Оптимизация смешанной стратегии позволит игроку Р, всегда получать среднее значение выигрыша независимо от стратегии игрока Р2. Для иллюстрации этого продолжим начатый пример. [c.174]
Оптимизация смешанной стратегии позволит игроку Р всегда получать среднее значение выигрыша (прибыли) независимо от стратегии игрока Р2. Для оптимизации смешанной стратегии необходимо определить частоту применения игроком Р стратегии А и стратегии В. Обозначим частоту применения стратегии Л через х, тогда частота применения стратегии В будет (1 - ). [c.53]
Если игрок Р принимает оптимальную смешанную стратегию, то и при стратегии игрока Р2 (природа) С (теплая погода) и при его стратегии Д (холодная погода) игрок Р должен получить одинаковую среднюю прибыль (выигрыш) [c.53]
Очевидно, что смешанные стратегии игроков в случае игр [c.68]
Пусть <тг- — некоторая смешанная стратегия игрока г. [c.95]
Пусть смешанная стратегия игрока а определяется следу- [c.95]
Смешанная стратегия игрока есть вероятностное распределение на множестве его чистых стратегий. [c.431]
Xf, Xj, У/,... - смешанные стратегии игрока / в бескоалиционной игре [c.5]
X, Y — смешанные стратегии игроков 1 и 2 в антагонистической игре [c.5]
X/ — множество всех смешанных стратегий игрока / в бескоалиционной игре 5 [c.5]
X, Y - множества всех смешанных стратегий игроков 1 и 2 в антагонистической игре [c.6]
Нетрудно проверить, что в игре в "орлянку" из п. 2.3 ситуация равновесия (в данном случае ее можно называть седловой точкой) в смешанных стратегиях существует. Она составлена из смешанных стратегий игроков, состоящих в выборе каждым из них обоих своих чистых стратегий с половинными вероятностями. Как легко подсчитать, значение получившегося смешанного расширения игры равно нулю (см., например, 18 гл. 1). [c.17]
Определение. Случайная величина, значениями которой являются стратегии игрока, называется его смешанной стратегией. П. [c.43]
Таким образом, задание смешанной стратегии игрока состоит в указании тех вероятностей, с которыми выбираются его первоначальные стратегии. [c.43]
Выбор игроком одной из своих стратегий с вероятностью 1, а каждой из остальных - с вероятностью 0, очевидно, означает выбор им этой выделенной стратегии. Поэтому каждая из первоначальных стратегий игрока также является его смешанной стратегией, их иногда называют чистыми стратегиями. [c.43]
Так как смешанная стратегия игрока описывается вероятностной схемой выбора им своих чистых стратегий, ее можно представить в виде вектора, компонентами которого являются вероятности, т.е. вещественные неотрицательные числа, сумма которых равна единице. [c.43]
В m X л-игре произвольную смешанную стратегию игрока 1 мы будем обычно обозначать буквой X, полагая Х( ) - /. Таким образом, [c.43]
Смешанные стратегии игрока 2 будут обозначаться через Y и для них будет приниматься Y(j) = т .. Таким образом, [c.43]
Фундаментальные симплексы смешанных стратегий игроков 1 и 2 в матричной игре Г = (х, у, Я) обозначаются соответственно через X и Y. Заметим, что X и Y являются компактами. [c.45]
Все сказанное можно с соответствующими изменениями повторить и применительно к составляющим фундаментальный симплекс Y смешанным стратегиям игрока 2 и граням Yy/ этого симплекса. [c.45]
Лемма (о переходе к смешанным стратегиям). Если Y — произвольная стратегия игрока 2, а — некоторое число и [c.46]
Доказательство. Предположим, что Г Г . Это значит, что У Г.4 и ГВ совпадают множества чистых стратегии первого игрока, а также множества чистых стратегии второго игрока. Поэтому у них должны совпадать также и множества смешанных стратегий игроков. [c.48]
Установление существования в матричных играх оптимальных стратегий игроков означает, прежде всего, реализуемость принципа мак симина. По существу это выражает тот "метаматематический" факт, что принцип мак-симина не противоречит конструкции матричной игры и ее смешанного расширения. Этот факт может стать побудительным мотивом к поискам опти- [c.55]
Пусть X — произвольная смешанная стратегия игрока 1 (в частности, эта стратегия может быть и чистой). Если — вероятность выбора игроком 1 [c.63]
Фундаментальный симплекс смешанных стратегий игрока I представляет собой в рассматриваемом случае сегмент [О, 1 ], в котором координата точки, описывающей смешанную стратегию игрока 1, есть вероятность использования им первой чистой стратегии. [c.69]
Абсцисса этой точки является, таким образом, оптимальной смешанной стратегией игрока 1, а ее ордината — значением игры. Если же таких высших точек будет более одной, то, очевидно, огибающая ломаная будет иметь горизонтальный участок (рис. 1.19). Множество оптимальных стратегий игрока 1 будет состоять из всех абсцисс этих точек. [c.70]
Произвольная смешанная стратегия игрока 2 имеет здесь вид Y = ( , 1 - т ), и их множество можно описать сегментом [О, 1]. [c.72]
Эту стратегию можно рассматривать также как смешанную стратегию игрока 1 в игре Г (ср. п. 22.1), и для нее, как и для любой его стратегии, должно быть [c.78]
Доказательство. Пусть X и /0 — стратегии игрока 1. Из условия доминирования при любом / должно быть я/о/-
Значит, в игре Г все оптимальные стратегии игрока L являются вполне смешанными (мы доказали даже несколько более того, что нам требовалось), и мы оказываемся в условиях второй части теоремы п. 24.3. Поэтому согласно (24.6), (24.2) и [c.81]
МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ [matrix games] — класс антагонистических игр, в которых участвуют два игрока, причем каждый игрок располагает конечным числом стратегий. Если один игрок имеет т стратегий, а второй — п, то можно построить матрицу игры размерностью тхп. М.и. могут иметь седловую точку, но могут и не иметь ее. В последнем случае решение игры в чистых стратегиях невозможно и оптимальные стратегии игроков отыскиваются среди их смешанных стратегий. М.и. для нахождения таких стратегий удобно преобразовывать в задачи линейного программирования. [c.189]
Определение. Множество тех номеров / (чистых стратегий игрока 1), для которых в смешанной страгетии X = ( i, . . . , w) компоненты / положительны, назьюается спектром смешанной стратегии X и обозначается через supp X. [c.45]
Очевидно, множество всех смешанных стратегий игрока 1 из X, спектры которых содержатся в данном множестве х С х, составляет некоторую грань симплекса X, а именно ту его грань, на которой обращаются в нуль все барицентрические координаты, соответствующие стратегиям из разности х х. Эту грань мы будем обозначать через Хх вместе с тем эту же грань можно понимать и как множество всех смешанных стратегий X игрока 1 в х -подыгре исходной игры. При этом оба описанных представления этой стратегии в виде вектора X - ( i, . . . , ) будут отличаться друг от друга лишь наличием (при ее понимании как стратегии в исходной игре) или отсутствием (при ее понимании как стратегии в подыгре) некоторого числа нулевых компонент вектора. Во всех случаях, когда это не сможет привести нас к недоразумению, мы не будем различать смешанные стратегии со спектром, содержащимся в данном множестве х стратегий в некоторой игре и соответствующие им стратегии х -подыгры. [c.45]
Определение. Пара (X, У) смешанных стратегий игроков в матричной игре, где X и Y как случайные величины являются независимыми, назьюается ситуацией в смешанных стратегиях в этой игре. G [c.45]
Матричная игра, очевидно, является подыгрой своего смешанного расширения. Для седловых точек этих игр справедливо обращение свойства независимости от посторонних альтернатив (п. 5.4). Кроме того, это свойство распространяется и на оптимальные стратегии игроков (см. п. 5.6). [c.47]
Из сказанного выше видно, что с ростом формата матричной игры весьма резко возрастает сложность анализа игры и трудоемкость ее решения. Поэтому любые приемы, позволяющие сводить решение игры к решению другой игры, меньшего формата, представляются весьма полезными. Если выражаться более точно, то здесь, говоря о "сведении", мы имеем в виду две задачи. Во-первых, более легкую построить по игре 1 такую ее подыгру Г , что с (А )С ( (А), а, во-вторых, — более трудную построить по игре Г такую ее подыгру Г >, что ё (Аг) = (А). При этом в обоих случаях, в соответствии со сказанным в п. 8.5, мы отождествляем смешанные стратегии игроков в подыгре ГА со смешанными стратегиями этих игроков в игре 1 , получаемыми из стратегий в игре Г путем надлежащего их пополнения нулевыми компонентами. [c.76]
Определение. Стратегия игрока называетя вполне смешанной, если ее спектр состоит из множества всех стратегий игрока. [c.79]
Ситуация равновесия (седдовая точка) в игре называется вполне смешанной, если она состоит из вполне смешанных стратегий игроков. [c.79]
До казательство. В условиях первой части теоремы для оптимальной стратегии X игрока 1 ввиду существования вполне смешанной оптимальной стратегии игрока 2 согласно теореме о дополняющей нежесткости должно быть XA.j =VA для всех /= ,..., п. Запишем эту систему равенств в виде ХА = VA Jn, откуда ввиду невырожденности матрицы А [c.80]
Доказательство. Пусть в п X я-игре ГА вполне смешанными являются все оптимальные стратегии игрока 1. Ввиду существования вполне смешанной оптимальной стратегии игрока 2, как и раньше, все оптимальные стратегии игрока 1 суть решения уравнения ХА = vAJn. Это уравнение заведомо разрешимо (ибо оптимальные стратегии у игрока 1 существуют ). Поэтому если бы матрица А была вырожденной, то решения уравнения составляли бы целое подпространство положительной размерности. При этом некоторые решения находились бы на пересечении этого подпространства с границей фундаментального симплекса смешанных стратегий X. Но точки этой границы соответствуют смешанным стратегиям, имеющим нулевые компоненты, т.е. не являющимся вполне смешанными, а это противоречит предположенному. П [c.82]