Классическим примером такого процесса является d-мерное броуновское движение X = (Х, Х2,..., Xd), состоящее из независимых между собой стандартных броуновских движений X1 = (Xf)t o, г = 1,..., d. [c.245]
Как уже отмечено выше, классическим примером непрерывного процесса Леви является стандартное броуновское движение (с В = 0, t — t, щ = 0). [c.247]
Пример 1. Стандартное броуновское движение X = (Xt)t- 0 в Rd является строго 2-устойчивым процессом Леви. Для него вероятностное распределение PI = Pi(dx) величины Х имеет следующий вид [c.260]
Интересно отметить, что если W = (Wt)t o стандартное броуновское движение (винеровский процесс) и [c.265]
В = (Bt)t- Q - стандартное броуновское движение, не зависящее от W, то распределение У совпадает с распределением величины [c.266]
Нетрудно проверить, что для всякого стандартного броуновского движения W = (Wt)t o процесс W° = (W )o
Тогда. B=(.Bj)t>o является стандартным броуновским движением. [c.297]
Заметим, что для стандартного броуновского движения В = (-B его квадратическая характеристика (B)t = t,t 0. [c.360]
Приведем здесь, следуя [166], один результат в этом направлении для случая d = 1, когда X - стандартное броуновское движение В = (Bt)t o- [c.374]
Пусть Ht = I a(u) dBu, где В = (Bt)t o стандартное броуновское движение и а = ( r(i))t o некоторая детерминированная функция, характеризующая "интенсивность" "активность" вклада dBu, и f, в формирование значения Ht. Заметим, что для каждого п 1 [c.429]
Поскольку процесс Я является также и гауссовским, то - как процесс с независимыми приращениями, нулевым средним, свойством (10) и непрерывными траекториями - это есть (см. За, гл. III) не что иное, как стандартное броуновское движение, и, значит, [c.432]
В соответствии с самой идеей инвариантности (иначе говоря, независимости от конкретного вида распределения величины hk) при отыскании предельного распределения Ип / /n, п —> оо, можно предполагать, что hh имеют стандартное нормальное распределение (0,1). Тогда, если В = (-Bt)t o есть стандартное броуновское движение, то распределения вероятностей наборов Я /д/п, k = 1,..., п и В /п, k = 1,..., п совпадают, и, значит, [c.442]
Стандартное броуновское движение 245 [c.486]
Предположим, что EZ = 1, и положим dPx — Z dP. Тогда относительно меры РА процесс X = (Xt)t o является стандартным броуновским движением. [c.344]
Если EZj, = 1 для некоторого конечного Т, то относительно меры РТ с dPj, = Zi dPT, где РТ = Р I т, процесс X = (-Xt)t>o будет стандартным броуновским движением на временном интервале [О, Т]. [c.344]
Формула (21) проверяется аналогичным образом, что и доказывает, что процесс В = (Bt)t o, определенный в (7), является стандартным броуновским движением. Соотношение (8) следует из (1) и (7). [c.347]
В Главе 2 мы рассмотрели временную структуру волатильности рынков акций, облигаций и валюты. Временная структура волатильности - стандартное отклонение прибылей на различных горизонтах времени. Если рыночные прибыли определяются нормальным распределением, то волатильность должна увеличиться с квадратным корнем из времени. То есть пятидневные прибыли должны иметь стандартное отклонение, эквивалентное стандартному отклонению ежедневных прибылей, умноженному на квадратный корень из пяти. Однако мы нашли, что акции, облигации и валюта имеют такие временные структуры волатильности, которые увеличиваются быстрее квадратного корня из времени, что согласуется со свойствами распределений бесконечной дисперсии и дробного броуновского движения (FBM). Для чистого процесса FBM такое масштабирование должно увеличиваться бесконечно. Мы нашли, что валюта, как оказалось, не имеет предела масштабирования, но [c.244]
Из данного определения следует, что (стандартное) фрактальное броуновское движение X — (Xt)t>o удовлетворяет следующим свойствам, [c.279]
Определение 2. Непрерывный гауссовский случайный процесс X = (Xj) t o называется (стандартным) броуновским движением или вине-ровским процессом, если XQ = 0 и [c.245]
Если Н — 1/2, то (стандартное) фрактальное броуновское движение есть не что иное, как (стандартное) броуновское движение, или винеровс-кий процесс. [c.280]
Согласно определению 2 в 1Ь, стандартное броуновское движение В = (Bt)t o является непрерывным гауссовским случайным процессом с однородными независимыми приращениями с BQ = О, EBt — О, ЕВ% = t. Ковариационная функция такого процесса- EBaBt = min(s, t). [c.289]
Многомерный процесс В = (В1,..., Sd), состоящий из d независимых между собой стандартных броуновских движений В1 = (B )f o, i = 1,..., d, называют й-л ерныл стондортныл броуновским движением. [c.289]
Для стандартного броуновского движения его автоковариационная функция p(s,t) — min(s,t). Для рассматриваемого броуновского моста [c.291]
Law (5 , . . . , Stk ) сходятся (слабо) к конечномерным распределениям Lafw(Btl, - -, Btk), где В = (-Bt)t o стандартное броуновское движение. На самом деле, можно утверждать больше [c.294]
Из результатов П. Леви [298] и 3. Чисельского [76] следует, что (Р-п.н.) случайные функции (В п )o t i сходятся (по t) равномерно них непрерывный предел является стандартным броуновским движением. [c.299]
Пусть (fi, , ( t)t Oi P) фильтрованное вероятностное пространство, удовлетворяющее обычным условиям (см. п. 2 в ЗЬ и, подробнее, например, [250]). Пусть В = (Bt, t)t o стандартное броуновское движение и / = (f(t, k>))t o,w ft случайная функция, являющаяся измеримой по (t, ш) и неупреэюдающей (не зависящей от "будушего"), т. е. такой, что при каждом t О [c.307]
Пример 1. Пусть Xt = mi + rSt + kNt, где 5 - стандартное броуновское движение и N - стандартный процесс Пуассона с параметром и > 0 (ENt — vi). Выясним, при каком значении параметра а процесс X = (Xt)t .T относительно меры Р становится локальным мартингалом. [c.359]
Другое основное предположение, которое необходимо для применения нормального распределения, затрагивает временную структуру волатильности. Как правило, мы используем стандартное отклонение для измерения волатильности и предполагаем, что она подвергается масштабированию согласно квадратному корню из времени. Например, мы "пересчитываем на год" стандартное отклонение ежемесячных прибылей посредством умножения его на квадратный корень из 12. Эта практика происходит из наблюдения Эйнштейна (Einstein, 1905), что расстояние, которое проходит частица в броуновском движении, увеличивается с квадратным корнем из времени, затраченного на его измерение. [c.37]
Уравнения (5.1) и (5.2) - стандартные предположения согласно нулевой гипотезе броуновского движения. Диапазон увеличивается как квадратный корень из времени. Херст пошел немного далее и предположил, что нормированный размах также увеличивается с квадратным корнем из времени. Феллер также говорил, что дисперсия диапазона увеличивается линейно со временем. Ни один из результатов не является особенно удивительным, если учесть наши рассуждения в Главе 4. Тем не менее, теперь у нас есть доступ к инструментам, которые, в частности, Херст, счел бы очень полезными. [c.74]
В таблице 12.1 приводятся результаты, а на рисунке 12.1 показан график V-статистики для этой валюты. Показатель Херста выше значения для ежедневных американских акций, при этом Н = 0,64. Этот период имеет 5 200 наблюдений, так что оценка более чем на три стандартных отклонения выше ее ожидаемого значения. Следовательно, она в высокой степени перситентна по сравнению с фондовой биржей. Однако не видно никакого долгосрочного цикла. Это согласуется с временной структурой волатильности, которая также не имеет очевидного снижения риска. Поэтому мы можем сделать вывод, что обменный курс иена/доллар совместим с дробным броуновским движением, или процессом Херста. Однако в отличие от рынка акций и облигаций не наблюдается переход к долговременной "фундаментальной" оценке. На всех инвестиционных горизонтах продолжает доминировать техническая информация. На основании этого мы могли бы предположить, что этот процесс является истинной "бесконечной памятью", или процессом Херста, в противоположность процессу с долгой, но конечной памятью, который характеризует рынки акций и облигаций. [c.159]
Для Н = 0,50 это сводится к классическому гауссову случаю. Дисперсия увеличивается линейно со временем, или стандартное отклонение увеличивается как квадратный корень из времени. Однако FBM имеет дисперсии, которые изменяют масштаб быстрее броуновского движения, когда 0,5 < Н < 1. Согласно (13.3) стандартное отклонение должно увеличиваться со скоростью, равной Н. Таким образом, персистентный процесс черного шума будет иметь дисперсии, которые ведут себя очень подобно масштабированию рынков капитала, которое мы исследовали в Главе 2. Однако те процессы действительно увеличивались медленнее Н. Индекс Доу-Джонса для акций промышленных компаний изменял масштаб как 0,53 корня из времени, в то время как Н = 0,58. Аналогично, стандартное отклонение обменного курса иена/доллар изменяло масштаб как 0,59 корня из времени, в то время как Н = 0,62. Идея, стоящая за уравнением (13.6), правильна, но она нуждается в дальнейшем усовершенствовании. Мы оставляем это для будущего исследования. Тем временем, мы можем сказать, что между масштабированием дисперсии и Н существует взаимосвязь. Точный характер этой взаимосвязи остается неясным. [c.179]
Определение 3. Непрерывныйгауссовскийпроцесс X = (-Xt)t o нулевым средним и ковариационной функцией (5) называется (стандартным) фрактальным броуновским движением с показателем автомодель-ности Харста 0 < Н 1. (В дальнейшем для такого процесса будет часто использоваться обозначение Да = (Дш( ))( о-) [c.279]
Смотреть страницы где упоминается термин Стандартное броуновское движение
: [c.47] [c.128] [c.139] [c.200] [c.282] [c.293] [c.344] [c.442] [c.343] [c.343] [c.344] [c.382] [c.123] [c.23] [c.24] [c.47] [c.168]Основы стохастической финансовой математики Т.2 (1998) -- [ c.245 ]