В том случае, когда процесс тг = (тг1, . . . , ird) является локально ограниченным и М М ос, векторный стохастический процесс-интеграл (у (""ai dM3) 1 является локальным мартингалом ([74], [249]). В ска- [c.304]
В 1944 году, [244], К. Ито сделал существенный шаг в расширении понятия "стохастический интеграл" заложив тем самым фундамент современного стохастического исчисления, являющегося одним из мощных и эффективных средств исследования случайных процессов. [c.307]
Замечание 1. Подчеркнем, что при определении таких интегралов от элементарных функций вовсе нет необходимости предполагать, что В = (Bt)t o - броуновское движение. В качестве процесса, по которому производится интегрирование, может выступать любой процесс. Однако специфика рассматриваемого сейчас броуновского движения становится существенной, если стремиться к тому, чтобы определить "стохастический интеграл" с простыми свойствами для более широкого запаса функций / — f(t,w), а не только для элементарных и их линейных комбинаций -простых функций. [c.308]
Данное выше понятие стохастического интеграла играет ключевую роль при определении следующего важного класса непрерывных случайных процессов. [c.313]
Как и в случае винеровского процесса (броуновского движения), "естественным" определением стохастического интеграла It (/) от простых функций / вида (2) по семимартингалу X, обозначаемого (/ X)t, I f (s, ш) dXs и А / (s, ш) dXs, является значение [c.358]
Теорема ([9]). Пусть X = (X1,.. . , Xd) есть Р-локальный мартингал и тг — (тг1, . . . , Trd) - предсказуемый процесс такой, что стохастический интеграл тг-Х определен и ограничен снизу некоторой константой (тг Xt С, t 0). Тогда тг X является локальным мартингалом. [c.306]
Как следует из изложения в 1а, стохастический интеграл в (17) определен, если 7 L(S). В рассматриваемой сейчас модели (5) естественно условия интегрируемости 7 no S выражать непосредственно в терминах свойств процессов (jut)t T и (ot)t
Положение, однако, сильно усложняется, когда приходится оперировать с локально неограниченными функциями. Так, приведенный выше пример М. Эмери показывает, что в случае локально неограниченных функций тг стохастический процесс-интеграл J (n3,dMa) даже по мартингалу М не является, вообще говоря, локальным мартингалом. [c.308]
В случае, когда процесс -X" = (Xt)t o есть броуновское движение, стохастический интеграл /((/), согласно 3с, можно определить для всякой (измеримой) функции/ — (f(s,ui))a t, лишь бы только/(s,o>) были -из-меримымии [c.359]
Заметим, что процесс В = ( Bt, t t o является субмартингалом, стохастический интеграл есть мартингал и i(0) = (Lt(Q), 3- ) является непрерывным (а, значит, и предсказуемым) неубывающим процессом. [c.375]
Стандартным приемом локализации данное определение стохастического интеграла для тг L2 (М) распространяется затем и на предсказуемые процессы тг Lio (M), т.е. на те процессы, для которых выполнено свойство (14) с q — 2. [c.303]
Но это, разумеется, не означает, что семимартингалами "все заканчивается Стохастический интеграл во многих случаях определяется и для несемимартингалов, например, для фрактального броуновского движения и, вообще, для широкого класса гауссовских процессов. Конечно, при этом [c.307]
Обратимсякважномупонятию "стохастического интеграла W (/x— v) по мартингальной мере // — v от З -измеримой функпии W = W(t, ш, ж) Если W ц E fi/ то в соответствии с теоремой 1 процесс W v б, и тогда естественно положить, по определению, [c.334]
Смотреть страницы где упоминается термин Стохастический процесс-интеграл
: [c.299] [c.302] [c.321]Основы стохастической финансовой математики Т.2 (1998) -- [ c.361 ]