Аксиома Парето (в терминах решений). Для всех пар решений х, х" е X, для которых имеет место неравенство f(x ) > fix"), выполняется соотношение х >х х". [c.35]
Лемма 1.3. Принятие аксиом 2 и 3 гарантирует выполнение аксиомы Парето. [c.35]
Множество Парето. Если для некоторой пары возможных решений имеет место неравенство/ ) >/( "), то благодаря аксиоме Парето первое решение будет предпочтительнее второго, т. е. х >х х". Тогда в соответствии с аксиомой 1 второе решение ни при каких обстоятельствах не может оказаться выбранным и его можно исключить из последующего учета в процессе принятия решений. Исключение всех подобного рода решений приводит к множеству Парето. [c.36]
Если реализовался первый из указанных выше четырех случаев, то истинность соотношения у >- у" вытекает из аксиомы Парето. Второй вариант невозможен, так как в этом случае благодаря аксиоме Парето выполнено соотношение у" >- у, несовместимое в силу асимметричности >- с соотношением у >- у". [c.45]
Отсюда согласно аксиоме Парето получаем у > z . Далее, из соотношений [c.48]
Если дополнительно с неравенством у > у" выполнено Уг = Уг и Уг = У то благодаря аксиоме Парето имеем у у у". [c.50]
Пусть вместе с неравенством у[ > у" имеют место неравенства у[ <у , у ъ Z у . Рассмотрим вектор у1 = (у[, у , у ). Для него в силу несравнимо большей важности первого критерия по сравнению со вторым получаем соотношение у у у". Ноу у1, а значит либо у — у[ и тогда верно у у у", либо у > у1. Во втором случае благодаря аксиоме Парето имеем У у у, что вместе с полученным ранее соотношением у у у" на. основании транзитивности отношения у влечет соотношение у1 у у". [c.50]
Если же у[>у", у 2 > у , Уъ <у", то для вектора у3 = = (Уь Уъ Уг) благодаря несравнимо большей важности второго критерия по сравнению с третьим выполнено соотношение у3 у у". С другой стороны, верно неравенство у > у3, а значит согласно аксиоме Парето и соотношение у у у3, что вместе су3 у у" влечет соотношение у у у". [c.51]
Если дополнительно к неравенству у[ > у" выполнено у у", i = 2,. ..,т, то благодаря аксиоме Парето получаем соотношение у >- у". [c.82]
Аддитивность отношения предпочтения 51, 155 Аксиома Парето 35 Алгоритм построения множества не-доминируемых решений (оценок) 30, 129 -------Парето 39 [c.172]
Книга состоит из Введения, восьми глав, Заключения и списка литературы. В первой главе риск анализируется как неизбежный фактор предпринимательской деятельности. Обсуждаются особенности терминологии предпринимательства, в том числе различия в понятиях риск , опасность , угроза . Рассматриваются основополагающие концепции и принципы системного подхода. Обсуждается один из важнейших принципов теории принятия решений — аксиома Парето. Приводится системная классификация видов экономической дея- [c.12]
Аксиома Парето (принцип доминирования). [c.174]
В рамках рассматриваемой модели многокритериального выбора принцип Эджворта-Парето может быть сформулирован в виде утверждения о том, что множество выбираемых решений содержится в множестве Парето. Иначе говоря, каждое выбираемое решение является парето-оптимальным. Математический эквивалент этому высказыванию — включение одного множества в другое. Для того чтобы доказать это включение, следует определенным образом ограничить весь класс задач многокритериального выбора, наложив специальные требования на указанные выше три объекта. Эти требования (аксиомы) относятся главным образом к отношению предпочтения ЛПР и могут быть интерпретированы как рациональное (или разумное , последовательное ) поведение в процессе выбора. Кроме того, среди этих требований имеется условие согласованности отношения предпочтения ЛПР и векторного критерия, поскольку каждый из этих двух объектов выражает определенные устремления (цели) одного и того же ЛПР, и потому они обязаны быть каким-то образом связаны друг с другом. [c.10]
Именно формулировка и обоснование этого принципа составляет центральный результат первой главы. Устанавливается, что принцип Эджворта-Парето следует применять лишь для решения задач многокритериального выбора из некоторого, хотя и достаточно широкого класса. Этот класс составляют такие задачи, которые удовлетворяют определенным трем требованиям (аксиомам), выражающим рациональность поведения лица, принимающего решение. За пределами указанного класса использование принципа Парето сопряжено с риском и может привести к далеко не лучшим результатам. [c.15]
Последнее включение выражает собой принцип Эджворта-Парето, согласно которому выбор следует производить в пределах множества Парето. Как было указано в первой главе, этот принцип применим в любой задаче многокритериального выбора, удовлетворяющей аксиомам 1-3. Иначе его можно сформулировать так множество Парето представляет собой определенную оценку сверху для множества выбираемых векторов. [c.67]
Теорема 4.4 (в терминах векторов). Предположим, что выполнены аксиомы 1-4 и имеется набор из двух сообщений о том, что i-u критерий важнее k-го с коэффициентом относительной важности Qik, а также что j-u критерий важнее k-го с коэффициентом относительной важности Qjk. Тогда для любого непустого множества выбираемых векторов Sel Y справедливы включения (4.1), где Р ) — множество парето-оптимальных векторов в задаче с множеством возможных решений X и векторным критерием g вида [c.106]
Здесь руководствуются важной экономико-социальной закономерностью, получившей название правила (аксиомы) 20/80 Парето (иногда его именуют и наоборот — 80/20 ). Оно звучит удивительно просто и выразительно Всего лишь около 20% факторов.являются ведущими, так как именно они дают примерно 80% суммарного эффекта, а остальные примерно 80% факторов дают всего лишь около 20% суммарного эффекта . [c.189]
Последнюю аксиому называют условием групповой рациональности, или Парето оптимальности, или также эффективности. Игрок j из аксиомы А2 называется [c.187]
А Пусть, напротив, для некоторого недоминируемого решения х е Ndom X выполнено соотношение х g P/(X). Тогда, по определению множества парето-оптимальных решений, существует такое возможное решение х е X, что/(х ) > f(x). На основании леммы 1.3 в условиях доказываемого утверждения справедлива аксиома Парето. Поэтому полученное неравенство, в силу аксиомы Парето, влечет соотношение х ух х, которое не совместимо с начальным предположением х е Ndom J. У [c.36]
Необходимость. На основании теоремы 2.3 остается убедиться, что конус К данного бинарного отношения > включает неотрицательный ортант. В силу леммы 1.3 предыдущей главы выполняется аксиома Парето (в терминах векторов) [c.57]
Достаточность. Если конусное отношение порождается острым выпуклым конусом (без нуля), то в силу теоремы 2.3 соответствующее ему конусное отношение является иррефлексивным, транзитивным и инвариантным относительно линейного положительного преобразования (т. е. аксиомы 2 и 4 выполнены). А так как этот конус содержит неотрицательный ортант R , то соответствующее конусное отношение, кроме того, удовлетворяет аксиоме Парето. Нетрудно понять, что из справедливости аксиомы Парето вытекает выполнение аксиомы 3. Следовательно, рассматриваемое конусное отношение удовлетворяет всем аксиомам 2-4.v [c.57]
Рассмотрим случай, когда в дополнение к неравенству у[ > у" имеет место обратное неравенство y s < у" для некоторого (или некоторых) s e 2,. .., т]. Введем в рассмотрение вектор у, у которого ух = у , для всех указанных номеров j выполнено равенство ys = y s -1, а все остальные компоненты имеют вид ук = у 1 -1. Очевидно, справедливо неравенство у1 > у. Следовательно, согласно аксиоме Парето верно соотношение у у у. У вектора у только первая компонента больше первой компоненты вектора у", а все остальные — меньше соответствующих компонент у". Поэтому благодаря тому, что первый критерий несравнимо важнее набора всех остальных критериев, получаем у у у ". В силу транзитивности отношения >- из соотношений у ууиууу" приходим к требуемому результату у >- у". [c.82]
Из приведенных доказательств теорем, посвященных учету различного рода информации об относительной важности критериев, можно усмотреть вполне определенную схему, на основе которой получаются соответствующие формулы для пересчета нового критерия. Кратко эту схему можно описать следующим образом. С самого начала, когда еще нет никакой информации об относительной важности критериев, справедливо лишь включение R" с К, где символом А"обозначен острый выпуклый конус (неизвестного) конусного отношения >. Указанное включение выполняется благодаря аксиоме Парето. Наличие в общем случае некоторого набора информации, состоящего из к сообщений об относительной важности критериев, на геометрическом языке означает задание к векторов у1 е Rm, для которых выполнено у > 0т или, что то же самое, у е К, i = 1, 2,..., к. Далее вводится острый выпуклый конус М, порожденный векторами е1, е1,..., ет, у у2,. ..,ук. Этот конус определяет конусное отношение того же самого класса, что и неизвестное отношение предпочтения >, но более широкое, так как М с К. Конус М является конечнопорожденным, а значит многогранным. Число компонент нового векторного критерия в точности совпадает с числом (т - 1)-мерных граней конуса М, а нормальные (направленные [c.122]
Все указанные векторы принадлежит острому выпуклому конусу К, который задает конусное отношение предпочтения >-. Поэтому справедливо включение М с К, а значит конус М — острый. Кроме того, благодаря аксиоме Парето он содержит неотрицательный ортант Я , т. е. j с М. [c.125]
Постановка математической задачи. Бинарное отношение предпочтения >, которым ЛПР руководствуется в процессе принятия решений, благодаря аксиомам 2-4 является конусным с острым выпуклым конусом К без начала координат. Поэтому пусть имеется произвольный острый выпуклый конус К, К с Rm, который не содержит начало координат и в силу аксиомы Парето включает неотрицательный ортант R . Следует заметить, что в общем случае конус К не является многогранным. [c.137]
Рассмотренная схема преобразований имеет ряд преимуществ. Во-первых, ЛПР работает в привычном для него режиме, так как от него требуется делать лишь качественные суждения (типа "Удовлетворительно",..., "Отлично") о значениях оценок критериев, исходя из понятного для него их смысла и ориентируясь на ясное представление о цели предстоящей операции. Во-вторых, такая схема не только превращает значения натуральных критериев в однородную шкалу, но и делает все новые однородные критерии положительно ориентированными по предпочтению. В-третьих, сравнительно небольшое число градаций одно родного критерия существенно повышает действенность аксиомы Парето, так как существенно уменьшается число несравнений по правилу (2.8). В то же время использовать описанную технологию преобразования шкал следует достаточно осторожно. Это обусловлено тем, что на адекватность получаемых результатов и рекомендаций существенное влияние оказывают число градаций выбранной ранговой шкалы и адекватность сортировки натуральных значений шкалы на толерантные градации. [c.186]
Располагая определением относительной важности критериев и изучив простейшие его свойства, можно приступить к решению главного вопроса, ради которого это понятие вводилось каким образом учитывать информацию об относительной важности критериев в форме сообщения о том, что один критерий важнее другого Оказывается (это демонстрируется во второй главе книги), если несколько ограничить класс задач многокритериального выбора, для которых справедлив принцип Эджвор-та-Парето, добавлением еще одного достаточно разумного требования (аксиомы) к отношению предпочтения ЛПР, то учет этой информации можно производить очень просто — нужно лишь в соответствии с выведенной несложной формулой пересчитать менее важный критерий, оставив все остальные критерии и множество возможных решений прежними. В результате получится новая многокритериальная задача, множество Парето которой будет уже множества Парето исходной задачи, причем ни одно выбираемое решение исходной задачи не окажется за пределами нового множества Парето. Иначе говоря, при переходе от старого множества Парето к новому произойдет сужение области компромиссов и при этом не будет потеряно ни одно выбираемое (потенциально-оптимальное) решение. Область поиска выбираемых решений после указанного учета информации об относительной важности критериев станет более узкой и, тем самым, задача выбора упростится. [c.12]
ОРДИНАЛИСТСКАЯ (ПОРЯДКОВАЯ) ПОЛЕЗНОСТЬ — субъективная полезность (или удовлетворение), которую потребитель получает из потребляемого им блага, измеренная по порядковой шкале. Сущность теории полезности Ординалистская (порядковая) теория полезности представлена как альтернативная теория кардиналистской (количественной) теории полезности. Ординалистскую теорию полезности предложили английский экономист и статистик Ф. Эджуорт (1845—1926), итало-швейцарский социолог и экономист В. Парето (1848—1923), американский экономист и статистик И. Фишер (1867—1947). В 1930-х гг. после работ Р. Аллена и Дж. Хик-са эта теория приобрела завершенную форму и в настоящее время остается наиболее распространенной. Согласно этой теории предельную полезность измерить невозможно, потребитель измеряет не полезность отдельных благ, а полезность наборов благ. Измерению поддается только порядок предпочтения наборов благ. Критерий ординалистской теории полезности предполагает упорядочение потребителем своих предпочтений относительно благ. Потребитель систематизирует выбор набора благ по уровню удовлетворения. Основные аксиомы теории полезности Ординалистская (порядковая) теория полезности основана на нескольких аксиомах. Заметим, что среди экономистов нет единства относительно количества и названия аксиом. Одни авторы называют четыре аксиомы, другие — три аксиомы. Здесь мы выделим следующие аксиомы [c.436]
Аксиомы единогласия, Парето - оптимальности и независимости от посторонних альтернатив. Одноэлементность минимальной решающей коалиции. [c.72]