Рассмотрим вероятностное пространство (Q, 2, р). Пусть и наделено структурой компактного метрического пространства и вероятностная мера р непрерывна и регулярна относительно топологии Q. Непрерывность меры р означает, что каждое измеримое множество содержит подмножество половинной меры. При некоторых оговорках, не влияющих на последующее изложение, приведенное определение эквивалентно тому, что мера точки равна нулю. Регулярность меры р означает, что для любого FeS и Е>0 существует открытое множество Fe, содержащее F, такое, что р (Ft F)
Конус вариаций управления Ки в данном случае есть множество объектов, состоящих из произвольной /-допустимой функции v (t) и измеримого множества М малой меры mes М=[А. Формально можно пользоваться обозначением v ( ), М КЫ. Эта совокупность комплексов v ( ), М , строго говоря, не есть конус тем не менее в некотором условном смысле слова можно говорить о конусе если v ( ), М Ки, то для любого А [О, 1] можно определить объект v ( ), М (< Ки так, что порождаемые им вариации функционалов связаны соотношением [c.59]
Пусть (Ai) i - последовательность попарно непересекающихся измеримых множеств в R+x. Ест (А,-) < сю. Тогда случайные величины /x(Aj), г 1, независимы и 1л(А ) имеет пуассоновское распределение со средним [c.333]
Случайная величина X называется непрерывной, если ее функция распределения дифференцируема, т. е. существует производная р(х) = F (x), называемая плотностью распределения случайной величины X. В этом случае для любого (измеримого) множества A R справедливо равенство [c.510]
При появлении каждого из перечисленных сигналов процесс нуждается в корректировке. На практике применяют множество видов контрольных карт. Они классифицируются по характеру и числу отображаемых признаков, но назначению. В первую очередь карты разделяются на две большие группы по количественному (измеримому) и по качественному (альтернативному) признаку. Первые содержат выборочные числовые характеристики параметров. В карты по альтернативному признаку заносят выборочные числовые характеристики числа дефектных единиц продукции или доли дефектных единиц в выборке. [c.158]
Хотя количественный подход был разработан для измерения способности "обслуживать" коммерческий кредит, для большей части компаний при оценке имеющейся информации окончательное решение о предоставлении кредита базируется на позиции аналитика. В потребительском кредите, где различные характеристики личности количественно измеримы и решение о предоставлении кредита принимается на основании данных об общей задолженности, успешно применяются числовые оценки. Пластиковые кредитные карточки, которые есть у многих из вас, часто выдаются после получения данных системы проверки кредитоспособности, в том числе таких характеристик, как возраст, профессия, стаж работы, размер личной собственности, срок проживания в данном месте, телефон и годовой доход. Систему числовых оценок используют и компании, предоставляющие коммерческий кредит. В связи с общим ростом коммерческого кредита множество компаний обнаружили, что заслуживают внимания числовые оценки кредитоспособности для отсева принимаемых и отклоняемых заявок. Затем аналитик может направить свои усилия на оценку дополнительных заявок. [c.289]
В причинных методах прогнозирования определяются измеримые факторы, оказывающие четкое и постоянное воздействие на спрос с достаточно большим лагом, чтобы строить прогноз. Например, считается, что процентные ставки влияют на спрос на потребительские товары, причем существует значительный лаг между причиной — изменением ставок — и переменой характера спроса. К сожалению, на потребительский спрос влияет множество других факторов, что обычно не позволяет построить сколько-нибудь точный прогноз. [c.144]
Множество допустимых управлений выберем как совокупность измеримых в Р функций, удовлетворяющих почти всюду в нем ограничению [c.334]
От слова эффект имеется множество производных, например эффективный — полезный, приводящий к нужному результату. Отсюда эффективность (синоним результативность) — свойство, отражающее способность давать определенный результат, причем результат измеримый, что выражается соответствующими прилагательными например, высокая эффективность низкая эффективность нулевая эффективность оптимальная эффективность. Таким образом, эффективность очень часто выступает в роли меры эффекта. Эффективность — это также и плодотворность, и полезность, и производительность, и степень воздействия. Часто для обобщенной характеристики качества какого-то изделия, особенно машин, технических устройств или действий, мы говорим — эффективная машина, эффективное изделие, эффективные материалы, эффективное решение. [c.330]
Выбор одного или нескольких из множества возможных критериев предполагает оценку их преимуществ и недостатков. Существуют три качества, которыми должен обладать приемлемый критерий соответствие, измеримость, практическая ценность. [c.77]
Таким образом, множество случайных величин, имеющих математическое ожидание, это множество суммируемых функций х(и>), заданных на вероятностном пространстве (и, 2, Р). Более содержательные результаты по стохастическому программированию можно получить, если рассматривать лишь случайные величины, соответствующие некоторым подмножествам множества измеримых функций, определенным на (.и, S, P), например только функции л (со) с интегрируемым квадратом. [c.19]
Пусть Q — пространство, наделенное положительной мерой р, a Y — многозначное /7-измеримое отображение и со значениями яа множестве непустых компактных под- [c.22]
Е Сли минимум (3.23) достигается в точке АО, являющейся внутренней точкой множества Л, то S(u)=S(u) и существует измеримая функция х0(а>), удовлетворяющая условиям (3.19), равенству [c.27]
Функция Р6(о)") измерима и положительна почти при всех ш (в силу 1° и 2°). Введем множества [c.224]
Напомним, что мы условились считать исследуемое управление и ( ) кусочно непрерывной функцией. Следствием этого является кусочная непрерывность матрицы влияния W (t). Известно, что при любом сколь угодно малом е измеримая функция совпадает с некоторой непрерывной функцией всюду, за исключением точек некоторого множества меры е. Пусть v e ( ) и v"s ( ) — соответствующие непрерывные аппроксимации Ьи ( ) и 8м"( ). Тогда [c.45]
Теперь поясним, почему в результате замыкания множества траекторий (и ( ), х ( ) , порожденного всеми измеримыми функциями и ( ), появляются функции х (t), удовлетворяющие включению [c.86]
В качестве элемента и абстрактной постановки задачи (1) можно взять измеримую вектор-функцию и ( ), а множество 9 выделяется условиями u(t) U при всех t и F( [и (>) = 0, i= = 1, 2,.. ., т. При этом конкретные формулы, определяющие Ff через и ( ), содержат еще и фазовые координаты х (t), однозначно определяемые краевой задачей x=f Г (х) 0 . [c.141]
Теорема 3. Пусть о — выпуклое множество в пространстве измеримых функций Ъи (t), определяемое условием 8w (t) Ш (t) при всех t (мы считаем bU(t) выпуклым при каждом t [Q, Т ). Пусть тело Р в (т- - 1)-мерном пространстве — образ а в отображении [c.144]
Принципиальное отличие этого функционала от функционала (1) уже обсуждалось в 4. Возможность с достаточной точностью аппроксимировать вариацию функционала (1) выражением (7) с небольшим числом k связана с гладкостью функции 8ж (f), являющейся решением дифференциального уравнения в вариациях следствием этого является и гладкость функции Фх [х (t)]bx (t), значения которой в окрестностях точек аппроксимации, грубо говоря, меняются при вариации управления в ту же сторону, в какую они меняются в точках аппроксимации. Поэтому, учитывая 8Ф при построении 8ц ( ) только в точках аппроксимации, мы в известной мере учитываем 8Ф всюду, где Ф [х (г)] тах Ф [х (t)], Для функционала (2) это уже не так, Ьи (f) — измеримая функция, ее значения в близких точках t, t" никак не связаны между собой, и аппроксимация типа (7) — неэффективна. Разумеется, она будет эффективна, если разместить по точке аппроксимации на каждом интервале счетной сетки (tn, tn+l), входящем в множество М. Однако в проводившихся автором расчетах число таких интервалов было 102, что уже приводит к задаче линейного программирования слишком тяжеловесной для того, чтобы решать ее на каждом шаге процесса построения минимизирующей последовательности управлений. Поэтому в расчетах использовался прием превращения компонент управления, явно входящих в функцию Ф [х, и], в фазовые координаты. Именно, полагаем [c.185]
Определение. Множество точек F [и ( )] = F0 [и ( )],. , .., Fm [u(-) в (т+1)-мерном евклидовом пространстве, порожденное всеми возможными измеримыми функциями и (t), определенными на [О, Т] и удовлетворяющими геометрическому ограничению и (t) U, называется областью достижимости D для задачи [c.188]
В остальных случаях следует действовать более аккуратно необходимо задать некоторое достаточно широкое семейство подмножеств множества стратегий игрока и приписать каждому подмножеству из этого семейства некоторую вероятность выбора чистой стратегии именно из него. Такое приписывание вероятностей должно подчиняться некоторым условиям, связанным с так называемой "измеримостью" функции выигрыша. Связанные с этим рассуждения в полном своем объеме оказываются достаточно сложными. Однако мы на них сейчас останавливаться не будем и ограничимся следующим предположением, которое в рамках рассматриваемых в данном курсе вопросов полностью соблюдается. [c.97]
Пусть теперь множество стратегий игрока в игре Г является топологическим пространством. Тогда чистая стратегия z0 называется точкой спектра смешанной стратегии Z, если для любой измеримой окрестности со точки z о имеет место соотношение Z (со) = / dZ (z ) > 0. П [c.103]
Пусть / z -> R - непрерывная функция, а ц - вероятностная мера на z. Тогда все множества вида z /(z) >я являются открытыми, а все множества видами a [c.112]
Зададим X— измеримое пространство элементов х (элементарных событий), с а-алгеброй F(fl,f2,..., / ,...) х-множеств. На а-алгебре F(f , /2,..., / ,...) определена вероятностная мера Р. Пусть система Д/Ь/2>-",/и) есть отображение процессов, протекающих в реальной системе А(щ, сс2,..., aq) по законам, определяемым системой аксиом G =
Поскольку множество элементарных исходов И дискретно (и конечно ), любое его подмножество измеримо и, следовательно, может быть интерпретировано как случайное событие. [c.105]
Вывод из нашего обзора состоит в том, что просто говорить, что что-то измеримо или нет, значит — не сказать ничего. Проблемы, связанные с этим (1) могут ли численные величины быть связаны с сущностями, а затем скомбинированы в соответствии с некоторыми правилами так, чтобы прогнозировать выбор в обусловленных типах ситуаций, и (2) что из себя представляют преобразования, которые можно сделать на изначально заданных множествах величин без потери их прогностической силы (справедливости) Как мы видим, обычно предлагаемые аксиомы подразумевают измеримость с точностью до какого-то линейного преобразования. Выбор [c.364]
Пусть (Q, 2) и (X, у.) два измеримых пространства. Обозначим через QXX — декартово произведение множеств Q и X, т. е. совокупность всех точек вида (со, х), oeQ, х =Х, а через 2 X и — наименьшую о -алгебру, порожденную множествами вида АхВ, Ле2, Вех. Легко проверяется, что (Qx , 2Хх) есть также измеримое пространство. Если S — подмножество в Qx и со — любая точка из Q, то множество Зщ = х (со, х) eS называется сечением множества S, определяемым точкой ше 2. Аналогичным образом определяется S — - сечение множества S, обусловленное точкой х Х. Любое сечение измеримого множества есть измеримое множество. [c.21]
Значительное число научных работ было посвящено попыткам расширить вопрос раскрытия обязательств по финансовому лизингу, чтобы охватить и подлежащие исполнению договоры. Многие доводы, приводимые в пользу включения таких договоров, обсуждаются в книге Мэтьюса [15, с.197—214] наряду с аргументами против какой бы то ни было либерализации текущей практики. Существует, конечно, множество оттенков во мнениях о степени вероятности и измеримости, необходимой для признания подлежащих исполнению договоров кредиторской задолженностью (или активами) и отражения их в балансе. [c.299]
Квантифицируемостъ трудового потенциала создает возможность моделирования и эмпирического анализа. Свойство кван-тифицируемости — это способность быть измеренным (и быть реально измеримым). Оно основано на вербализируемости, т.е. на возможности интерпретировать и задавать множество градаций интенсивности выраженности того или иного качества. Таких способов много. Это можно сделать экспертным путем путем экономического анализа производственных показателей тестирования наблюдения опросов и других методов, которые позволяют преобразовывать информацию в цифровые данные для анализа и сравнения. [c.46]
Будем рассматривать случайные величины как функции на вероятностном пространстве. Случайная величина х — это функция, отображающая множество Q на числовую ось ( — оо, те), так что прообразы всех борелевских множеств на числовой оси являются случайными событиями. Другими словами, функция х=х(<й) называется случайной величиной, если она измерима на (Q, 2), т. е. если для каждого у множество [c.19]
Пусть f( o, х) — произвольная функция, заданная на множестве S uxX, a > — произвольная точка из Q. Функция fm(x), определенная на сечении 5Щ равенством f > ( )=/( >> х), называется сечением функции f (точнее, Q — сечением функции f). Подобным образом X — сечение функции f, определяемое точкой х Х, есть функция,. заданная на Sx равенством fx (
Пусть дано измеримое/ пространство (Q, 2) и конечный набор мер р,ь. . ., ц,ге, определенных на этом пространстве. Сопоставим каждому множеству Ле2 вектор т(Л) = ц1(Л), цгИ),. . ., ц,п(Л) . Отображение m= ([Xi,. . ., цп), которое сопоставляет S некоторое множество от(2), называется векторной мерой, а множество wi(E) — множеством значений векторной меры /и. Векторная мера m называется конечной и непрерывной, если асе ц — конечные меры и для любого одноточечного множества А [c.21]
В настоящей главе обсуждаются методы построения решающих правил для одноэтапных задач стохастического программирования, а для отдельных моделей приводятся и явные выражения для решающих правил. В 1 рассматриваются частные модели первого класса, в которых предполагается, что решающие правила — линейные функции случайных составляющих условий задачи. Вычисление параметров решающих правил сводится к задачам выпуклого программирования. Параграф 2 посвящен изучению. М-модели с вероятностным ограничением общего вида. Относительно решающего правила л (со) не делается никаких предположений, кроме того, что л (со)—измеримая вектор-функция на множестве X произвольной структуры, на котором она определена. В 3 метод построения решающих правил из предыдущего параграфа обобщается на М-модель с конечнозначным ограничением — с условием, ограничивающим математическое ожидание случайной функции от х, принимающей конечное число значений. Таким условием может быть аппроксимировано любое статистическое ограничение. В 4 построены решающие правила (точнее, решающие таблицы) дляч Р-мо-дели с вероятностными ограничениями общего вида. В 5 рассматривается стохастическая задача со смешанными ограничениями. Эта модель отличается от задачи 4 дополнительными условиями, которые могут существенно изменить структуру решения. В 6—8 построены решающие правила для одноэтапных задач стохастического программирования со статистическими ограничениями достаточно общего вида. Модель, изученная в 6, представляет собой стохастический аналог общей задачи линейного программирования с двухсторонними ограничениями. Модель из 7 — стохастический аналог общей задачи квадратичного программирования. Модель, исследованная в 8, является стохастическим аналогом частной задачи выпуклого программирования с квадратичной целевой функцией и квадратичными ограничениями. Заключительный параграф главы ( 9) посвящен итеративным методам построения решающих правил одноэтапных задач стохастического программирования. [c.84]
Вычислить максимум функционала Mty0(
Рассмотрим два сепарабельных банаховых пространства X и Y. Пусть для каждого oeQ заданы множества GO(U>) (G0= X), Gj( o), t=l, 2,. . ., т, с борелевскими графиками п линейный оператор Л(ю), действующий из X в Y. Предположим, что оператор-функция Л (со) измерима в том смысле, что для любой сильно измеримой (299] функции х( ) со значениями в X функция (со) =А (ю)х(а)) сильно измерима. [c.105]
Исследование формальных способов решения конкретных задач, находящихся на границе применения вероятностных и расплывчатых методов, целесообразно проводить несколькими путями. Первый путь связан с введением расплывчатого пространства измерений (Н, В, jj,), аналога вероятностного пространства (где % Н-+[0, 1], В — измеримая функция) и использованием расплывчатого ожидаемого значения (РОЗ), определяемого функцией принадлежности ч на расплывчатом множестве А с представлением расплывчатого измерения ц(-) и применением интеграла Лебега. [c.27]
В данной задаче такие выражения, как управлять системой , выбрать управление , определить управление и тому подобное означают одно и то же — задать на интервале управления [О, Т] некоторую функцию и (t). Естественно возникает вопрос о функциональном классе, из которого разрешается выбирать и (t). Удобным оказался класс измеримых функций. С точки зрения теорем существования решений вариационных задач класс измеримых функций очень удобен. Однако при выводе необходимых условий оптимальности обычно происходит сужение задачи сама исследуемая функция и (t) предполагается не произвольной измеримой функцией, а гораздо более простой, например, кусочно непрерывной, кусочно гладкой, но ее разрешается подвергать вариациям 8м (t), относительно которых уже никаких предположений не делается 3w (t) может быть произвольной измеримой функцией. Таким образом, объектом теоретических исследований является сравнительно простая функция и (t), которая должна быть оптимальной в гораздо более широком множестве произволь- [c.24]
Следствие. Если f(x, 7) — выпуклое множество, то предельный элемент х ( ) является решением уравнения dxjdt = = f(x, u(t)) с некоторым измеримым управлением (U-dony mu-мым, разумеется). Сначала рассмотрим с этой точки зрения пример. Расширенная система имеет вид [c.86]
При этом 8м (t) — сеточная модель гладкой функции, определяе-, мая произвольной малой сеточной функцией У (t) и уравнением (16), a Ьи" (t) — сеточная модель измеримой функции, определяемая формально никак не связанными между собой значениями Змя+г/, на счетных интервалах (tn, я+1) однако Ьи" отлична от нуля лишь на тех интервалах (tn, tn+J, которые не входят в выделенное множество М. В упомянутой задаче этот прием позволил получить четкий разрыв в и (t) и значение 0= 1,592. Подробнее [c.186]
В случае теории игр такими базовыми понятиями являются, во-первых, понятия игрока (стороны в конфликте), стратегии (способа его действий) и выигрыша (оценки складывающейся ситуации), объединяемые в единое понятие игры, как это описьюается, например, в п. 1.3, а, во-вторых, понятия оптимальности, как формального представления некоторого синтеза содержательных понятий выгодности, устойчивости и справедливости. Различные варианты понятий игры и оптимальности порождают различные разделы теории игр и различные подходы к их изучению. Формально они выделяются из общей теории игр "структурными" признаками, которые формулируются в абстрактных математических терминах. К таким признакам относятся те или иные "структурные" свойства множеств стратегий игроков. Например, представляет интерес говорить о топологических (в том числе — компактных), линейных (и в том числе евклидовых данной размерности) или измеримых пространствах стратегий, К структурным свойствам игры можно отнести также конечность множеств стратегий игроков. Структурным же свойством игры можно считать такое свойство функций выигрыша, как их непрерывность (или полунепрерывность). [c.20]
Смешанные стратегии определяются как случайные величины (см. 7 гл. 1 и 4 гл. 2), реализующиеся в виде чистых стратегий. Если говорить более аккуратно (т.е. именно так, как это принято в современной теории вероятностей), смешанная стратегия X игрока, имеющего множест во чистых стратегий х,понимаемая как случайная величина, есть функция X 1 - х. Здесь 2 есть множество "элементарных событий", под которым, как правило, понимают сегмент [0,1] с обычной мерой Лебега на нем. При этом предполагается, что функция обладает в достаточной степени свойством измеримости для большинства всех.практически важных подмножеств (не будем уточнять, для каких именно) х множества х их -прообразы, т.е. подмножества 2, состоящие из всех тех со, для которых Х(со) х, измеримы (по Лебегу). Между прочим, именно такое понятие смешанной стратегии является достаточно корректным и имеет широкое (хотя, разумеется не безграничное) применение. [c.186]
Отбор критериев представляет особую область принятия решений, в которой наличествует множество разных точек зрения. Можно согласится с тем, что набор критериев, используемых в многокритериальных решениях, должен отвечать комплексу требований, в который входят такие требования, как полнота, операциональность, де-композируемость, неизбыточность, минимальность, измеримость. [c.128]