Будучи случайными процессами с независимыми приращениями, вводимые ниже процессы Леви образуют один из основных классов стохастических процессов, к которому относятся такие фундаментальные объекты теории вероятностей, как броуновское движение и процесс Пуассона. [c.244]
Определение 1. Случайный процесс X = (Xt)t o, заданный на вероятностном пространстве (0, 3-, Р) и принимающий значения в d-мерном евклидовом пространстве Rd, называется (d-мерным) процессом Леви, если выполнены следующие условия [c.244]
Замечание 1. Если в данном определении требовать от процесса X — (Xt)t o только выполнения свойств 1)-4), то можно показать, что существует версия (модификация) X = (Х ) о процессах = (Xt)t o (т.е. выполнено свойство Р(Х Х ) = О, t 0), обладающая свойством 5). Тем самым, с точки зрения выполнения свойств 1)-4) процесс X ничем не отличается от X, но уже имеет некоторое свойство "регулярности" траекторий. Именно поэтому в определение процессов Леви сразу вносится (как видим, без ограничения общности) требование 5) на свойства траекторий. [c.245]
Имеет смысл дать определение (одномерного) броуновского движения непосредственно, без вложения его в общую схему процессов Леви. [c.245]
Как уже отмечено выше, классическим примером непрерывного процесса Леви является стандартное броуновское движение (с В = 0, t — t, щ = 0). [c.247]
Обратимся теперь к примерам разрывных процессов Леви, что заодно даст лучшее понимание смысла меры Леви v = v(dx). [c.247]
Весьма примечательно, что, отправляясь от процесса Пуассона, можно -получить широкий класс чисто скачкообразных процессов Леви. [c.248]
Простейший пример процесса Леви с мерой v такой, что t>(IR) = оо, можно получить следующим образом. [c.249]
В 1а (п. 10) приводились два равносильных определения устойчивых невырожденных случайных векторов (см. формулы (30) и (31) в 1а). Применительно к устойчивым (одномерным) процессам X — (Xt)t o, являющимся в то же время процессами Леви, отмеченная равносильность двух определений приводит к следующему предложению невырожденный (см. далее определение 2) одномерный процесс Леви X = (Xt)t o является а-устойчивым процессом (а (0,2]) тогда и только тогда, когда для любого а > 0 найдется число D (зависящее, вообще говоря, от а) такое, что [c.252]
X есть процесс Леви и [c.253]
Замечание 1. Иногда (см., например, [423]), дается такое определение устойчивости векторного случайного процесса Леви X = (Xt)t- 0 для любого a > О найдутся константа с и вектор D К" такие, что [c.253]
Если D = 0, то говорят о строгой устойчивости.) Весьма замечательно, что, как и в случае устойчивых величин и векторов, для невырожденных процессов Леви константа с имеет вид с = а1/", где а - некоторый универсальный, т. е. не зависящий от а, параметр со значениями в (0, 2]. Этот результат, доказательство которого см., например, в [423], объясняет данные выше определения 3 и 4, в которых явно присутствует множитель а1/". [c.253]
Теорема 1. Пусть X — (Xt)t Q невырожденный процесс Леви в Ed с триплетом (В, С, is). [c.254]
Процесс X является 2-устойчивым (процессом Леви) в том и только том случае, когда v = 0, т.е. в том и только том случае, когда этот процесс является гауссовским. [c.254]
Необходимое и достаточное условие для того, чтобы (ненулевой) -устойчивый процесс Леви был строгим, состоит в том, что [c.256]
Пусть Z = (Zt)t Q симметричный а-устойчивый процесс Леви с характеристической функцией [c.257]
В заключение рассмотрим три случая устойчивых процессов Леви, которые соответствуют тем трем случаям (см. п. 5 в 1а), где известен явный вид устойчивых плотностей. [c.260]
Пример 1. Стандартное броуновское движение X = (Xt)t- 0 в Rd является строго 2-устойчивым процессом Леви. Для него вероятностное распределение PI = Pi(dx) величины Х имеет следующий вид [c.260]
Пример 2. Стандартный процесс Коши в Rd является строго 1-устой-чивым процессом Леви с [c.261]
Пример 3. Для одностороннего строго -устойчивого процесса Леви на (0, оо) имеем [c.261]
Будем обозначать Z = (Zt)t o процесс Леви, у которого Z имеет распределение с плотностью (20). [c.268]
Замечание 2. Случайные процессы Я = (Я4)4 0) обладающие свойством (23), принято называть процессами нулевой энергии (см., например, [166]). Тем самым, из (22) и (23) вытекает, что фрактальное броуновское движение l/2 < Н 1и строго -устойчивые процессы Леви с Н = 1/а > 1/2 являются процессами нулевой энергии. [c.420]
Процесс Леви а-устойчивый 252, 253 [c.484]
Процесс Леви чисто скачкообразный 248 [c.484]
Зс. Конструкция мартингальных мер в случае процессов Леви. [c.296]
Замечание 2. Исходя из смысла условий 1)-5), можно переформулировать определение процесса Леви так это стохастически непрерывный процесс со стационарными независимыми приращениями, выходящий из нуля и имеющий траектории, непрерывные справа с левосторонними пределами. [c.245]
Процессы Леви X = (Xt)t o являются процессами с однородными независимыми прирашениями, и поэтому их распределения полностью определяются одномерными распределениями Pt(dx) = P(Xt dx). (Напомним, что XQ =0.) Из самого определения этих процессов вытекает, что распределение Pt(dx) является при каждом t безгранично делимым. [c.246]
Представление (5) с кумулянтой (в) из (7) является основным средством изучения аналитических свойств процессов Леви. С точки же зрения их траектории свойств важным является так называемое каноническое представление (подробнее см. 3а, гл. VI, и [250 гл. II, 2с]), обобщающее на случай непрерывного времени рассмотренные в гл. II, 1Ъ канонические представления для стохастических последовательностей Я = (Яп)п>0 (см. (16) в 1Ь и 3е в гл. IV). [c.247]
Здес% классическим является, конечно, процесс Пуассона X = (Xt)t o с параметром А > 0, т. е. (по определению) процесс Леви с XQ = 0, для [c.247]
Процесс X = (-X"t)t o> образованный согласно (10), называется составным ( ompound) процессом Пуассона. Нетрудно видеть, что этот процесс является процессом Леви. "Обычный" процесс Пуассона получается, если положить j = 1, j 1. [c.249]
Приведем еще один известный "явный" случай процесса Леви с f(K) = оо. Мы имеем в виду так называемый Г-процесс (Gamma pro ess) X = (Xt)t o, У которого Хо = 0 и (гамма-) распределение вероятностей P(Xt х) имеет плотность (ср. с табл. 6 в 1а) [c.250]
В связи с "явными" представлениями (10), (14) и (17) некоторых (скачкообразных) процессов Леви мы получаем способ их моделирования, основанный на моделировании лишь случайных величин ,-, /3k и экспоненциально распределенных величин Ai = т — Ti- (промежутков между двумя скачками в моменты TJ I и т процесса Пуассона). В свою очередь, при моделировании безгранично- делимых случайных величин важное значение приобретает вопрос об их представимости в виде функций от "простых" "стандартных" случайных величин. Вот пример, иллюстрирующий возникающие здесь возможности пусть X и У - две независимые случайные величины, причем X 0 (и произвольна), а У имеет экспоненциальное распределение. Тогда, как показал Ч. Голди ( h. Goldie), произведение XY является безгранично делимой случайной величиной. [c.251]
В дальнейшем для нас основной интерес будут представлять те а-ус-тойчивые процессы X — (Xt)teT, которые в то же самое время являются процессами Леви ( 1Ь). Такие процессы естественно называть "а-устой-чивыми процессами Леей". [c.252]
Определение 4. a-устойчивый процесс Леви X = ( строго а- устойчивым процессом Леви, еслив (2), (3) вектор ) = 0, т.е. [c.253]
Поскольку а-устойчивые процессы являются частным случаем процессов Леви Х- = (Xt)t Qi для характеристических функций (f>t(0) — Eet(-e X которых имеет место представление меры Леви v = v(dx), "ответственной" за распределение величин скачков ДХ = Xt — Xt- процесса [c.254]
Замечание. По поводу общих результатов относительно получения процессов Леви с помощью субординаторов из других (более просто устроенных) процессов Леви см. [47], [409] и [483]. [c.260]
Коль скоро гипербо лическое распределение является безгранично делимым, то можно определить процесс Леви, т. е. процесс с однородными независимыми приращениями, у которого распределения приращений являются гиперболическими. [c.268]
Для а- устойчивых процессов Леви показатель Харста Н = 1/а, и, следовательно, для таких процессов оценивание Н сводится к оцениванию параметра а. Для фрактального броуновского движения Вт = (Bm(t))t o оценивание параметра Н по дискретным наблюдениям может быть осуществлено, например, следующим образом. [c.283]
Как мы видели выше в 3а, для броуновского движения Е Гд = i/2/тгД1/2, для фрактального броуновского движения с показателем Н Е Яд = >/2/7гДн, а для строго а-устойчивого процесса Леви с а > 1 Е ЯД = Е Яг Аи, где И = 1/а < 1. [c.424]
Смотреть страницы где упоминается термин Процесс Леви
: [c.460] [c.230] [c.231] [c.244] [c.249] [c.250] [c.254] [c.254] [c.268] [c.424] [c.484]Основы стохастической финансовой математики Т.2 (1998) -- [ c.244 ]