Таким образом, в биматричной игре мы сталкиваемся не с [c.79]
Поскольку здесь интересы игроков не являются полностью противоположными, то имеется возможность сообщать друг другу о своих намерениях и в некоторых случаях даже координировать свои действия. Применяются также блеф, угрозы и другие способы обмена информацией. Доказано, что игру и лиц с ненулевой суммой всегда можно преобразовать в игру п+ лиц с нулевой суммой путем добавления "фиктивного игрока". Конечная И.н.с. также называется биматричной игрой. [c.112]
Решение биматричных игр такого рода сталкивается со многими трудностями, в первую очередь связанными с тем, что ситуации равновесия в смысле минимакса различны для двух игроков, и даже если есть в игре общая ситуация равновесия, она не обязательно соответствует значению максимального выигрыша игроков и, следовательно, не представляет особого интереса для них [3]. [c.90]
Если биматричная игра является антагонистической, то матрица выигрышей игрока 2 полностью определяется матрицей выигрышей игрока 1 (соответствующие элементы этих двух матриц отличаются только знаками). Поэтому биматричная антагонистическая игра полностью описывается единственной матрицей (матрицей выигрышей игрока 1) и в соответствии с этим называется матричной. [c.10]
Поэтому такие игры называются биматричными. Биматричная игра с матрицами выигрышей А и В обозначается через Г (А, В.) или через ГА в. 12.2. Смешанные стратегии в биматричных играх, как и в матричных играх, естественно понимать как векторы, составляющие фундаментальный симплекс. Если X и Y — соответственно векторы, описывающие смешанные стратегии игроков 1 и 2, то, как легко видеть, [c.176]
Определение ситуации равновесия для случая биматричной игры приобретает следующую формулировку. Ситуация (X, Y) в биматричной игре с матрицами выигрышей А и В является равновесной, если [c.176]
Очевидно, при В — — А биматричная игра превращается в матричную, а соотношения (12.1) и (12.2) — соответственно в [c.176]
Вместе с тем, как мы сейчас увидим, применение описанного способа к анализу биматричных игр и даже к нахождению их решений, правда, весьма неэффективному, представляется вполне целесообразным. [c.177]
Пусть Г — Г (А, В) — тХ и-биматричная игра с матрицами выигрышей игроков [c.177]
Фактически анализ 2 X 2-биматричных игр будет проводиться по той же схеме, что и описанный в 17 гл. 1 анализ 2 X 2-матричных игр. Как мы увидим, несмотря на существенно большее разнообразие вариантов (вместо четырех параметров в матричном случае здесь их оказывается восемь ), анализ не станет от этого практически ни более сложным, ни даже более громоздким. [c.179]
Перейдем к описанию множества Ч 2(А, В) всех ситуаций, приемлемых в биматричной игре Г (А, В) для игрока 2. [c.180]
Естественно, что в случае биматричной игры Г для взаимного расположения множеств (Г) и 2 (О может представиться существенно больше комбинаций, чем в случае матричной игры. [c.180]
Сравнение этих выражений с формулами (18.12) и (18.18) из гл. 1 показывает, что в рассматриваемой биматричной игре в условиях ситуации равновесия во вполне смешанных стратегиях поведение игрока 2 совпадает с поведением игрока 2 в матричной игре с матрицей выигрышей А, а поведение игрока 1 - с поведением игрока 2 в матричной игре с матрицей выигрышей В. [c.181]
Отдельные классы биматричных игр (и в том числе 2 X 2-игр) поддаются более простому и содержательному анализу, чем те общие рассмотрения, которые были изложены в предыдущем параграфе. [c.182]
Определение. Будем называть почти антагонистической игрой биматричную игру с матрицами выигрыша Л и В, пли которых из я,у < aki или я,у = аы следует соответственно blf- > bki или b = bkj. D [c.182]
Описанная биматричная игра может быть задана матрицами выигрышей [c.183]
В п. 2.6 введения рассматривалась игра под названием "семейный спор". В этой 2 X 2-биматричной игре матрицами выигрышей игроков являются [c.183]
Решение данной биматричной игры в соответствии со сказанным в 13 дает нам С = 3, а = 2, т = 2/3. Поэтому ситуации, приемлемые для игрока 1, сос- [c.183]
Упрощением, получающимся в случае, когда каждый игрок имеет лишь две чистые стратегии, можно воспользоваться не только в случае биматричных игр, но и при рассмотрении игр с любым конечным числом игроков. [c.191]
Каждая из диадических игр трех лиц описывается 3 23 = 24 параметрами. Как легко подсчитать, переход к классам аффинной эквивалентности уменьшит число параметров лишь на 6, так что полная классификация таких игр, подобная той, которая была выполнена для 2X2-биматричных игр, практически неосуществима. Однако исчерпывающий алгоритм решения любой такой игры может быть составлен. [c.193]
Как было отмечено в п. 13.4, описание множества ситуаций равновесия биматричной игры (т.е. конечной игры двух лиц) есть рациональная операция. Иррациональность же числа в (22.4) означает, что решение данной игры трех лиц принципиально несводимо к решению какого-либо конечного числа игр двух лиц. Конфликты с тремя участниками оказываются, таким образом, принципиально более сложными, чем конфликты с двумя участниками. [c.197]
Например, для биматричной игры Г = Т (А, В) будет [c.206]
При изложении материала авторы выбрали именно системную схему построения рассуждений. И этого оказалось, на наш взгляд, вполне достаточно, чтобы обеспечить и неизменно выдерживать требуемую математическую строгость аппарата при минимуме специальных знаний из математики. В то же время нашим стремлением было наполнить текст, насколько это возможно, также и системной интерпретацией предлагаемых математических моделей. В частности, исходя из системных представлений о природе предпринимательского риска, достаточное внимание в книге уделено таким разделам математики, как теория графов (при обсуждении когнитивных моделей), теория вероятностей (в том числе субъективных вероятностей), системы массового обслуживания, теория матричных и биматричных игр, математическая теория компромисса (на основе взаимного информирования, блефа или угроз). [c.9]
Если рассматривается проблемная ситуация на уровне "Руководитель звена отрасли", то здесь примерно одинаково часто приходится сталкиваться с природной неопределенностью или строгим конфликтом с повторяющимися ситуациями. Адекватными здесь будут методы теории игр с природой и решения матричных или биматричных игр в смешанных стратегиях. [c.236]
Для обоснования решений на уровне "Высшее руководство" в наибольшей степени подходят модели биматричных игр с угрозами, модели группового выбора и игр N лиц, а также особый игровой подход к разрешению поведенческой неопределенности — деловые беседы. [c.236]
Если хотя бы одно из перечисленных утверждений истинно, то следует усложнить модель проблемной ситуации и сформировать биматричную игру, чтобы оценить стратегические возможности и перспективы применения равновесных стратегий и стратегий угроз. [c.245]
Следовательно, если при анализе биматричной игры будет установлено, что равновесные выигрыши игроков существенно превосходят максиминные, то в таком случае игрокам стоит подумать о перспективах применения равновесных стратегий. С одной стороны, если они применят равновесные стратегии, они могут получить существенно более предпочтительные результаты. И следование такой идее может быть провозглашено как принцип групповой рациональности. Но ведь если один из игроков отклонится от равновесной ситуации, например применит максиминную, то его-то выигрыш не улучшится, а другому это может оказаться на руку. Таким образом, применение каким-то игроком его максиминной стратегии, его поведение в соответствии с принципом индивидуальной рациональности, гарантирует этому игроку пусть скромный, но "независимый", гарантированный результат. А вот следование равновесной (по Нэшу) стратегии хотя и обещает игрокам потенциальные преимущества в игре, но требует от них определенной смелости. То есть равновесные стратегии по своей сути более рискованные. [c.246]
Проиллюстрируем особенности решения биматричной игры на концептуальных примерах анализа проблемы взаимного сокращения объема выпускаемой продукции. [c.246]
Рассмотрим простой иллюстративный пример. Проблемная ситуация моделируется биматричной игрой вида [c.253]
Хотя при сколько-нибудь больших значениях чисел т и п описанная процедура нахождения приемлемых (а по ним — и равновесных) ситуаций в биматричной игре является весьма громоздкой, при т = п = 2 для спектров стратегий каждого игрока оказывается не более трех вариантов, и приве-денйый способ представляется реально выполнимым геометрически. Мы займемся им в следующем параграфе. [c.178]
Описываемая далее схема анализа 2 X 2-биматричных игр формально является частным случаем рассуждений предыдущего параграфа, и множество всех ситуаций равновесия в такой игре можно описать на основании формулы (12.4). Однако, как это нередко бывает, в частном случае 2 X 2-биматричиых игр представляется целесообразным не пользоваться окончательной формулой,- выведенной для общего случая, а провопить каждый раз все приведшие к ней рассуждения применительно к конкретной рассматриваемой игре. [c.179]
Очевидно, проведенный анализ биматричной игры "семейный спор" с матрицами выигрыша А и В из (16.1) приложим и к более общим бимат-ричным играм, и в том числе к играм Г (А, В) с матрицами выигрышей [c.185]
Как было показано в п. 13.4, в любых биматричных играх (и в том числе - конечных антагонистических играх) с рациональными значениями функций выигрыша ситуации равновесия описываются рациональным образом. Поэтому приведенный пример показывает, что конечные полиантагонистические игры могут не поддаваться сведению к последовательному решению конечного числа конечных антагонистических (и даже биматричных) игр. [c.201]
Термин "биматричная" в названии игры объясняется тем, что на множестве (г, j) ситуаций игры, где г и j — номера соответствующих стратегий первого и второго игроков соответственно, задается матрица, каждый из элементов которой содержит упорядоченную пару чисел (vj,j, v2zj). В общем случае всегда можно сделать, чтобы эти числа были неотрицательными. Такими их и будем в дальнейшем считать. Для неантагонистической, в частности для биматричной, игры на основании принципа индивидуальной рациональности формулируют условие равновесия (по Нэшу) в следующем виде [c.245]