Экономико-математические методы — это методы 1) элементарной математики 2) математического анализа, включая вариационное исчисление, 3) прикладной математической статистики и эконометрики, 4) исследования операций, включая математическое программирование и теории игр, управления запасами, массового обслуживания, обучения. [c.70]
Методы математического анализа Дифференциальное, интегральное и вариационное исчисление и др. [c.430]
Математическая трактовка этого круга вопросов сводится к разного рода экстремальным задачам, классическим, как, например, решаемые в дифференциальном или вариационном исчислениях, или современным, которые составляют предмет различных отраслей оптимального программирования (линейное, дискретное, динамическое, стохастическое и т.д.). [c.432]
Для расчета регулятора (этап создания СУ) потребителю необходимо располагать не столько текущей информацией об объекте, системе в целом и воздействиях (как это совершенно необходимо во время непосредственного управления (этап эксплуатации СУ)), сколько предполагаемой информацией о них в будущем процессе работы системы. Для этого составляется математическое описание объекта (системы) и среды, называемое математической моделью соответственно объекта (системы), воздействий (и иногда потребителя), или просто математической моделью (Физика, Теоретическая механика, Электроника и другие специальные дисциплины, которые обслуживают область деятельности, где осуществляется управление. Теория, дифференциальных уравнений Интегральные преобразования Линейная алгебра Функциональный анализ Вариационное исчисление и другие общие и специальные разделы математики . (В фигурных скобках здесь (и в дальнейшем) отмечаются области знания, необходимые для овладения проблемой, указанной перед этими скобками). [c.203]
Иррациональные числа, а также возникшие по ходу развития математики такие понятия, как бесконечность, предел, явились следствием признания невозможности наглядно выразить кардинальные свойства фигуры большей размерности (например, прямоугольника) в понятиях фигуры меньшей размерности (например, отрезка), и желания, закодировав эту невозможность названиями, открыть путь к описанию и исследованию других последующих из доступных осознанию количественных свойств реальности. Свойство ее изменчивости (в частности, такое кардинальное для управленца понятие, как изменение во времени — движение) учитывается с помощью понятий переменная величина, функция, а также производная и интеграл, связывающие величину количества с характером его изменения в окрестности этой величины, дающих возможность получить аналитическое описание многих физических законов движения (например, в виде дифференциальных уравнений). Оценки более тонких количественных отношений реальности отражаются в таких разделах математики, как, например, вариационное исчисление, где независимой переменной является уже не число, а функция. Оценки качества количественных отношений — в таких понятиях, как явные и неявные зависимости, корректность, грубость и т.д. [c.261]
Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. - М. Мир, 1974. [c.408]
Анализ сметы затрат на производство нужно анализировать также в динамике, т. е. в сравнении с данными базисного периода (года) пятилетки. Для проведения анализа структуры затрат на производство целесообразно использовать метод вариационного исчисления, с помощью которого определяется степень неравномерности (дифференциации) распределения затрат на производство—коэффициент относительного отклонения он получается путем суммирования модулей (без учета знака) отклонений удельных весов затрат по элементам от среднего арифметического удельного веса затрат, приходящегося на группу. Этот метод позволяет при анализе показать, каков уровень дифференциации затрат на производство в анализируемом периоде, какова роль каждого из факторов в процессе дифференциации, по каким элементам затрат этот уровень наиболее высок и др. Если в составе затрат на производство полностью отсутствует дифференциация, т. е. все элементы издержек (труд, средства и предметы труда) имеют одинаковые размеры, то отклонения от средней и сам коэффициент вариации равен нулю (это минимальная граница уровня дифференциации). Если в составе себестоимости — максимально высокая дифференциация затрат, значит, теоретически весь объем затрат приходится только на один из элементов затрат, а по остальным элементам издержки равны нулю. В этом случае [c.216]
В тех частных задачах, в которых, как, например, в задачах классического вариационного исчисления, х к и формально равноправны (R (х, м)=0 разрешимо как относительно х, так и относительно и), градиент функционала F при выборе х в качестве независимого аргумента оказывается неограниченным (дифференциальным) оператором. Если же в качестве независимого аргумента выбирается и, градиент оказывается ограниченным. [c.20]
Управляемые системы. Классическое вариационное исчисление возникло в связи с задачами следующего типа найти функцию x(t), O i T1, удовлетворяющую краевым условиям х(0) = Х0, х(Т) = Х1 и минимизирующую значение функционала (здесь Ф (х, у) — заданная функция) [c.21]
Сразу же поясним обозначения, систематически применяющиеся в дальнейшем х ( ) будет обозначать функцию, взятую целиком, как элемент функционального пространства, а х (f) — есть обозначение числа (или вектора, если х (t) — вектор-функция), являющегося значением х ( ) в точке t. Иногда употребление х (t) в смысле х ( ) не вносит путаницы, но в некоторых случаях их следует различать. Таким образом, левая часть (1) есть абстрактное обозначение функционала — числовой функции, аргументом которой являются точки функционального пространства, а правая часть определяет фактический способ его вычисления ). В классическом вариационном исчислении можно выделить следующие важные разделы [c.21]
Особую роль для вариационного исчисления сыграло развитие автоматического управления и ракетостроения. [c.23]
Другим важным обстоятельством, определяющим неклассический характер задачи оптимального управления, является наличие в задаче условий типа неравенств. Это — условия и (t) U, условия (17), (18). Они, как показал опыт решения таких задач, весьма существенны снятие подобных условий обычно полностью лишает задачу содержательной ценности, так как приводит к решениям либо физически нелепым, либо неприемлемым по техническим условиям. Как правило, в оптимальном решении имеются как интервалы времени, на которых реализуется знак равенства, так и интервалы, на которых реализуется строгое неравенство на первых условие может быть заменено привычным для классического вариационного исчисления условием типа равенства, на последних — снято. К сожалению, расположение и размеры этих интервалов выясняются лишь после решения задачи. Это обстоятельство также имеет глубокие последствия в вопросах конструирования численных методов классический вычислительный аппарат линейной алгебры становится неэффективным и заменяется более соответствующим характеру современных вариационных задач вычислительным аппаратом линейного (и нелинейного) программирования. [c.29]
Одним из аспектов классического вариационного исчисления было исследование таких минимальных расширений первоначального множества дифференцируемых функций (а именно на них [c.88]
Скользящие режимы и прикладные задачи. Выше был рассмотрен характерный пример вариационной задачи, в которой экстремум достигается на скользящем режиме. Речь идет о следующей ситуации строится оптимизирующая последовательность траекторий и рассматривается ее предел. Оказалось, что фазовые компоненты этой последовательности имеют в качестве предела достаточно гладкую функцию. Но соответствующие члены последовательности управлений (или, если угодно, производных фазовых траекторий) естественного предела не имеют. Аналогичные примеры строились и в классическом вариационном исчислении. Например, задача отыскания 1 [c.93]
В монографии Янга специально подчеркивается опасность использования наивного вариационного исчисления (уравнения Эйлера и предположения о том, что решение задачи существует и является достаточно простой, гладкой функцией) В действительности, как мы увидим,. . . метод Эйлера имеет самые серьезные недостатки как в теории, так и на практике ([101], стр. 23). Но не следует забывать, что метод Эйлера самым активным образом используется физиками, механиками и инженерами (как в теории, так и на практике) вот уже около двухсот лет в задачах не специально сконструированных изобретательным математиком, а естественно возникших в приложениях. И не так-то просто в этой огромной практике найти пример, когда бы этот наивный подход привел к серьезной ошибке, причем такой, исправление которой было бы возможно лишь с использованием тонких обобщений, рассматриваемых в [101]. Во всяком случае, в [101] таких примеров нет, хотя эта книга изобилует беллетризованными иллюстрациями теоретических ситуаций, примерами из жизни . Этим примерам самым существенным образом не хватает реальной основы, т. е. настоящей, четко поставленной вариационной задачи, свя] занной с описываемой жизненной ситуацией, причем такой задачи, в которой эйлеров подход привел бы к серьезному просчету, а скрытое решение (это примерно то же самое, что и скользящий режим) давало бы правильный ответ. Без таких задач многочисленные примеры из практики в [101 ] выглядят не очень убедительно. [c.94]
Метод проекции градиента и скользящие режимы. Следует особо отметить те задачи, в которых конструкция (45) будет иметь значительное преимущество перед методом проекции градиента в форме (46), (43). Это — задачи, где оптимальная траектория содержит участок так называемого скользящего режима (см. 23). В этом случае могут существовать неоптимальные траектории, на которых конструкция (46) при не слишком больших s дает функцию u(t, s)=u (t) такая траектория оказывается тупиковой для методов (46), (43). В то же время конструкция (45) приводит к ненулевой вариации управления и (t, з)фи (t). Пример, рассмотренный в 23, показывает, что эта возможность действительно реализуется при численном решении подобных задач, причем множество тупиковых для локального варианта проекции градиента (46) траекторий достаточно мощно и содержит траектории, далекие от оптимальной. Тем не менее, в дальнейшем мы будем иметь дело именно с локальным вариантом. Это связано с тем, что среди известных автору прикладных задач, решавшихся приближенными методами, нет задач, содержащих скользящие режимы. Более того, в монографиях [39], 1102], посвященных преимущественно обобщению теории вариационных задач, охватывающему и скользящие режимы (что, разумеется, приводит к серьезному усложнению аналитического аппарата теории), подобных примеров тоже нет Речь, разумеется, идет о примерах задач, естественно возникших в приложениях, а не специально сконструированных с целью иллюстрации тех или иных возможных осложнений. С этой точки зрения те предостережения, которые делает инженерам и физикам автор [102] в связи с наивным использованием результатов классического вариационного исчисления, представляются преувеличенными. Разумеется, практика решения вариационных задач может расшириться, и задачи со скользящими. режимами станут обычным, инженерным явлением. В этом случае изменится и отношение к соответствующему разделу в теории, и в вычислительные методы будут внесены необходимые коррективы. [c.155]
Вернемся теперь к задаче определения оптимальной в соответствии с критерием (2.17) политике роста. Подставляя (2.24) в (2.17), получаем задачу вариационного исчисления [c.36]
На базе абстрактных представлений реальной действительности возникли разнообразные математические методы совокупность методов классического математического анализа (методы исследования экстремумов функций, вариационного исчисления) математическое программирование операционное (линейное, нелинейное, целочисленное), динамическое и др. [c.244]
Методы исследования экстремальных значений функций и вариационное исчисление, основанные на использовании аппарата дифференциального и интегрального исчисления, применяются в основном при решении комбинированных стандартных задач организации. [c.244]
Формализация (аналитические математические методы интегрального, дифференциального и вариационного исчислений, теории вероятностей, теории игр, поиска максимумов и минимумов функций, в том числе методы математического программирования, например, линейного и динамического, математической логики, теории множеств Монте-Карло статистические методы математической статистики, статистического имитационного моделирования, моделирования операций по схемам случайных процессов и статистических испытаний, исследования операций и массового обслуживания, теории информации графические методы теории графов номограмм, диаграмм, гистограмм, графиков) Аксиоматизация Идеализация [c.407]
В книге систематически изложены вариационные принципы механики жидкости и газа и механики твердого деформируемого тела. Описаны прямые качественные методы вариационного исчисления (теория двойственности вариационных задач, двусторонние оценки, исследование функционалов, зависящих от малого параметра). [c.2]
Формулировке вариационных принципов механики предпослан минимум сведений по прямым методам вариационного исчисления (гл. II), необходимый для сознательного применения вариационного подхода. Основное внимание при этом уделено методу исследования функционалов, зависящих от малого параметра, и теории двойственности, систематически используемым на протяжении всей книги. [c.7]
Основная лемма вариационного исчисления. Дальше многократно будет использоваться утверждение, известное под названием основной леммы вариационного исчисления если справедливо равенство [c.15]
Динамическое программирование связано с другими используемыми в экономике методами динамической оптимизации (optimization), такими, как принцип максимума и вариационное исчисление. [c.141]
Известно, что управляемость объекта, справедливая для модели объекта, означая принципиальную возможность получить любое его состояние, позволяет добиваться этого с помощью разных законов изменения управляющего сигнала. Таким образом, алгоритм работы формирователя не единственный. Устраняет эту неоднозначность оптимизация формирователя либо на основе принципов вариационного исчисления, либо динамического программирования, сводящихся к необходимости решения нелинейного матричного дифференциального уравнения типа Риккати [15]. Если достаточно располагать управлением, обеспечивающим оптимальность только в установившемся режиме, то формирователь может быть получен [c.55]
ГЕССЕ (Hesse) Людвиг OTTO (1811-1874) — немецкий математик, член Баварской академии наук. Родился в Кенигсберге. Основные труды относятся к геометрии, линейной алгебре, вариационному исчислению ввел понятие гессиана. [c.315]
Лагранж (Lagrange) Жозеф Луи (1736—1813), французский математик и механик. С 17 лет преподавал в артиллерийской школе Турина. С 1754 г. там же профессор. В 1759 г. избран членом Берлинской академии наук, ее президент в 1766-87 гг. С 1787 г. живет в Париже. С 1795 г. профессор Нормальной школы, а с 1797 г. Политехнической школы. Значительные труды Лагранжа посвящены математическому анализу, вариационному исчислению, аналитической и теоретической механике, математической картографии и астрономии. [c.287]
Дальнейшее развитие классического вариационного исчисления привело к рассмотрению задач с боаее сложными функционалами, например, включающими старшие производные [c.23]
Основные типы задач, подходы к их решению и результаты были получены давно они связаны с именами таких классиков естествознания, как Эйлер, Якоби, Вейерштрасс. Однако бурное развитие техники ) после второй мировой войны, характеризующееся, кроме всего прочего, четкой тенденцией к созданию оптимальных по своим качествам конструкций, привело к постановке ряда частных задач, которые были вариационными по существу дела, однако либо не укладывались в привычные рамки вариационного исчисления, либо это удавалось сделать ценой нежелательных искажений задачи. Постепенно выработались некоторые типичные формы новых вариационных задач, получившие имена пионеров этой области так появились задачи Больца, Майера и другие. Отдавая должное этим ученым, мы не будем в дальнейшем пользоваться соответствующей терминологией, так как она отражает лишь историю становления современного вариационного исчисления, но не существо дела. Эти различные по наименованиям задачи не нуждаются ни в специфических методах теоретического исследования, ни в особых подходах при разработке алгоритмов их приближенного решения. Все эти задачи естественно укладываются в сложившуюся в настоящее время форму задачи оптимального управления, теоретический анализ которой не проще и не сложнее анализа упомянутых ее частных видов. Это же отно- [c.23]
Если этот максимум существует и если выполняются условия второго порядка, которые мы здесь не рассматриваем. (См., например Цлаф Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения. Справочник. М. Наука, 1970). [c.36]
Во 2-й иол. 20 в. усилился интерес к проблематике Э. з , развились новые науч. направления, связанные с разработкой теории, методов решения, построением алгоритмов н их вычислит, реализации на ЭВМ ма-тематмч. программирование, теории оптим. процессов, вариационное исчисление. [c.563]
D вариационное исчисление П химический анализ П структурный анализ П факторный аначиз П социометрический анализ П экономический анализ П системные исследования. [c.597]
План изложения следующий. Даются вариационные формулировки начал термодинамики. Из них систематически выводятся вариационные принципы классической механики сплошной среды. Излагаются качественные методы вариационного исчисления. Качественные методы иллюстрируются, помимо ряда задач, на проблеме осреднения периодически и случайно микронёоднородных континуумов, проблеме построения теории оболочек и стержней, теории мелкой воды. Вариационный метод построения моделей сплошных сред разобран на моделях дисперсных смесей и зернистых сред. [c.7]