлении Н = (Нп) мартингал М = (Мп) и предсказуемая последовательность А = (Ап). [c.119]
Если пытаться искать альтернативу предположению о гауссовости без-условнъирахл ределенийЬатлг(/11,. . . , Л ) последовательности h = (/in)n ii то, имея в виду "разложение Дуба" которое определяется с привлечением условных математических ожиданий Е(Л ra i), вполне естественной представляется идея считать, что не безусловные, а условные распределения вероятностей Law(/in S"n— ) являются гауссовскими [c.129]
Аналогичное разложение (Дуба-Мейера) имеет место как для считающего процесса N, так и для мультивариантного точечного процесса Н, являясь (как и в случае дискретного времени) основным исходным моментом их стохастического анализа с привлечением понятий "мартингальности" и "предсказуемости" (см. далее 5Ь в гл. III и подробнее [250]). [c.145]
Точно так же и в случае непрерывного времени соответствующую роль (для супермартингалов) играет разложение Дуба-Меиера, которое вместе с понятием стохастического интеграла лежит в основе стохастического исчисления для семимартингалов. [c.365]
Теорема 1 (разложение Дуба-Мейера). Всякий субмартингал Н класса (D) допускает (и притом единственное) разложение [c.365]
Из сказанного становится понятным, почему в разложении Дуба-Мейера процесс А = (At, t)t o называют компенсатором субмартингала X. [c.366]
Отсюда вытекает, что процесс М2, являющийся субмартингалом (согласно неравенству Иенсена), принадлежит классу (D). Тогда из разложения Дуба-Мейера следует, что существует неубывающий предсказуемый интегрируемый пропесс, обозначаемый (М, М) или (М), такой, что разность М2 — (М, М) является равномерно интегрируемым мартингалом. [c.369]
Следовательно, формулу (17) можно рассматривать как явную форму разложения Дуба-Мейера субмартингала В. [c.375]
Доказательство. Утверждения 1)-3) следуют из теорем 1 и 2. Нужно лишь отметить, что в силу единственности мартингальнои меры здесь нет необходимости обращаться к опциональному разложению, а достаточно воспользоваться непосредственно разложением Дуба супермартингала У = (yn, n,P)n jv (см. lb, гл. II) [c.193]
Таким образом, последовательность У (а) = (У (а), n,Q) является (ограниченным) супермартингалом, который, согласно разложению Дуба (гл. П, 1Ь), может быть представлен в виде [c.223]
Смотреть страницы где упоминается термин Разложение Дуба
: [c.102] [c.112] [c.112] [c.230] [c.334] [c.365] [c.91] [c.91] [c.96] [c.99] [c.330] [c.43]Основы стохастической финансовой математики Т.2 (1998) -- [ c.112 , c.365 ]