Вполне смешанные стратегии

ВПОЛНЕ СМЕШАННЫЕ СТРАТЕГИИ  [c.79]

Действительно, вполне смешанная стратегия Z =U1,. . . , п) является оптимальной стратегией каждого из игроков в диагональной игре Г , где  [c.81]


Сравнение этих выражений с формулами (18.12) и (18.18) из гл. 1 показывает, что в рассматриваемой биматричной игре в условиях ситуации равновесия во вполне смешанных стратегиях поведение игрока 2 совпадает с поведением игрока 2 в матричной игре с матрицей выигрышей А, а поведение игрока 1 - с поведением игрока 2 в матричной игре с матрицей выигрышей В.  [c.181]

В качестве иллюстрации рассмотрим наш пример, когда Е использует вполне смешанные стратегии, которые приписывают "НЕТ" — вероятность 1/4, " BXI " — 1/2, " вх2 — 1/4". Тогда вероятность достижения информационного множества игрока / есть 3/4. По правилу Байеса, вероятность нахождения в левой вершине этого информационного множества, при условии, что оно достигнуто, равно 2/3, а условная вероятность нахождения в правой вершине равна 1/3. Для представлений /, следующих за входом и согласованных со стратегией Е, представления / должны приписывать именно эти вероятности.  [c.146]


Определение 4.2.1 Пара (<т, /л), состоящая из набора стратегий и системы представлений называется последовательным равновесием в позиционной игре ГЕ, если (1) набор стратегий а последовательно рационален при данной системе представлений ц (2) существует последовательность вполне смешанных стратегий (то есть стратегий, в которых каждая чистя стратегия играется с положительной вероятностью) ak L1 такая, что Нгщ-юо rk = r, причем ц = Нгщ-юо jj,k, где jj,k — представления, выводимые из набора стратегий ak no правилу Байеса.  [c.153]

Последовательному равновесию удается избежать тех осложнений, с которыми мы столкнулись в двух последних примерах. Действительно, вернемся к игре, изображенной на рис. 7. В этой игре все представления, которые можно вывести из любой последовательности вполне смешанных стратегий, приписывают равные вероятности двум вершинам из информационного множества игрока 2. Поэтому в любом последовательном равновесии игрок 2 должен играть г, а игрок 1 должен играть у. В действительности, пара стратегий (г, у) и представления, приписывающие равные вероятности вершинам каждого из двух информационных множеств, определяют единственное последовательное равновесие в этой игре.  [c.154]

Если стратегии не вполне смешанные, то некоторые инфор-  [c.160]

Тогда, если игрок 2 имеет в ГА вполне смешанную оптимальную стратегию, то игрок 1 имеет в ней единственную оптимальную стратегию X, для которой )  [c.80]

Если же в ГА вполне смешанную оптимальную стратегию имеет игрок 1, то игрок 2 обладает в ней единственной оптимальной стратегией Y, для которой  [c.80]

Покажем, что игрок 1 имеет в игре Г вполне смешанную оптимальную стратегию. Возьмем сначала для этого смешанную стратегию Х° =( / ,..., 1/я). Тогда  [c.81]


Значит, в игре Г все оптимальные стратегии игрока L являются вполне смешанными (мы доказали даже несколько более того, что нам требовалось), и мы оказываемся в условиях второй части теоремы п. 24.3. Поэтому согласно (24.6), (24.2) и  [c.81]

Лемма. Если в матричной пХ п-игре ТА оба игрока имеют вполне смешанные оптимальные стратегии, а для одного из них вполне смешанными являются все оптимальные стратегии, то матрица А оказывается невырожденной.  [c.81]

Теорема. Если в п X п-матричной игре ГА оба игрока имеют вполне смешанные оптимальные стратегии, причем для одного из них все оптимальные стратегии являются вполне смешанными, то матрица А выигрышей невырожденная, оптимальные стратегии X и Y в игре ТА являются единственными и могут быть определены по формулам (24,1) и (24.3). Значение VA игры ГА определяется по формуле (24.2).  [c.82]

Доказательство. Пусть Г = < х, у, Н > — компактная игра. Она является вполне ограниченной, и потому, на основании сказанного в п. 8.1, при любом б > 0 в ней имеются ситуации е-равновесия в смешанных стратегиях. В частности, отсюда следует, что игра Г имеет значение 1>г.  [c.115]

Однако в нашем случае имеется еще третья ситуация равновесия, состоящая в выборе игроками некоторых вполне определенных смешанных стратегий. Формально ее можно считать основой возможного договора в не меньшей степени, чем первые две. Она даже "более справедлива", чем они, поскольку в ней оба игрока получают одинаковые выигрыши  [c.184]

Изменение знака частей первого из этих равенств превращает эту систему равенств в условие равновесности вполне смешанной ситуации в игре из предыдущего параграфа. Поэтому в единственной вполне смешанной ситуации равновесия каждый из игроков выбирает свою первую чистую стратегию с вероятностью =2 — >/2 являющейся иррациональным числом.  [c.201]

Если стратегии не вполне смешанные, то некоторые информационные множества могут не достигаться (с положительной вероятностью) и мы не можем использовать формулу Байеса. На интуитивном уровне эта проблема соответствует следующей идее даже, если игроки разыгрывали бы игру неоднократно, то "равновесный розы-  [c.146]

Согласно теореме п. 6.1 из равенства (13.10), справедливого для любой матрицы А, следует, во-первых, что смешанное расширение любой матричной игры имеет значение, т.е. является вполне определенной игрой, а, во-вторых, что игроки в этом смешанном расширении имеют оптимальные стратегии.  [c.264]

Ситуация равновесия (седдовая точка) в игре называется вполне смешанной, если она состоит из вполне смешанных стратегий игроков.  [c.79]

Класс всех диагональных игр при всей их простоте и элементарности может в некотором смысле считаться универсаль ным. Именно, любая вполне смешанная стратегия является оптимальной в некоторой диагональной игре.  [c.81]

Предложение 1.12.2 (Selten (1975)). Равновесие по Нэшу а в игре в нормальной форме Г = /, (Si), (иг-) является совершенным равновесием дрожащей руки (в игре в нормальной форме) тогда и только тогда, когда существует последовательность таких вполне смешанных стратегий ak (т. е. стратегий, в которых все чистые стратегии играются с положительными вероятностями), что ak —Y а и (Ji является лучшим ответом на любой элемент последовательности  [c.56]

Для описания такой согласованности рассмотрим специальный случай, когда равновесная стратегия каждого игрока приписывает строго положительную вероятность каждому возможному действию в каждом из его информационных множеств (так называемая вполне смешанная стратегия). В этом случае каждое информационное множество достигается с положительной вероятностью. Естественное понятие согласованности представлений с такой ситуацией равновесия а выглядит так для каждой вершины х в данном информационном множестве Н, игрок должен вычислить вероятность достижения этой вершины при данном разыгрывании набора стратегий а, Prob(z <т), а затем, используя формулу Байеса, приписать условную вероятность нахождения в каждой из этих вершин, при условии, что при разыгрывании достигнуто это информационное множество  [c.146]

По существу, речь идет о том, что последовательное равновесие требует, чтобы представления возникали из некоторого множества "близких" к а вполне смешанных стратегий. Это можно рассматривать как требование того, что игроки определяют свои представления, делая, с некоторой малой вероятностью, ошибки в выборе своих стратегий. Важно отметить, что каждое последовательное равновесие является ССБР, поскольку предельные представления в точности совпадают с представлениями, выводимыми из равновесных стратегий а по правилу Байеса на траектории, определяемой профилем а. Обратное, вообще говоря, неверно.  [c.153]

Что касается примера, изображенного на рис.8, то стратегии единственного последовательного равновесия в этой игре являются стратегиями единственного СПРН ((вход нет, если вход), (нет, если Е играет вход)). Чтобы убедится в этом, рассмотрим любую вполне смешанную стратегию а и любую вершину z в информационном множестве /, которое мы обозначим через HI. Пусть z обозначает вершину, следующую за входом игрока Е (т. е. начальную вершину под-игры, следующей за входом). Тогда представления / , соответствующие а в информационном множестве HI, определяются следующим образом  [c.154]

Определение. Стратегия игрока называетя вполне смешанной, если ее спектр состоит из множества всех стратегий игрока.  [c.79]

До казательство. В условиях первой части теоремы для оптимальной стратегии X игрока 1 ввиду существования вполне смешанной оптимальной стратегии игрока 2 согласно теореме о дополняющей нежесткости должно быть XA.j =VA для всех /= ,..., п. Запишем эту систему равенств в виде ХА = VA Jn, откуда ввиду невырожденности матрицы А  [c.80]

Но теперь оказьюаетя, что и игрок 2 имеет в игре Г вполне смешанную оптимальную стратегию, и мы можем воспользоваться первой частью теоремы п. 24.3, согласно которой  [c.81]

Доказательство. Пусть в п X я-игре ГА вполне смешанными являются все оптимальные стратегии игрока 1. Ввиду существования вполне смешанной оптимальной стратегии игрока 2, как и раньше, все оптимальные стратегии игрока 1 суть решения уравнения ХА = vAJn. Это уравнение заведомо разрешимо (ибо оптимальные стратегии у игрока 1 существуют ). Поэтому если бы матрица А была вырожденной, то решения уравнения составляли бы целое подпространство положительной размерности. При этом некоторые решения находились бы на пересечении этого подпространства с границей фундаментального симплекса смешанных стратегий X. Но точки этой границы соответствуют смешанным стратегиям, имеющим нулевые компоненты, т.е. не являющимся вполне смешанными, а это противоречит предположенному. П  [c.82]

Предположим теперь, что в Г игрок 1 имеет оптимальную стратегию, не являющуюся вполне смешанной. Ily ib, например, Х = ( j,.. ., ) -такая стратегия, и /о = 0. Тогда в силу (24.9) мы получаем  [c.82]

Но уже из существования одной вполне смешанной оптимальной стратегии у игрока 1 согласно теореме о дополняющей нежесткости (см. п. 17.3) следует, что для любой оптимальной стратегии Y = (171,. . . , Л) игрока 2 должно быть  [c.83]

Теорема. Если антагонистическая игра Г = < х, у, Я > является вполне ограниченной, то при любом е > 0 в ней существуют е-оптималъные смешанные стратегии с конечным спектром.  [c.110]