В стохастическом исчислении хорошо известно (см., например, [250 гл. III]), что единственность мартингальной меры самым непосредственным образом связана с вопросами " представимости " локальных мартингалов относительно некоторых базисных мартингалов. В "техническом" отношении соответствующие результаты (особенно для случая непрерывного времени см. далее 2d, гл. VII) относят к числу трудных, поскольку их доказательства существенно опираются на идеи и технику стохастического анализа семимартингалов и случайных мер. [c.119]
Обратимся к импликации (g)=>-(b). Пусть fff -, у-измеримая случайная величина и мартингальной является сама исходная мера Р. Из (g) следует, что, на самом деле, /N является случайной величиной, принимающей конечное число значений. [c.140]
Пусть теперь Р" - мартингальные меры, относительно которых величины/о",. .., РП снова образуют последовательность независимых случайных величине [c.238]
Распределения Р из этого множества называются мартингальными мерами. Действительно, если такие распределения порождены вероятностной мерой, то Ер = г. При таком условии, как было доказано выше, случайные величины Sn/Bn образуют мартингал. [c.26]
В 4d будет показано, что в TtR-модели имеет место "5-представимость" и, следовательно, в этом случае рынок является полным. Вообще же говоря, полнота, а значит, и "5-представимость", являются скорее исключением, нежели правилом. И, в этом смысле, интересно рассмотреть сейчас еще один вид "представимости локальных мартингалов" с использованием понятий случайных мер и мартингальных случайных мер ц—v см. 3е. Из дальнейшего станет ясно, что / -представление и ( — -представление выполнены гораздо чаще, нежели 5-представление. Поэтому часто оправдано сначала получать /> или (ц—v) -представление, а затем уже пытаться использовать их для превращения в 5-представление. [c.123]
Пусть X - действительнозначная случайная величина и Ф(а) = ЕеаХ. (Предполагается, что Ф (а) < оо, а б К.) Тог да понятно, что случайная величина S = ех обладает (относительно исходной меры) "мартингальным" свойством Е5 = 1, если Ф(1) = 1. [c.361]
В простейшей одношаговой модели рынка с одним видом акции, для которого случайная процентная ставка р принимает значения на отрезке [а, Ь] п.н. (и этот отрезок не может быть уменьшен), условие безарбитражности имеет вид г е (а,Ь). Действительно, если а < г < Ь, то мартингальные меры, эквивалентные исходной мере Р, были описаны в доказательстве теоремы 1. [c.32]