В экономико-математических исследованиях в большинстве случаев используются метрические пространства. Одно из них — евклидово П. (обозначается Е" или Еп). Метрическое пространство — такое, в котором между двумя любыми точками х, у определено расстояние d (x, у). Евклидово л-мерное П. соответственно является метрическим пространством с евклидовым расстоянием между точками х (x]t x2,. .., х) и у [c.292]
Выделим еще два понятия, характерных для метрического пространства, — окрестность точки и граничная точка. [c.292]
Точка х некоторого подмножества А метрического пространства является граничной точкой этого подмножества, если любая окрестность х содержит хотя бы одну точку из А и одну точку, не принадлежащую А. Множество всех граничных точек А называется границей. [c.293]
Рассмотрим вероятностное пространство (Q, 2, р). Пусть и наделено структурой компактного метрического пространства и вероятностная мера р непрерывна и регулярна относительно топологии Q. Непрерывность меры р означает, что каждое измеримое множество содержит подмножество половинной меры. При некоторых оговорках, не влияющих на последующее изложение, приведенное определение эквивалентно тому, что мера точки равна нулю. Регулярность меры р означает, что для любого FeS и Е>0 существует открытое множество Fe, содержащее F, такое, что р (Ft F)
Определение. Метрическое пространство z с метрикой р называется вполне ограниченным, если при любом е > 0 в z найдется конечная е-сеть, т.е. такое конечное множество ге,что для каждого z z существует такое ze е z , что p(z, z ) < е. [c.107]
О п ределение. Последовательность элементов z t, z3, . . . метрического пространства z называется сходящейся в себе, если по любому е > О найдется такое N, что при т, п > N имеет место р (z , zn) < е. [c.108]
Теорема. Для того чтобы метрическое пространство z было вполне ограниченным, необходимо и достаточно, чтобы из любой последовательности его элементов можно было выбрать сходящуюся в себе подпоследовательность. [c.108]
Из теоремы предыдущего пункта немедленно вытекает удобный признак того, что метрическое пространство z не является вполне ограниченным. Именно, это будет так, если найдется такое е > О и такая бесконечная последовательность элементов z j, z 2, . . . пространства z с метрикой р, что р (Zj, zk) > е при любых различных / и k. [c.109]
В метрическом пространстве выходов системы [c.68]
Определение метрических пространств. Примеры. Пространство непрерывных функций. Полные метрические пространства. Принцип сжимающих отображений. Нормированные пространства. [c.16]
Пусть I, Xi r, щ ) — игра т лиц в нормальной форме. Если для каждого г Xi — компактное выпуклое подмножество метрического пространства, а щ — непрерывная функция, тогда в этой игре существует равновесие Нэша в смешанных стратегиях — [c.523]
Пусть в Z(/) в общем виде задано скалярное произведение z,(t),z2(t))t удовлетворяющее следующим условиям. Линейные пространства Z(t), Y(t) и X(t) являются полными метрическими пространствами относительно метрики /Kv) = 0 -( )(> где Jz(/) = (z(/),z(s) l/2 - индуцируемая данным скалярным произведением норма. В отношении Z(t) предполагается, что норма всех его элементов конечна при любых фиксированных / и s. Таким образом Z(/), Y(t) и X(t) являются гильбертовыми пространствами. [c.100]
Имеется еще группа методов, в которых вместо простого разделения в пространстве признаков используются метрические функции этого пространства. Например, группировка объектов в новое понятие происходит таким образом, что расстояния между парами объектов, попавших в одно понятие, существенно превосходят расстояние от них до объектов, лежащих вне его (разделение по потенциальной функции). [c.170]
Техники многомерного масштабирования представляют собой методы создания пространств, в которых подобия рассматриваются как расстояния, задаваемые определенным показателем. Существует множество способов использования многомерного масштабирования как для метрических (где расстояния между данными должны иметь точные значения), так и для неметрических данных (где важно, чтобы расстояния между данными были одного порядка). Большинство методов многомерного масштабирования требуют сложных и значительных по объему вычислений и не позволяют создать функцию, которая бы могла быть использована для отображения новых элементов данных. Вместо этого проекции всех данных рассчитываются в процессе одновременной оптимизации. [c.203]
ГРАНИЧНАЯ ТОЧКА [boundary point] — такая точка некоторого подмножества А метрического пространства, что любая ее малая окрестность (называется е-окрестность) содержит хотя бы одну точку из А и хотя бы одну точку, не принадлежащую А. Напр., Г.т., лежащая на границе области допустимых значений задачи линейного программирования (см. рис. Л.1 к соответствующей статье) ее (точки) окрестность содержит как допустимые, так и недопустимые точки (см. ст. "Допустимость, допустимый"). [c.67]
Вполне ограниченные пространства часто называются также условно компактными. Если они являются подмножествами некоторых метрических пространств и имеют в них компактные замыкания, то они называются предкомпактными. П [c.107]
Теорема 1.7.2 (Gli ksberg (1952)). Если в игре Г множества Si стратегий игроков являются непустыми компактными подмножествами метрического пространства, а функции выигрышей ъц непрерывны, то существует равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях. [c.48]
Как и для временной логики, начнем построение пространственной статической логики с модели представлений. Учитывая достаточно полное изложение методики построения псевдофизических логик на примере временной логики, мы ограничимся для пространственной логики более фрагментарным изложением. Наибольший интерес в пространственной логике представляет та ее часть, которая связана с получением выводов на топологической шкале расстояний между объектами. Именно эту часть логики мы и рассмотрим здесь. Наше изложение должно пополнить общее представление о тех проблемах, которые встают перед разработчиками псевдофизических логик. Другие же разделы, относящиеся к пространственной статической логике (работа с метрическими шкалами и отображение высказываний на них, работа с отношениями взаимного расположения предметов, отношениями ориентации их в пространстве и многое другое), фактически строятся аналогично тому,, как это делалось для временной логики. [c.125]