Важность понятий локального мартингала, мартингального преобразования и обобщенного мартингала в финансовой математике в полной мере будет проиллюстрирована в гл. V. Эти понятия играют важную роль и в стохастическом исчислении, что можно продемонстрировать, например, следующим образом. [c.124]
Предположим, что (Я ) является локальным мартингалом, а значит, как мартингальное преобразование (см. лемму в 1с, гл. II) допускает представление [c.82]
Если проанализировать доказательство теоремы в 1с, гл. II, то можно заметить, что всякий локальный мартингал X может быть представлен как мартингальное преобразование X = XQ + 7 Л > в котором 7 является положительной предсказуемой последовательностью. [c.325]
Преобразование мартингальное порядка d 798 [c.484]
Всилу . 1-измеримостивеличин(ТйИсвойстваЕ(ей i) = Оиз (2) следует, что в рассматриваемом случае последовательность цен S = (Sn) является мартингальным преобразованием и, следовательно, локальным мартингалом (см. теорему в 1с, гл. II). Если дополнительно предположить, что, скажем, Ej rfe fe < ос, k 1, то тогда последовательность S = (Sn) будет мартингалом относительно исходной меры Р. (По поводу общих условий, при которых локальный мартингал является мартингалом, см. 1с в гл. II.) [c.80]
Предположим, что X io (P)- Согласно теореме из 1с, гл. II, последовательность X есть мартингальное преобразование, и, значит, AJfn = о АМП, где а - п- i-измеримо и М - некоторый мартингал (по мере Р). Тем самым, А (Х) = S(X)n-iA.Xn = anS(X)n-iAMn. Отсюдаследу-ет, что (Х) также есть мартингальное преобразование, а, следовательно, опять-таки по теореме из 1с, гл. II, < ( X ) io (P) Таким образом, [c.105]
ПустьР , = 1,2, -две мартингальные меры из семейства (Р). Тогда (Xn)n N является мартингальным преобразованием и, поскольку Х = IA-I то, согласно лемме из 1с, гл. II, последовательность X = (Х%) является мартингалом по каждой из мартингальных мер Р j, г = 1,2. [c.120]
Определение 4. Пусть X = (Xf, t, Р) о семимартингал. Говорят, что X является локально мартингальным преобразованием порядка d (X G Tjg ), если найдутся локальный мартингал М = (М1,. . . , Md) и предсказуемый процесс тг — (тг1,. . . , Trd) L O (M) такие, что имеет место представление (28). [c.308]
Имея это в виду и следуя [101], будем мартингальные преобразования с положительными значениями 7 называть сг-мартингалами. А в том случае, когда для стохастической последовательности X найдется мера Р Р, относительно которой X становится сг-мартингалом, будем говорить, что выполнено свойство ЕаММ. [c.325]
Замечание 1. Термин "ст-мартингал" как было отмечено, введен в работе [101]. Ранее эти процессы назывались (см., например, [73], [137]) се-мимартингалами класса ( т). Подчеркнем, что сг-мартингалы являются частным случаем мартингальных преобразований (см. определение 3 в 1а). [c.325]
Именно на этом пути явного построения мартингальной меры и будет далее строиться доказательство, следуя идеям работы Роджерса (L. С. G. Rogers) [407] и методам построения эквивалентных мер, основанным на "условных преобразованиях Эшера" [c.46]
Данная выше конструкция мартингальной меры, основанная на "условном преобразовании Эшера" давала лишь одну конкретную меру, хотя класс всех таких мер, эквивалентных исходной, может состоять и из более чем одной найденной меры. Следующий раздел будет посвящен изложению некоторых подходов, в основе которых лежит идея преобразования Гирсанова" для конструкции семейств мер Р, абсолютно непрерывных или эквивалентных исходной мере Р, относительно которых последовательность нормированных цен оказывается мартингалом. [c.52]
В связи с последним вопросом целесообразно напомнить, что мы уже имели дело с разными способами построения мартингальных мер, основанными, например, на преобразованиях Гирсанова и Эшера. Напомним также, что понятие минимальной мартингальной меры, о котором шла речь в 3d, гл. V, возникло (в работах Г. Фёльмера и М. Швайдера см., например, [167] и [429]) именно в связи с вопросами о том, какие мартингальные меры из SP(Pn) следует рассматривать в качестве наиболее "естественных" кандидатов при образовании цепей мер (P")n i, используемых для финансовых расчетов. (В этой связи не будет лишним подчеркнуть, что, скажем, расчеты цен хеджирования, рациональных стоимостей опционных контрактов осуществляются с привлечением именно мартингальных мер Р" и Р, а не исходных (также говорят - физических) мер Р" и Р см., например, "основную формулу для цены хеджирования Европейского типа на неполных рынках" (8) в 1с или формулу (20) в 4Ь.) [c.231]
Один из весьма распространенных методов построения мартингальных мер основан на теореме Гирсанова и ее разнообразных обобщениях. Другим методом построения таких мер, хорошо известным с давних пор в актуарной науке, является метод, основанный на преобразовании Эшера (см. далее 3с). [c.342]
Зс. Конструкция мартингальных мер в случае процессов Леви. Преобразование Эшера [c.354]
Тем самым, в рассматриваемом случае конструкции мартингальной меры и с помощью преобразования Гирсанова, и с помощью преобразования Эшера приводят к одному и тому же результату. (Это, впрочем, и неудивительно, поскольку в данном случае мартингальная мера является единственной, а процесс Xt = mt + aBt одновременно является и диффузионным, и процессом с независимыми приращениями.) [c.363]
Смотреть страницы где упоминается термин Мартингальное преобразование
: [c.102] [c.123] [c.482] [c.82] [c.308] [c.308] [c.304]Основы стохастической финансовой математики Т.2 (1998) -- [ c.123 ]