Зс. Стохастический интеграл по броуновскому движению . ....306 [c.230]
Видимо, Н. Винер был первый, кто дал определение стохастического интеграла [c.306]
В 1944 году, [244], К. Ито сделал существенный шаг в расширении понятия "стохастический интеграл" заложив тем самым фундамент современного стохастического исчисления, являющегося одним из мощных и эффективных средств исследования случайных процессов. [c.307]
Для функций типа (3), "сидящих" (по времени) в точке t = 0, "естественно определенное" значение стохастического интеграла [c.307]
Замечание 1. Подчеркнем, что при определении таких интегралов от элементарных функций вовсе нет необходимости предполагать, что В = (Bt)t o - броуновское движение. В качестве процесса, по которому производится интегрирование, может выступать любой процесс. Однако специфика рассматриваемого сейчас броуновского движения становится существенной, если стремиться к тому, чтобы определить "стохастический интеграл" с простыми свойствами для более широкого запаса функций / — f(t,w), а не только для элементарных и их линейных комбинаций -простых функций. [c.308]
Опишем теперь те классы функций / = /( ,о>), на которые можно распространить понятие "стохастического интеграла" с сохранением "естественных" свойств, например, типа (7) и (8). [c.309]
Следующая теорема, основанная на понятии стохастического интеграла, описывает структуру броуновских функционалов. [c.312]
Данное выше понятие стохастического интеграла играет ключевую роль при определении следующего важного класса непрерывных случайных процессов. [c.313]
При определении всех этих понятий, рассматриваемых далее, ключевую роль играет введенное выше понятие стохастического интеграла. [c.321]
В определенном смысле, успех стохастического исчисления для семимартингалов определяется тем, что по ним можно определить стохастический интеграл и для них имеет место формула Ито ( 5с). [c.357]
Как и в случае винеровского процесса (броуновского движения), "естественным" определением стохастического интеграла It (/) от простых функций / вида (2) по семимартингалу X, обозначаемого (/ X)t, I f (s, ш) dXs и А / (s, ш) dXs, является значение [c.358]
Замечание 2. С точки зрения теории финансов, стохастический интеграл [c.358]
Приведенные результаты об аппроксимации функций /, позволяют по аналогии со случаем броуновского движения определить (по изометрии) стохастический интеграл [c.361]
Векторный стохастический интеграл 789 [c.481]
Стохастический процесс-интеграл 361 [c.486]
Векторный стохастический интеграл.......................... 787 [c.296]
В том случае, когда процесс тг = (тг1, . . . , ird) является локально ограниченным и М М ос, векторный стохастический процесс-интеграл (у (""ai dM3) 1 является локальным мартингалом ([74], [249]). В ска- [c.304]
Интересно отметить, что если свойство локальной ограниченности не выполнено, то даже в скалярном случае стохастический интеграл [c.304]
Теорема ([9]). Пусть X = (X1,.. . , Xd) есть Р-локальный мартингал и тг — (тг1, . . . , Trd) - предсказуемый процесс такой, что стохастический интеграл тг-Х определен и ограничен снизу некоторой константой (тг Xt С, t 0). Тогда тг X является локальным мартингалом. [c.306]
Напомним еще раз, что в случае (скалярных) семимартингалов стохастический интеграл определен для всех локально ограниченных предсказуемых функций ( 5а, гл. III). При этом оказывается важным, в том числе и для расчетов в финансовой математике, то свойство стохастических интегралов по локальным мартингалам, что для таких функций эти интегралы являются также локальными мартингалами. [c.308]
Ср. с определением Н. Винера стохастического интеграла I sdB3, привело денным в п. 1 Зс.) [c.318]
О братимся сейчас к понятию стохастического интеграла по семимар-тингалам, которое как нельзя лучше подходит для описания эволюции капитала самофинансируемых стратегий. [c.358]
В случае, когда процесс -X" = (Xt)t o есть броуновское движение, стохастический интеграл /((/), согласно 3с, можно определить для всякой (измеримой) функции/ — (f(s,ui))a t, лишь бы только/(s,o>) были -из-меримымии [c.359]
В случае, когда вместо броуновского движения рассматривается произвольный семимартингал, конструкция стохастического интеграла It(f) также основана наидее аппроксимации /простыми функциями (/ , n 1), для которых интегралы It(fn) определены, с последующим предельным переходом при п — оо. [c.359]
Особо выделим также следующий результат (типа теоремы Лебега о мажорируемой сходимости) относительно возможности предельного перехода под знаком стохастического интеграла [c.363]
В связи с описанной выше конструкцией стохастических интегралов / X от предсказуемых функций / по семимартингалам X естественно возникает вопрос о возможности их получения с помощью более простых процедур, например, основанных на идеях "интеграла Римана" [c.363]
Точно так же и в случае непрерывного времени соответствующую роль (для супермартингалов) играет разложение Дуба-Меиера, которое вместе с понятием стохастического интеграла лежит в основе стохастического исчисления для семимартингалов. [c.365]
Заметим, что процесс В = ( Bt, t t o является субмартингалом, стохастический интеграл есть мартингал и i(0) = (Lt(Q), 3- ) является непрерывным (а, значит, и предсказуемым) неубывающим процессом. [c.375]
Стандартным приемом локализации данное определение стохастического интеграла для тг L2 (М) распространяется затем и на предсказуемые процессы тг Lio (M), т.е. на те процессы, для которых выполнено свойство (14) с q — 2. [c.303]
Следующий результат Ж.-П. Анселя и К. Стрикера (J.-P. Ansel, С. Strieker, [9 orollaire 3.5]) дает условия, выраженные в терминах ограничений не на тг, а на значения самого стохастического интеграла (что оказывается удобным, как будет видно далее, для рассмотрения вопросов арбитража). [c.306]
Основная причина того, что в финансовой математике при рассмотрении моделей с непрерывным временем ограничиваются, главным образом, классом семимартингалов, состоит в том, что для них есть, как мы видим, понятие (векторного) стохастического интеграла, с помощью которого определяется эволюция капитала и дается понятие самофинансируемости. (Это обстоятельство было с полной отчетливостью отмечено в работах М. Харрисона, Л. Крепса и С. Плиски, [214] и [215], впервые обративших внимание на роль семимартингалов и стохастического исчисления для них при описании динамики цен активов.) [c.307]
Но это, разумеется, не означает, что семимартингалами "все заканчивается Стохастический интеграл во многих случаях определяется и для несемимартингалов, например, для фрактального броуновского движения и, вообще, для широкого класса гауссовских процессов. Конечно, при этом [c.307]
Смотреть страницы где упоминается термин Интеграл стохастический
: [c.482] [c.520] [c.289] [c.291] [c.306] [c.363] [c.430] [c.486] [c.486] [c.297] [c.299] [c.299] [c.299] [c.301] [c.302] [c.302] [c.304]Основы стохастической финансовой математики Т.2 (1998) -- [ c.306 , c.356 ]