Подчеркнем, что если в разложении Луба (15) процесс А был предсказуемым (т.е. А - п 1-измеримы), то в (16) процесс С = (Сп, п) является только лишь опциональным (т. е. Сп — 3"п -измеримы). [c.160]
Именно с этим обстоятельством и связано то, что разложение (16) называется опциональным разложением. [c.160]
Вопрос о справедливости опционального разложения для Y = (Уп)п лг рассматривается в 2d. [c.183]
Теорема 2 ("основные формулы для хеджирования, потребления и капитала"). Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда найдется хедж тг = (/3,7) и потребление С такие, что соответствующий капитал Х С = / п-Вп + Tn S n эволюционирует в соответствии с "балансовыми" условиями (11), при этом XQ определяется формулой (12), динамика Х определяется формулой (18), компоненты j = (7 ) и потребление С = (Сп) находятся из опционального разложения (15), оД=(Д.) -из (16). [c.190]
В приводимой ниже теореме дается иное, так называемое опциональное, разложение процесса X, интересное тем, что оно носит универсальный характер в том смысле, что компоненты этого разложения (см. (2)) одни и те же для всех мер Р 6 (Р). [c.196]
Прежде чем переходить к доказательству, отметим, что между разложениями (1) и (2) есть принципиальная разница в (1) величины С -Э п- -измеримы, а в (2) величины Сп - -измеримы. Именно с последним обстоятельством и связано, как уже сказано, то, что разложение (2) называется опциональным. [c.196]
Вместе с (11) это доказьшает (в предположении наличия "опционального разложения") требуемую формулу (8). [c.162]
Как было отмечено, доказательство этой формулы основывается на следующих двух фактах супермартингальном свойстве последовательности Y = (Уп)п лг относительно любой меры из семейства Р(Р) и на возможности получения опционального разложения для Y = (Уп)п лг- [c.183]
Из теоремы в 2b следует, что по отношению к любой мере Р 6 >( Р) последовательность У = (yn)n jv является супермартингалом. А из теоремы из 2d вытекает справедливость для супермартингала Y = опционального разложения (Р-п.н. для каждой меры Р 6 [c.189]
Доказательство. Утверждения 1)-3) следуют из теорем 1 и 2. Нужно лишь отметить, что в силу единственности мартингальнои меры здесь нет необходимости обращаться к опциональному разложению, а достаточно воспользоваться непосредственно разложением Дуба супермартингала У = (yn, n,P)n jv (см. lb, гл. II) [c.193]
Теорема. Процесс X, являющийся супермартингалом относительно любой из мартингальных мер Р (Р), допускает (опциональное) разложение [c.196]
Согласно теореме из 2Ь, процесс Хп = (Х ) по каждой из мер PJ /n) G n)) является супермартингалом, и, в соответствии с теоремой из 2d, для этого процесса имеет место опциональное разложение [c.229]
Замечание. Доказательство формулы (1) для V (Т, х) былоданов 4Ь, гл. VTI. Доказательство формулы (2), основанное на опциональном разложении, в идейном отношении такое же, как и в случае дискретного времени (см. 2с, бавгл. VI). Детали соответствующих доказательств, связанные с непрерывным временем, см., например, в [281]. [c.468]