Если последовательность (Нп) является мартингалом относительно фильтрации ( у,), то величины (Л ) образуют мартингал-разность (E(/in >i i) = 0), и, как следствие этого, величины (Л ) оказываются (в предположении интегрируемости их квадратов) некоррелированными Ehn+mhn = 0, т > 1, п > 1. [c.74]
Определение 3. Будем называть стохастическую последовательность х = (жп, п)п 1 с Е ж < оо мартингал-разностью, если ( о — 0j ) [c.121]
Ясно, что для такой последовательности х = (хп) соответствующая "суммарная" последовательность X = (Хп, ) с Хп = XQ + XI- ----- h xn образует мартингал. И наоборот, с каждым мартингалом X — (Хп, п) связывается мартингал-разность х = (ж , п) с хп = Д-Xn, где АХп = Хп — Xn-i для п 1 и Д-Хо = XQ для п = 0. [c.121]
Замечание 3. Как и в предыдущем замечании, в определении обобщенной мартингал-разности можно сразу требовать, чтобы выполнялось условие Е( жп 3"п- ) < оо (Р-п.н.), п 1. [c.122]
Понятно, что эта последовательность является мартингал-разностью, поскольку Е(еп 9п— ) = 0. Но, более того, это будет последовательность независимых случайных величин, имеющих стандартное нормальное распределение jY(0, 1), поскольку [c.130]
Последовательность h = (hn) hn= сг еп является при 0 < i < 1 квадратично интегрируемой мартингал-разностью и, тем самым, является последовательностью с ортогональными значениями [c.192]
Действительно, пусть имеется 4ЛС Я(р)-модель и vn = h% — r%. Тогда, если ЕЛ < оо, то последовательность v — (i/n) образует (относительно потока (З-п)) мартингал-разность, и из (3) следует, что величины х = А удовлетворяют авторегрессионной модели AR(p) [c.193]
Поскольку последовательность h = (Л ) является мартингал-разностью, то Е(Лп+т Уп) — О и, значит, оптимальная в среднеквадратическом смысле оценка [c.196]
Мартингал-разность обобщенная 122 [c.482]
Тогда на пространстве (П, У) существует вероятностная мера Р, эквивалентная Р, относительно которой последовательность (Хо, Xi,. . . , XN) является (Р, ( п))-мартингал-разностью. [c.49]
Согласно лемме 1, E Jfo — 0. Тем самым, по мере Р последовательность (Хо, Xi,. . . , Xff) является мартингал-разностью, что и доказывает утверждение леммы. [c.50]
Отсюда видно, что по новой мере Р последовательность (Лп)п<лг ведет себя как локальная мартингал-разность ((7п п)п м, в то время как относительно исходной меры Р аналогичное (20) свойство имеет такой вид [c.76]
Будем исходными считать меру Р и последовательность h —J(hn), для которых имеет место свойство (20). Тогда при переходе от меры Р к мере Р (в соответствии с формулой (13)) получим свойство (21), которое можно интерпретировать как появление сноса у локальной мартингал-разности ( п n) n N Именно эта интерпретация и оказывается наиболее удобной для формулировки соответствующего общего результата о преобразовании локальных мартингалов при абсолютно непрерывной замене меры (см. далее 3d). [c.76]
Определение 6. Будем называть стохастическую последовательность ж = (xn, n)n i обобщенной мартингал-разностью (субмартингал-разностью, супермартингал-разностью), если для каждого n 1 определены обобщенные условные математические ожидания Е(а i) и выполнены условия [c.122]
Таким образом, ЛЛСЯ(р)-модель может рассматриваться как авторегрессионная модель AR(p) для последовательности (Л ) с "шумом" v — (vn), являющимся мартингал-разностью. [c.133]
Тем самым, GAR H(p, д)-модель можно рассматривать как модель авторегрессии скользящего среднего, ARMA(max.(p,q),q), для последовательности (Л ) с "шумом" (fn)i который является мартингал-разностью. [c.135]
Тем самым, относительно потока (< i) величины h = (Лп) образуют мартингал-разность. (Ноне относительно ( ), поскольку hn неявляются -измеримыми.) [c.208]
Тогда на (П, ) существует вероятностная мера Р, эквивалентная мере Р, относительно которой последовательность (Хо,Х ,. . . , XN ) является d-мерной мартингал-разностью Е. Хп < оо, ЕрХо = 0 и Ер( , i) = О, 1 n N. [c.52]
Применительно к рассматриваемому случаю условно-гауссовской последовательности (2) дискретный аналог "теоремы Гирсанова" (полученной, как уже отмечалось, И. В. Гирсановымв случае непрерывного времени) связан с вопросом о том, можно ли найти такую меру Р, абсолютно непрерывную или эквивалентную мере Р, относительно которой последовательность h = (hn) становится (локальной) мартингал-разностью. В этой связи полезно подчеркнуть, что правая часть в (2) содержит два члена "снос" цп и "дискретную диффузию" <т , являющуюся (по мере Р) мартингал-разностью. Сформулированный вопрос состоит, в сущности, в том, нельзя ли найти такую меру Р <С Р, относительно которой (hn) не имеет "сносовой" компоненты, а является лишь "дискретной диффузией" т.е. (hn) есть (локальная) мартингал-разность. [c.73]
Именно эти "экстремальные" значения а (а>) и были использованы в 2d при построении меры с помощью "преобразования Эшера" относительно которой последовательность (Хп) становится мартингал-разностью. [c.78]
Поскольку Д(Я + [Я, ЛГ]) = ДЯ(1 + AN), то условиеЯ + [Я, ЛГ] е io (P) равносильно тому, чтобы последовательность ДЯ(1 + A7V) = (ДЯ (1 + ДЛГП)) была локальной Р-мартингал-разностью или, эквивалентно (лемма в 1с, гл. II), чтобы эта последовательность образовывала обобщенную Р-мартингал-разность, т.е. чтобы (Р-п.н.) для любого n 1 [c.109]
Из (21) и (22) следует, что в случае (локально) квадратично интегрируемых мартингалов разность [М, Z] — (М, Z) является локальным мартинга- [c.92]
Смотреть страницы где упоминается термин Мартингал-разность
: [c.133] [c.135] [c.193] [c.482] [c.78] [c.96] [c.107] [c.520]Основы стохастической финансовой математики Т.2 (1998) -- [ c.51 , c.121 , c.193 ]