Множители Лагранжа

из "Вариационные принципы механики сплошной среды "

Множители Лагранжа. Как правило, множество допустимых функций выделяется ограничениями, записанными в форме уравнений или неравенств. Некоторым из них, таким, например, как краевые условия для искомых функций, легко удовлетворить, и они не вызывают затруднений. Для ограничений нелокальных или содержащих производные указать достаточно широкий набор допустимых функций иногда бывает не просто. [c.114]
Здесь нижняя грань берется по всем функциям и, а верхняя —. по всем действительным числам X. [c.115]
Число X называется множителем Лагранжа для ограничения (4.1). [c.115]
Описанная процедура сводит решение задачи с ограничениями к последовательному решению вариационных задач, не содержащих ограничений. [c.116]
Проиллюстрируем метод множителей Лагранжа на одном примере. [c.118]
Задача заключается в отыскании функции и(х, у), доставляющей минимум функционалу (и). [c.118]
Она показывает, что задача о минимуме функционала (и) на множестве тел с ограниченной площадью поверхности правильно поставлена. [c.120]
Краевая задача. (4.27) получена подстановкой значения а = S/ l в (4.23) и имеет смысл, так как S П . [c.120]
Форма тела минимального сопротивления определяется решением краевой задачи (4.27). Соответствующие поверхности называют поверхностями постоянного ската. [c.120]
Если П - круг, то среди всех тел, опирающихся на П и имеющих площадь поверхности, не превосходящую 5, минимальное сопротивление имеет конус с площадью поверхности 5. Форма тела минимального сопротивления в случае, когда П - эллипс, изображена на рис. 26. [c.121]
Минимальная сила сопротивления определяется только площадью основания П и площадью поверхности 5 и не зависит от формы основания (форма тела минимального сопротивления, конечно, зависит от формы основания). Таким образом, мы построили также решение другой задачи найти форму тела минимального сопротивления при условии, что поперечное сечение тела имеет площадь П , а площадь поверхности ограничена постоянной 5. Из изложенного ясно, что эта задача имеет много решений (по крайней мере одно тело для каждой области П ), а наименьшее возможное значение силы сопротивления дается формулой (4.29). [c.121]
Рассмотрим два конуса с одинаковой высотой и площадью основания (и, следовательно, с одинаковым объемом), у одного конуса основание есть круг, у другого -правильная звезда (рис. 27). Тогда У звездообразного конуса сопротивление меньше, чем у кругового. [c.121]
Первый интеграл равен нулю в силу ограничения на площадь основания, а второй положителен, так как а 1. Таким образом, круговой конус имеет минимальную площадь среди конусов с заданной площадью основания и высотой. [c.122]
Так же, как н в случае односвязной области, доказывается, что искомая поверхность является поверхностью постоянного ската. Сила сопротивления дается формулой (4.29). [c.122]
В случае круглого основания решение составляется из конических поверхностей н для различных соотношений между и н 5 представлено на рис. 28. [c.122]
Существование последовательности поверхностей, на которой - 0, показывает, что задача о минимуме функционала 9-(и) на множестве тел с ограниченными сверху высотой и объемом поставлена неправильно. Ясно, что дополнительные ограничения на высоту и объем снизу не могут сделать задачу корректной. [c.123]
Из неравенств (4.33) и (4.31) следует неравенство (4.32) с постоянной k, равной 3//П. [c.123]

Вернуться к основной статье